Description: Membership in a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 24-Mar-1998)
Ref | Expression | ||
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Assertion | elopab | ⊢ ( 𝐴 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex | ⊢ ( 𝐴 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } → 𝐴 ∈ V ) | |
2 | opex | ⊢ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ V | |
3 | eleq1 | ⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝐴 ∈ V ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ V ) ) | |
4 | 2 3 | mpbiri | ⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → 𝐴 ∈ V ) |
5 | 4 | adantr | ⊢ ( ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 𝐴 ∈ V ) |
6 | 5 | exlimivv | ⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 𝐴 ∈ V ) |
7 | elopabw | ⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) | |
8 | 1 6 7 | pm5.21nii | ⊢ ( 𝐴 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |