Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
en2prd.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
en2prd.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊 ) |
3 |
|
en2prd.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋 ) |
4 |
|
en2prd.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌 ) |
5 |
|
en2prd.5 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
6 |
|
en2prd.6 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷 ) |
7 |
|
prex |
⊢ { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ∈ V |
8 |
|
f1oprg |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌 ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) → { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
9 |
1 3 2 4 8
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) → { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
10 |
5 6 9
|
mp2and |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) |
11 |
|
f1oeq1 |
⊢ ( 𝑓 = { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } → ( 𝑓 : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ↔ { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
12 |
11
|
spcegv |
⊢ ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ∈ V → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } → ∃ 𝑓 𝑓 : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
13 |
7 10 12
|
mpsyl |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑓 𝑓 : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) |
14 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V |
15 |
|
prex |
⊢ { 𝐶 , 𝐷 } ∈ V |
16 |
|
breng |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ∈ V ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } ≈ { 𝐶 , 𝐷 } ↔ ∃ 𝑓 𝑓 : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
17 |
14 15 16
|
mp2an |
⊢ ( { 𝐴 , 𝐵 } ≈ { 𝐶 , 𝐷 } ↔ ∃ 𝑓 𝑓 : { 𝐴 , 𝐵 } –1-1-onto→ { 𝐶 , 𝐷 } ) |
18 |
13 17
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → { 𝐴 , 𝐵 } ≈ { 𝐶 , 𝐷 } ) |