Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
2 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
3 |
|
id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
4 |
|
4re |
⊢ 4 ∈ ℝ |
5 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ ) |
6 |
|
4ne0 |
⊢ 4 ≠ 0 |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0 ) |
8 |
3 5 7
|
redivcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 / 4 ) ∈ ℝ ) |
9 |
|
flle |
⊢ ( ( 𝑁 / 4 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ≤ ( 𝑁 / 4 ) ) |
10 |
1 2 8 9
|
4syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ≤ ( 𝑁 / 4 ) ) |
11 |
|
1red |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 ∈ ℝ ) |
12 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
13 |
|
rehalfcl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℝ ) |
14 |
1 2 13
|
3syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℝ ) |
15 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
16 |
15
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ∈ ℝ+ ) |
17 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ≤ 𝑁 ) |
18 |
|
divge1 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 1 ≤ ( 𝑁 / 2 ) ) |
19 |
16 12 17 18
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 ≤ ( 𝑁 / 2 ) ) |
20 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
21 |
|
subhalfhalf |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( 𝑁 − ( 𝑁 / 2 ) ) = ( 𝑁 / 2 ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 / 2 ) ) = ( 𝑁 / 2 ) ) |
23 |
19 22
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 ≤ ( 𝑁 − ( 𝑁 / 2 ) ) ) |
24 |
11 12 14 23
|
lesubd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 / 2 ) ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) |
25 |
|
2t2e4 |
⊢ ( 2 · 2 ) = 4 |
26 |
25
|
eqcomi |
⊢ 4 = ( 2 · 2 ) |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 4 = ( 2 · 2 ) ) |
28 |
27
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 / 4 ) = ( 𝑁 / ( 2 · 2 ) ) ) |
29 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
30 |
29
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
31 |
|
divdiv1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑁 / 2 ) / 2 ) = ( 𝑁 / ( 2 · 2 ) ) ) |
32 |
20 30 30 31
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝑁 / 2 ) / 2 ) = ( 𝑁 / ( 2 · 2 ) ) ) |
33 |
28 32
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 / 4 ) = ( ( 𝑁 / 2 ) / 2 ) ) |
34 |
33
|
breq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝑁 / 4 ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ↔ ( ( 𝑁 / 2 ) / 2 ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
35 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ ) |
36 |
12 35
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ ) |
37 |
14 36 16
|
lediv1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝑁 / 2 ) ≤ ( 𝑁 − 1 ) ↔ ( ( 𝑁 / 2 ) / 2 ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
38 |
34 37
|
bitr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝑁 / 4 ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ↔ ( 𝑁 / 2 ) ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
39 |
24 38
|
mpbird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 / 4 ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) |
40 |
8
|
flcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ∈ ℤ ) |
41 |
40
|
zred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ∈ ℝ ) |
42 |
35
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
43 |
41 8 42
|
3jca |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 / 4 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
44 |
|
letr |
⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 / 4 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ≤ ( 𝑁 / 4 ) ∧ ( 𝑁 / 4 ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
45 |
1 2 43 44
|
4syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ≤ ( 𝑁 / 4 ) ∧ ( 𝑁 / 4 ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
46 |
10 39 45
|
mp2and |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / 4 ) ) ≤ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) |