Theorem fourierclimd

Description: Fourier series convergence, for piecewise smooth functions. See fourierd for the analogous sum_ equation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierclimd.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
	fourierclimd.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
	fourierclimd.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierclimd.g	⊢ 𝐺 = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
	fourierclimd.dmdv	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π (,) π ) ∖ dom 𝐺 ) ∈ Fin )
	fourierclimd.dvcn	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( dom 𝐺 –cn→ ℂ ) )
	fourierclimd.rlim	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom 𝐺 ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
	fourierclimd.llim	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom 𝐺 ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
	fourierclimd.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierclimd.l	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierclimd.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierclimd.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
	fourierclimd.b	⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
	fourierclimd.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
Assertion	fourierclimd	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierclimd.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2		fourierclimd.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
3		fourierclimd.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
4		fourierclimd.g	⊢ 𝐺 = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
5		fourierclimd.dmdv	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π (,) π ) ∖ dom 𝐺 ) ∈ Fin )
6		fourierclimd.dvcn	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( dom 𝐺 –cn→ ℂ ) )
7		fourierclimd.rlim	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom 𝐺 ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
8		fourierclimd.llim	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom 𝐺 ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
9		fourierclimd.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
10		fourierclimd.l	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
11		fourierclimd.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
12		fourierclimd.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
13		fourierclimd.b	⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
14		fourierclimd.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
15		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
16		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
17	12 16	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑛 𝐴
18		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 𝑘
19	17 18	nffv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝐴 ‘ 𝑘 )
20		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ·
21		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) )
22	19 20 21	nfov	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
23		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 +
24		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
25	13 24	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑛 𝐵
26	25 18	nffv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝐵 ‘ 𝑘 )
27		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) )
28	26 20 27	nfov	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
29	22 23 28	nfov	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
30		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
31		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
32	31	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
33	30 32	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
34		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
35	31	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
36	34 35	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
37	33 36	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
38	15 29 37	cbvmpt	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
39	14 38	eqtri	⊢ 𝑆 = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
40	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39	fourierdlem115	⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) ) )
41	40	simpld	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )