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Theorem fiint

Description: Equivalent ways of stating the finite intersection property. We show two ways of saying, "the intersection of elements in every finite nonempty subcollection of A is in A ". This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use the left-hand version of this axiom and others the right-hand version, but as our proof here shows, their "intuitively obvious" equivalence can be non-trivial to establish formally. (Contributed by NM, 22-Sep-2002) Use a separate setvar for the right-hand side and avoid ax-pow . (Revised by BTernaryTau, 14-Jan-2025)

Ref Expression
Assertion fiint ( ∀ 𝑥𝐴𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦 ) ∈ 𝐴 ↔ ∀ 𝑧 ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isfi ( 𝑧 ∈ Fin ↔ ∃ 𝑤 ∈ ω 𝑧𝑤 )
2 nnfi ( 𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ Fin )
3 ensymfib ( 𝑤 ∈ Fin → ( 𝑤𝑧𝑧𝑤 ) )
4 2 3 syl ( 𝑤 ∈ ω → ( 𝑤𝑧𝑧𝑤 ) )
5 breq1 ( 𝑤 = ∅ → ( 𝑤𝑧 ↔ ∅ ≈ 𝑧 ) )
6 5 anbi2d ( 𝑤 = ∅ → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) ↔ ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) ) )
7 6 imbi1d ( 𝑤 = ∅ → ( ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
8 7 albidv ( 𝑤 = ∅ → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
9 breq1 ( 𝑤 = 𝑡 → ( 𝑤𝑧𝑡𝑧 ) )
10 9 anbi2d ( 𝑤 = 𝑡 → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) ↔ ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) ) )
11 10 imbi1d ( 𝑤 = 𝑡 → ( ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
12 11 albidv ( 𝑤 = 𝑡 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
13 breq1 ( 𝑤 = suc 𝑡 → ( 𝑤𝑧 ↔ suc 𝑡𝑧 ) )
14 13 anbi2d ( 𝑤 = suc 𝑡 → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) ↔ ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ suc 𝑡𝑧 ) ) )
15 14 imbi1d ( 𝑤 = suc 𝑡 → ( ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ suc 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
16 15 albidv ( 𝑤 = suc 𝑡 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ suc 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
17 en0r ( ∅ ≈ 𝑧𝑧 = ∅ )
18 17 biimpi ( ∅ ≈ 𝑧𝑧 = ∅ )
19 18 anim1i ( ( ∅ ≈ 𝑧𝑧 ≠ ∅ ) → ( 𝑧 = ∅ ∧ 𝑧 ≠ ∅ ) )
20 19 ancoms ( ( 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) → ( 𝑧 = ∅ ∧ 𝑧 ≠ ∅ ) )
21 20 adantll ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) → ( 𝑧 = ∅ ∧ 𝑧 ≠ ∅ ) )
22 df-ne ( 𝑧 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑧 = ∅ )
23 pm3.24 ¬ ( 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑧 = ∅ )
24 23 pm2.21i ( ( 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑧 = ∅ ) → 𝑧𝐴 )
25 22 24 sylan2b ( ( 𝑧 = ∅ ∧ 𝑧 ≠ ∅ ) → 𝑧𝐴 )
26 21 25 syl ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) → 𝑧𝐴 )
27 26 ax-gen 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) → 𝑧𝐴 )
28 27 a1i ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ ∅ ≈ 𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) )
29 nfv 𝑧𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴
30 nfa1 𝑧𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 )
31 bren ( suc 𝑡𝑧 ↔ ∃ 𝑓 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 )
32 ssel ( 𝑧𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝑧 → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ) )
33 f1of ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧𝑓 : suc 𝑡𝑧 )
34 vex 𝑡 ∈ V
35 34 sucid 𝑡 ∈ suc 𝑡
36 ffvelcdm ( ( 𝑓 : suc 𝑡𝑧𝑡 ∈ suc 𝑡 ) → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝑧 )
37 33 35 36 sylancl ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝑧 )
38 32 37 impel ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 )
39 38 adantr ( ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) ∧ ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ∧ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 )
40 df-ne ( ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ↔ ¬ ( 𝑓𝑡 ) = ∅ )
41 imassrn ( 𝑓𝑡 ) ⊆ ran 𝑓
42 dff1o2 ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ↔ ( 𝑓 Fn suc 𝑡 ∧ Fun 𝑓 ∧ ran 𝑓 = 𝑧 ) )
43 42 simp3bi ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ran 𝑓 = 𝑧 )
44 41 43 sseqtrid ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝑧 )
