Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
plybss |
โข ( ๐น โ ( Poly โ ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
2 |
|
plyval |
โข ( ๐ โ โ โ ( Poly โ ๐ ) = { ๐ โฃ โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐ = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) } ) |
3 |
2
|
eleq2d |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐น โ ( Poly โ ๐ ) โ ๐น โ { ๐ โฃ โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐ = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) } ) ) |
4 |
|
id |
โข ( ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) โ ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) ) |
5 |
|
cnex |
โข โ โ V |
6 |
5
|
mptex |
โข ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) โ V |
7 |
4 6
|
eqeltrdi |
โข ( ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) โ ๐น โ V ) |
8 |
7
|
a1i |
โข ( ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ) โ ( ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) โ ๐น โ V ) ) |
9 |
8
|
rexlimivv |
โข ( โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) โ ๐น โ V ) |
10 |
|
eqeq1 |
โข ( ๐ = ๐น โ ( ๐ = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) โ ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) ) ) |
11 |
10
|
2rexbidv |
โข ( ๐ = ๐น โ ( โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐ = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) โ โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) ) ) |
12 |
9 11
|
elab3 |
โข ( ๐น โ { ๐ โฃ โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐ = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) } โ โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) ) |
13 |
3 12
|
bitrdi |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐น โ ( Poly โ ๐ ) โ โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) ) ) |
14 |
1 13
|
biadanii |
โข ( ๐น โ ( Poly โ ๐ ) โ ( ๐ โ โ โง โ ๐ โ โ0 โ ๐ โ ( ( ๐ โช { 0 } ) โm โ0 ) ๐น = ( ๐ง โ โ โฆ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ง โ ๐ ) ) ) ) ) |