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Theorem etransclem22

Description: The N -th derivative of H is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

Ref Expression
Hypotheses etransclem22.s ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
etransclem22.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
etransclem22.p ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ )
etransclem22.h ⊢ 𝐻 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑥 − 𝑗 ) ↑ if ( 𝑗 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ) )
etransclem22.J ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
etransclem22.n ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
Assertion etransclem22 ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝐽 ) ) ‘ 𝑁 ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 etransclem22.s ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2 etransclem22.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
3 etransclem22.p ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ )
4 etransclem22.h ⊢ 𝐻 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑥 − 𝑗 ) ↑ if ( 𝑗 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ) )
5 etransclem22.J ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
6 etransclem22.n ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
7 1 2 3 4 5 6 etransclem17 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝐽 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) )
8 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 )
9 8 iftrued ⊢ ( ( 𝜑 ∧ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) = 0 )
10 9 mpteq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0 ) )
11 1 2 dvdmsscn ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ )
12 0cnd ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℂ )
13 ssid ⊢ ℂ ⊆ ℂ
14 13 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
15 11 12 14 constcncfg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0 ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
16 15 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0 ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
17 10 16 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
18 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 )
19 18 iffalsed ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) )
20 19 mpteq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) )
21 nfv ⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 )
22 11 14 idcncfg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥 ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
23 5 elfzelzd ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ )
24 23 zcnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ )
25 11 24 14 constcncfg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐽 ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
26 22 25 subcncf ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝑥 − 𝐽 ) ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
27 26 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝑥 − 𝐽 ) ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
28 13 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ℂ ⊆ ℂ )
29 nnm1nn0 ⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 )
30 3 29 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 )
31 3 nnnn0d ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0 )
32 30 31 ifcld ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ∈ ℕ0 )
33 32 faccld ⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ∈ ℕ )
34 33 nncnd ⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ∈ ℂ )
35 34 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ∈ ℂ )
36 32 nn0zd ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ∈ ℤ )
37 6 nn0zd ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
38 36 37 zsubcld ⊢ ( 𝜑 → ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ )
39 38 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ )
40 6 nn0red ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ )
41 40 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
42 32 nn0red ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ∈ ℝ )
43 42 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ∈ ℝ )
44 41 43 18 nltled ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → 𝑁 ≤ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) )
45 43 41 subge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 0 ≤ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ↔ 𝑁 ≤ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) )
46 44 45 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → 0 ≤ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) )
47 elnn0z ⊢ ( ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) )
48 39 46 47 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
49 48 faccld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ∈ ℕ )
50 49 nncnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
51 49 nnne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ≠ 0 )
52 35 50 51 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ∈ ℂ )
53 28 52 28 constcncfg ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
54 expcncf ⊢ ( ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( 𝑦 ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
55 48 54 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( 𝑦 ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
56 53 55 mulcncf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( 𝑦 ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
57 oveq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝐽 ) → ( 𝑦 ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) = ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) )
58 57 oveq2d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝐽 ) → ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( 𝑦 ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) )
59 21 27 56 28 58 cncfcompt2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
60 20 59 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
61 17 60 pm2.61dan ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) < 𝑁 , 0 , ( ( ( ! ‘ if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) / ( ! ‘ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐽 ) ↑ ( if ( 𝐽 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )
62 7 61 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝐽 ) ) ‘ 𝑁 ) ∈ ( 𝑋 –cn→ ℂ ) )