45 sstr2 ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝑧𝐴 → ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ) )
46 44 45 syl ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( 𝑧𝐴 → ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ) )
47 46 anim1d ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ( 𝑧𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) ) )
48 f1of1 ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧𝑓 : suc 𝑡1-1𝑧 )
49 sssucid 𝑡 ⊆ suc 𝑡
50 vex 𝑓 ∈ V
51 f1imaen3g ( ( 𝑓 : suc 𝑡1-1𝑧𝑡 ⊆ suc 𝑡𝑓 ∈ V ) → 𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) )
52 49 50 51 mp3an23 ( 𝑓 : suc 𝑡1-1𝑧𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) )
53 48 52 syl ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) )
54 47 53 jctird ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ( 𝑧𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) → ( ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) ∧ 𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) ) ) )
55 50 imaex ( 𝑓𝑡 ) ∈ V
56 sseq1 ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → ( 𝑧𝐴 ↔ ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ) )
57 neeq1 ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → ( 𝑧 ≠ ∅ ↔ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) )
58 56 57 anbi12d ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) ) )
59 breq2 ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → ( 𝑡𝑧𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) ) )
60 58 59 anbi12d ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) ∧ 𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) ) ) )
61 inteq ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) )
62 61 eleq1d ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → ( 𝑧𝐴 ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ) )
63 60 62 imbi12d ( 𝑧 = ( 𝑓𝑡 ) → ( ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ( ( ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) ∧ 𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) ) → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ) ) )
64 55 63 spcv ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ( ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) ∧ 𝑡 ≈ ( 𝑓𝑡 ) ) → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ) )
65 54 64 sylan9 ( ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ∧ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) → ( ( 𝑧𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) → ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ) )
66 ineq1 ( 𝑣 = ( 𝑓𝑡 ) → ( 𝑣𝑢 ) = ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ 𝑢 ) )
67 66 eleq1d ( 𝑣 = ( 𝑓𝑡 ) → ( ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ 𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
68 ineq2 ( 𝑢 = ( 𝑓𝑡 ) → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ 𝑢 ) = ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) )
69 68 eleq1d ( 𝑢 = ( 𝑓𝑡 ) → ( ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ 𝑢 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) )
70 67 69 rspc2v ( ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) )
71 70 ex ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
72 65 71 syl6 ( ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ∧ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) → ( ( 𝑧𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
73 72 com4r ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ∧ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) → ( ( 𝑧𝐴 ∧ ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
74 73 exp5c ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( 𝑧𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) ) ) )
75 74 com14 ( 𝑧𝐴 → ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) ) ) )
76 75 imp43 ( ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) ∧ ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ∧ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑓𝑡 ) ≠ ∅ → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
77 40 76 biimtrrid ( ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) ∧ ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ∧ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ¬ ( 𝑓𝑡 ) = ∅ → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
