Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1st2nd2 |
โข ( ๐ด โ ( N ร N ) โ ๐ด = โจ ( 1st โ ๐ด ) , ( 2nd โ ๐ด ) โฉ ) |
2 |
|
1st2nd2 |
โข ( ๐ต โ ( N ร N ) โ ๐ต = โจ ( 1st โ ๐ต ) , ( 2nd โ ๐ต ) โฉ ) |
3 |
1 2
|
breqan12d |
โข ( ( ๐ด โ ( N ร N ) โง ๐ต โ ( N ร N ) ) โ ( ๐ด ~Q ๐ต โ โจ ( 1st โ ๐ด ) , ( 2nd โ ๐ด ) โฉ ~Q โจ ( 1st โ ๐ต ) , ( 2nd โ ๐ต ) โฉ ) ) |
4 |
|
xp1st |
โข ( ๐ด โ ( N ร N ) โ ( 1st โ ๐ด ) โ N ) |
5 |
|
xp2nd |
โข ( ๐ด โ ( N ร N ) โ ( 2nd โ ๐ด ) โ N ) |
6 |
4 5
|
jca |
โข ( ๐ด โ ( N ร N ) โ ( ( 1st โ ๐ด ) โ N โง ( 2nd โ ๐ด ) โ N ) ) |
7 |
|
xp1st |
โข ( ๐ต โ ( N ร N ) โ ( 1st โ ๐ต ) โ N ) |
8 |
|
xp2nd |
โข ( ๐ต โ ( N ร N ) โ ( 2nd โ ๐ต ) โ N ) |
9 |
7 8
|
jca |
โข ( ๐ต โ ( N ร N ) โ ( ( 1st โ ๐ต ) โ N โง ( 2nd โ ๐ต ) โ N ) ) |
10 |
|
enqbreq |
โข ( ( ( ( 1st โ ๐ด ) โ N โง ( 2nd โ ๐ด ) โ N ) โง ( ( 1st โ ๐ต ) โ N โง ( 2nd โ ๐ต ) โ N ) ) โ ( โจ ( 1st โ ๐ด ) , ( 2nd โ ๐ด ) โฉ ~Q โจ ( 1st โ ๐ต ) , ( 2nd โ ๐ต ) โฉ โ ( ( 1st โ ๐ด ) ยทN ( 2nd โ ๐ต ) ) = ( ( 2nd โ ๐ด ) ยทN ( 1st โ ๐ต ) ) ) ) |
11 |
6 9 10
|
syl2an |
โข ( ( ๐ด โ ( N ร N ) โง ๐ต โ ( N ร N ) ) โ ( โจ ( 1st โ ๐ด ) , ( 2nd โ ๐ด ) โฉ ~Q โจ ( 1st โ ๐ต ) , ( 2nd โ ๐ต ) โฉ โ ( ( 1st โ ๐ด ) ยทN ( 2nd โ ๐ต ) ) = ( ( 2nd โ ๐ด ) ยทN ( 1st โ ๐ต ) ) ) ) |
12 |
|
mulcompi |
โข ( ( 2nd โ ๐ด ) ยทN ( 1st โ ๐ต ) ) = ( ( 1st โ ๐ต ) ยทN ( 2nd โ ๐ด ) ) |
13 |
12
|
eqeq2i |
โข ( ( ( 1st โ ๐ด ) ยทN ( 2nd โ ๐ต ) ) = ( ( 2nd โ ๐ด ) ยทN ( 1st โ ๐ต ) ) โ ( ( 1st โ ๐ด ) ยทN ( 2nd โ ๐ต ) ) = ( ( 1st โ ๐ต ) ยทN ( 2nd โ ๐ด ) ) ) |
14 |
13
|
a1i |
โข ( ( ๐ด โ ( N ร N ) โง ๐ต โ ( N ร N ) ) โ ( ( ( 1st โ ๐ด ) ยทN ( 2nd โ ๐ต ) ) = ( ( 2nd โ ๐ด ) ยทN ( 1st โ ๐ต ) ) โ ( ( 1st โ ๐ด ) ยทN ( 2nd โ ๐ต ) ) = ( ( 1st โ ๐ต ) ยทN ( 2nd โ ๐ด ) ) ) ) |
15 |
3 11 14
|
3bitrd |
โข ( ( ๐ด โ ( N ร N ) โง ๐ต โ ( N ร N ) ) โ ( ๐ด ~Q ๐ต โ ( ( 1st โ ๐ด ) ยทN ( 2nd โ ๐ต ) ) = ( ( 1st โ ๐ต ) ยทN ( 2nd โ ๐ด ) ) ) ) |