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Theorem eupth2lem3lem4

Description: Lemma for eupth2lem3 , formerly part of proof of eupth2lem3 : If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of the end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015) (Revised by AV, 25-Feb-2021)

Ref Expression
Hypotheses trlsegvdeg.v ⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 )
trlsegvdeg.i ⊢ 𝐼 = ( iEdg ‘ 𝐺 )
trlsegvdeg.f ⊢ ( 𝜑 → Fun 𝐼 )
trlsegvdeg.n ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) )
trlsegvdeg.u ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉 )
trlsegvdeg.w ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 )
trlsegvdeg.vx ⊢ ( 𝜑 → ( Vtx ‘ 𝑋 ) = 𝑉 )
trlsegvdeg.vy ⊢ ( 𝜑 → ( Vtx ‘ 𝑌 ) = 𝑉 )
trlsegvdeg.vz ⊢ ( 𝜑 → ( Vtx ‘ 𝑍 ) = 𝑉 )
trlsegvdeg.ix ⊢ ( 𝜑 → ( iEdg ‘ 𝑋 ) = ( 𝐼 ↾ ( 𝐹 “ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) )
trlsegvdeg.iy ⊢ ( 𝜑 → ( iEdg ‘ 𝑌 ) = { ⟨ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ⟩ } )
trlsegvdeg.iz ⊢ ( 𝜑 → ( iEdg ‘ 𝑍 ) = ( 𝐼 ↾ ( 𝐹 “ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
eupth2lem3.o ⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) } = if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) )
eupth2lem3lem3.e ⊢ ( 𝜑 → if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
eupth2lem3lem4.i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ∈ 𝒫 𝑉 )
Assertion eupth2lem3lem4 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑈 = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∨ 𝑈 = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 trlsegvdeg.v ⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 )
2 trlsegvdeg.i ⊢ 𝐼 = ( iEdg ‘ 𝐺 )
3 trlsegvdeg.f ⊢ ( 𝜑 → Fun 𝐼 )
4 trlsegvdeg.n ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) )
5 trlsegvdeg.u ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉 )
6 trlsegvdeg.w ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 )
7 trlsegvdeg.vx ⊢ ( 𝜑 → ( Vtx ‘ 𝑋 ) = 𝑉 )
8 trlsegvdeg.vy ⊢ ( 𝜑 → ( Vtx ‘ 𝑌 ) = 𝑉 )
9 trlsegvdeg.vz ⊢ ( 𝜑 → ( Vtx ‘ 𝑍 ) = 𝑉 )
10 trlsegvdeg.ix ⊢ ( 𝜑 → ( iEdg ‘ 𝑋 ) = ( 𝐼 ↾ ( 𝐹 “ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) )
11 trlsegvdeg.iy ⊢ ( 𝜑 → ( iEdg ‘ 𝑌 ) = { ⟨ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ⟩ } )
12 trlsegvdeg.iz ⊢ ( 𝜑 → ( iEdg ‘ 𝑍 ) = ( 𝐼 ↾ ( 𝐹 “ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
13 eupth2lem3.o ⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) } = if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) )
14 eupth2lem3lem3.e ⊢ ( 𝜑 → if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
15 eupth2lem3lem4.i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ∈ 𝒫 𝑉 )
16 fvexd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ∈ V )
17 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → 𝑈 ∈ 𝑉 )
18 1 2 3 4 5 6 trlsegvdeglem1 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ 𝑉 ) )
19 18 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ 𝑉 )
20 19 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ 𝑉 )
21 neeq1 ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ 𝑈 ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
22 21 biimpcd ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → 𝑈 ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
23 22 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → 𝑈 ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
24 23 imp ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → 𝑈 ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) )
25 15 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ∈ 𝒫 𝑉 )
26 11 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( iEdg ‘ 𝑌 ) = { ⟨ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ⟩ } )
27 14 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
28 df-ne ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ¬ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) )
29 ifpfal ⊢ ( ¬ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) → ( if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
30 28 29 sylbi ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) → ( if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
31 30 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
32 preq1 ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } = { 𝑈 , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } )
33 32 sseq1d ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ↔ { 𝑈 , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
34 33 biimpcd ⊢ ( { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → { 𝑈 , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
35 31 34 syl6bi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → { 𝑈 , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) ) )
36 27 35 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → { 𝑈 , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
37 36 imp ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → { 𝑈 , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) )
38 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( Vtx ‘ 𝑌 ) = 𝑉 )
39 16 17 20 24 25 26 37 38 1hegrvtxdg1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) = 1 )
40 39 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) = ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) )
41 40 breq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
42 41 notbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 eupth2lem3lem1 ⊢ ( 𝜑 → ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ∈ ℕ0 )
44 43 nn0zd ⊢ ( 𝜑 → ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ∈ ℤ )
45 2nn ⊢ 2 ∈ ℕ
46 45 a1i ⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℕ )
47 1lt2 ⊢ 1 < 2
48 47 a1i ⊢ ( 𝜑 → 1 < 2 )
49 ndvdsp1 ⊢ ( ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2 ) → ( 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) → ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
50 44 46 48 49 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) → ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
51 50 con2d ⊢ ( 𝜑 → ( 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) → ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) )
52 1z ⊢ 1 ∈ ℤ
53 n2dvds1 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
54 opoe ⊢ ( ( ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) ∧ ( 1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1 ) ) → 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) )
55 52 53 54 mpanr12 ⊢ ( ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) → 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) )
56 55 ex ⊢ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ∈ ℤ → ( ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) → 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
57 44 56 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) → 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
58 51 57 impbid ⊢ ( 𝜑 → ( 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) )
59 fveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑈 → ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) )
60 59 breq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑈 → ( 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) ↔ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) )
61 60 notbid ⊢ ( 𝑥 = 𝑈 → ( ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) )
62 61 elrab3 ⊢ ( 𝑈 ∈ 𝑉 → ( 𝑈 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) } ↔ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) )
63 5 62 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) } ↔ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) ) )
64 13 eleq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) } ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ) )
65 58 63 64 3bitr2d ⊢ ( 𝜑 → ( 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ) )
66 65 notbid ⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ) )
67 66 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ) )
68 fvex ⊢ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∈ V
69 68 eupth2lem2 ⊢ ( ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )
70 69 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )
71 42 67 70 3bitrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )
72 71 expcom ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = 𝑈 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) )
73 72 eqcoms ⊢ ( 𝑈 = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) )
74 fvexd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ∈ V )
75 18 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝑉 )
76 75 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝑉 )
77 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → 𝑈 ∈ 𝑉 )
78 neeq2 ⊢ ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ 𝑈 ) )
79 78 biimpcd ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ 𝑈 ) )
80 79 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ 𝑈 ) )
81 80 imp ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ 𝑈 )
82 15 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ∈ 𝒫 𝑉 )
83 11 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( iEdg ‘ 𝑌 ) = { ⟨ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ⟩ } )
84 preq2 ⊢ ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , 𝑈 } )
85 84 sseq1d ⊢ ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , 𝑈 } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
86 85 biimpcd ⊢ ( { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , 𝑈 } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
87 31 86 syl6bi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , 𝑈 } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) ) )
88 27 87 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , 𝑈 } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) ) )
89 88 imp ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , 𝑈 } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) )
90 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( Vtx ‘ 𝑌 ) = 𝑉 )
91 74 76 77 81 82 83 89 90 1hegrvtxdg1r ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) = 1 )
92 91 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) = ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) )
93 92 breq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
94 93 notbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ) )
95 66 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + 1 ) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ) )
96 necom ⊢ ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ≠ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) )
97 fvex ⊢ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ V
98 97 eupth2lem2 ⊢ ( ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ≠ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ) )
99 96 98 sylanb ⊢ ( ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ) )
100 99 con1bid ⊢ ( ( ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )
101 100 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ¬ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) } ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )
102 94 95 101 3bitrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )
103 102 expcom ⊢ ( ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = 𝑈 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) )
104 103 eqcoms ⊢ ( 𝑈 = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) )
105 73 104 jaoi ⊢ ( ( 𝑈 = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∨ 𝑈 = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) )
106 105 com12 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑈 = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∨ 𝑈 = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) )
107 106 3impia ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ≠ ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑈 = ( 𝑃 ‘ 𝑁 ) ∨ 𝑈 = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) → ( ¬ 2 ∥ ( ( ( VtxDeg ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑈 ) + ( ( VtxDeg ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑈 ) ) ↔ 𝑈 ∈ if ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) , ∅ , { ( 𝑃 ‘ 0 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) )