Metamath Proof Explorer


Theorem exp0

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0 ^ 0 = 1 ( 0exp0e1 ), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of Gleason p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014)

Ref Expression
Assertion exp0 ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ( ๐ด โ†‘ 0 ) = 1 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 0z โŠข 0 โˆˆ โ„ค
2 expval โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„ค ) โ†’ ( ๐ด โ†‘ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ยท , ( โ„• ร— { ๐ด } ) ) โ€˜ 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( ยท , ( โ„• ร— { ๐ด } ) ) โ€˜ - 0 ) ) ) ) )
3 1 2 mpan2 โŠข ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ( ๐ด โ†‘ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ยท , ( โ„• ร— { ๐ด } ) ) โ€˜ 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( ยท , ( โ„• ร— { ๐ด } ) ) โ€˜ - 0 ) ) ) ) )
4 eqid โŠข 0 = 0
5 4 iftruei โŠข if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ยท , ( โ„• ร— { ๐ด } ) ) โ€˜ 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( ยท , ( โ„• ร— { ๐ด } ) ) โ€˜ - 0 ) ) ) ) = 1
6 3 5 eqtrdi โŠข ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ( ๐ด โ†‘ 0 ) = 1 )