78 inteq ( ( 𝑓𝑡 ) = ∅ → ( 𝑓𝑡 ) = ∅ )
79 int0 ∅ = V
80 78 79 eqtrdi ( ( 𝑓𝑡 ) = ∅ → ( 𝑓𝑡 ) = V )
81 80 ineq1d ( ( 𝑓𝑡 ) = ∅ → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) = ( V ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) )
82 ssv ( 𝑓𝑡 ) ⊆ V
83 sseqin2 ( ( 𝑓𝑡 ) ⊆ V ↔ ( V ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) = ( 𝑓𝑡 ) )
84 82 83 mpbi ( V ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) = ( 𝑓𝑡 )
85 81 84 eqtrdi ( ( 𝑓𝑡 ) = ∅ → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) = ( 𝑓𝑡 ) )
86 85 eleq1d ( ( 𝑓𝑡 ) = ∅ → ( ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 ) )
87 86 biimprd ( ( 𝑓𝑡 ) = ∅ → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) )
88 77 87 pm2.61d2 ( ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) ∧ ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ∧ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑓𝑡 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 ) )
89 39 88 mpd ( ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) ∧ ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ∧ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 )
90 fvex ( 𝑓𝑡 ) ∈ V
91 90 intunsn ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ { ( 𝑓𝑡 ) } ) = ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) )
92 f1ofn ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧𝑓 Fn suc 𝑡 )
93 fnsnfv ( ( 𝑓 Fn suc 𝑡𝑡 ∈ suc 𝑡 ) → { ( 𝑓𝑡 ) } = ( 𝑓 “ { 𝑡 } ) )
94 92 35 93 sylancl ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → { ( 𝑓𝑡 ) } = ( 𝑓 “ { 𝑡 } ) )
95 94 uneq2d ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ { ( 𝑓𝑡 ) } ) = ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ ( 𝑓 “ { 𝑡 } ) ) )
96 df-suc suc 𝑡 = ( 𝑡 ∪ { 𝑡 } )
97 96 imaeq2i ( 𝑓 “ suc 𝑡 ) = ( 𝑓 “ ( 𝑡 ∪ { 𝑡 } ) )
98 imaundi ( 𝑓 “ ( 𝑡 ∪ { 𝑡 } ) ) = ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ ( 𝑓 “ { 𝑡 } ) )
99 97 98 eqtr2i ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ ( 𝑓 “ { 𝑡 } ) ) = ( 𝑓 “ suc 𝑡 )
100 95 99 eqtrdi ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ { ( 𝑓𝑡 ) } ) = ( 𝑓 “ suc 𝑡 ) )
101 f1ofo ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧𝑓 : suc 𝑡onto𝑧 )
102 foima ( 𝑓 : suc 𝑡onto𝑧 → ( 𝑓 “ suc 𝑡 ) = 𝑧 )
103 101 102 syl ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( 𝑓 “ suc 𝑡 ) = 𝑧 )
104 100 103 eqtrd ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ { ( 𝑓𝑡 ) } ) = 𝑧 )
105 104 inteqd ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ( ( 𝑓𝑡 ) ∪ { ( 𝑓𝑡 ) } ) = 𝑧 )
106 91 105 eqtr3id ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) = 𝑧 )
107 106 eleq1d ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) )
108 107 ad2antlr ( ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) ∧ ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ∧ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑓𝑡 ) ∩ ( 𝑓𝑡 ) ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) )
109 89 108 mpbid ( ( ( 𝑧𝐴𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 ) ∧ ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ∧ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑧𝐴 )
110 109 exp43 ( 𝑧𝐴 → ( 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) ) )
111 110 exlimdv ( 𝑧𝐴 → ( ∃ 𝑓 𝑓 : suc 𝑡1-1-onto𝑧 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) ) )
112 31 111 biimtrid ( 𝑧𝐴 → ( suc 𝑡𝑧 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) ) )
113 112 imp ( ( 𝑧𝐴 ∧ suc 𝑡𝑧 ) → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) )
114 113 adantlr ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ suc 𝑡𝑧 ) → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) )
115 114 com13 ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ suc 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
116 29 30 115 alrimd ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ suc 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
117 116 a1i ( 𝑡 ∈ ω → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ suc 𝑡𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) ) )
118 8 12 16 28 117 finds2 ( 𝑤 ∈ ω → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
119 sp ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) )
120 118 119 syl6 ( 𝑤 ∈ ω → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑤𝑧 ) → 𝑧𝐴 ) ) )
121 120 exp4a ( 𝑤 ∈ ω → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) → ( 𝑤𝑧 𝑧𝐴 ) ) ) )
122 121 com24 ( 𝑤 ∈ ω → ( 𝑤𝑧 → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) ) )
123 4 122 sylbird ( 𝑤 ∈ ω → ( 𝑧𝑤 → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) ) )
124 123 rexlimiv ( ∃ 𝑤 ∈ ω 𝑧𝑤 → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) )
125 1 124 sylbi ( 𝑧 ∈ Fin → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) → ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 𝑧𝐴 ) ) )
126 125 com13 ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) → ( 𝑧 ∈ Fin → 𝑧𝐴 ) ) )
127 126 impd ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) )
128 127 alrimiv ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 → ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) )
129 zfpair2 { 𝑣 , 𝑢 } ∈ V
130 sseq1 ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → ( 𝑧𝐴 ↔ { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ) )
131 neeq1 ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → ( 𝑧 ≠ ∅ ↔ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) )
132 130 131 anbi12d ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ↔ ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) ) )
133 eleq1 ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → ( 𝑧 ∈ Fin ↔ { 𝑣 , 𝑢 } ∈ Fin ) )
134 132 133 anbi12d ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) ↔ ( ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ∈ Fin ) ) )
135 inteq ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } )
136 135 eleq1d ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → ( 𝑧𝐴 { 𝑣 , 𝑢 } ∈ 𝐴 ) )
137 134 136 imbi12d ( 𝑧 = { 𝑣 , 𝑢 } → ( ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ( ( ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ∈ Fin ) → { 𝑣 , 𝑢 } ∈ 𝐴 ) ) )
138 129 137 spcv ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) → ( ( ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ∈ Fin ) → { 𝑣 , 𝑢 } ∈ 𝐴 ) )
139 vex 𝑣 ∈ V
140 vex 𝑢 ∈ V
141 139 140 prss ( ( 𝑣𝐴𝑢𝐴 ) ↔ { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 )
142 139 prnz { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅
143 142 biantru ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ↔ ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) )
144 prfi { 𝑣 , 𝑢 } ∈ Fin
145 144 biantru ( ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) ↔ ( ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ∈ Fin ) )
146 141 143 145 3bitrri ( ( ( { 𝑣 , 𝑢 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ≠ ∅ ) ∧ { 𝑣 , 𝑢 } ∈ Fin ) ↔ ( 𝑣𝐴𝑢𝐴 ) )
147 139 140 intpr { 𝑣 , 𝑢 } = ( 𝑣𝑢 )
148 147 eleq1i ( { 𝑣 , 𝑢 } ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 )
149 138 146 148 3imtr3g ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) → ( ( 𝑣𝐴𝑢𝐴 ) → ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
150 149 ralrimivv ( ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) → ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 )
151 128 150 impbii ( ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ↔ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) )
152 ineq1 ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥𝑦 ) = ( 𝑣𝑦 ) )
153 152 eleq1d ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝑥𝑦 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑣𝑦 ) ∈ 𝐴 ) )
154 ineq2 ( 𝑦 = 𝑢 → ( 𝑣𝑦 ) = ( 𝑣𝑢 ) )
155 154 eleq1d ( 𝑦 = 𝑢 → ( ( 𝑣𝑦 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 ) )
156 153 155 cbvral2vw ( ∀ 𝑥𝐴𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦 ) ∈ 𝐴 ↔ ∀ 𝑣𝐴𝑢𝐴 ( 𝑣𝑢 ) ∈ 𝐴 )
157 df-3an ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin ) ↔ ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) )
158 157 imbi1i ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) )
159 158 albii ( ∀ 𝑧 ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ) ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) )
160 151 156 159 3bitr4i ( ∀ 𝑥𝐴𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦 ) ∈ 𝐴 ↔ ∀ 𝑧 ( ( 𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin ) → 𝑧𝐴 ) )