Theorem fourierdlem103

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem103.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
	fourierdlem103.xre	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem103.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem103.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem103.v	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem103.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
	fourierdlem103.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem103.fbdioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
	fourierdlem103.fdvcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
	fourierdlem103.fdvbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
	fourierdlem103.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem103.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem103.h	⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
	fourierdlem103.k	⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
	fourierdlem103.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
	fourierdlem103.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
	fourierdlem103.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
	fourierdlem103.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
	fourierdlem103.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
	fourierdlem103.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem103.w	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem103.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem103.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem103.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
	fourierdlem103.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) )
	fourierdlem103.t	⊢ 𝑇 = ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
	fourierdlem103.n	⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
	fourierdlem103.j	⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
	fourierdlem103.q	⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
	fourierdlem103.1	⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem103.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
Assertion	fourierdlem103	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑊 / 2 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem103.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2		fourierdlem103.xre	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
3		fourierdlem103.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
4		fourierdlem103.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5		fourierdlem103.v	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
6		fourierdlem103.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
7		fourierdlem103.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
8		fourierdlem103.fbdioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
9		fourierdlem103.fdvcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
10		fourierdlem103.fdvbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
11		fourierdlem103.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
12		fourierdlem103.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
13		fourierdlem103.h	⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
14		fourierdlem103.k	⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
15		fourierdlem103.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
16		fourierdlem103.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
17		fourierdlem103.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
18		fourierdlem103.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
19		fourierdlem103.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
20		fourierdlem103.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
21		fourierdlem103.w	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
22		fourierdlem103.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
23		fourierdlem103.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
24		fourierdlem103.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
25		fourierdlem103.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) )
26		fourierdlem103.t	⊢ 𝑇 = ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
27		fourierdlem103.n	⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
28		fourierdlem103.j	⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
29		fourierdlem103.q	⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
30		fourierdlem103.1	⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
31		fourierdlem103.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
32		eqid	⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
33		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
34		nfv	⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑
35		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
36		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
37		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
38	19 37	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑛 𝐸
39		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
40		pire	⊢ π ∈ ℝ
41	40	renegcli	⊢ - π ∈ ℝ
42	41	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ℝ )
43		elioore	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
44	43	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
45		ioossre	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
46	45	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ )
47	1 46	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) : ( 𝑋 (,) +∞ ) ⟶ ℝ )
48		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
49	48	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ )
50		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
51		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
52	51	a1i	⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* )
53	2	ltpnfd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < +∞ )
54	50 52 2 53	lptioo1cn	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
55	47 49 54 20	limcrecl	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
56		ioossre	⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
57	56	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
58	1 57	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) : ( -∞ (,) 𝑋 ) ⟶ ℝ )
59		ioosscn	⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
60	59	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
61		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
62	61	a1i	⊢ ( 𝜑 → -∞ ∈ ℝ* )
63	2	mnfltd	⊢ ( 𝜑 → -∞ < 𝑋 )
64	50 62 2 63	lptioo2cn	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) )
65	58 60 64 21	limcrecl	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ )
66	1 2 55 65 13 14 15	fourierdlem55	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
67		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
68	67	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
69	66 68	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
70	69	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
71	41	a1i	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ )
72	40	a1i	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ∈ ℝ )
73	71	leidd	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≤ - π )
74		0red	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ )
75	41	rexri	⊢ - π ∈ ℝ*
76		0xr	⊢ 0 ∈ ℝ*
77		iooltub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 < 0 )
78	75 76 77	mp3an12	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 < 0 )
79		pipos	⊢ 0 < π
80	79	a1i	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < π )
81	43 74 72 78 80	lttrd	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 < π )
82	43 72 81	ltled	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 ≤ π )
83		iccss	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 𝑑 ≤ π ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
84	71 72 73 82 83	syl22anc	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
85	84	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
86	70 85	fssresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ )
87	25	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) )
88	87	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) )
89	86 88	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ )
90	41	elexi	⊢ - π ∈ V
91	90	prid1	⊢ - π ∈ { - π , 𝑑 }
92		elun1	⊢ ( - π ∈ { - π , 𝑑 } → - π ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) )
93	91 92	ax-mp	⊢ - π ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
94	93 26	eleqtrri	⊢ - π ∈ 𝑇
95	94	ne0ii	⊢ 𝑇 ≠ ∅
96	95	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ ∅ )
97		prfi	⊢ { - π , 𝑑 } ∈ Fin
98	97	a1i	⊢ ( 𝜑 → { - π , 𝑑 } ∈ Fin )
99		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin
100	29	rnmptfi	⊢ ( ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin )
101	99 100	ax-mp	⊢ ran 𝑄 ∈ Fin
102	101	a1i	⊢ ( 𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin )
103		infi	⊢ ( ran 𝑄 ∈ Fin → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin )
104	102 103	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin )
105		unfi	⊢ ( ( { - π , 𝑑 } ∈ Fin ∧ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ∈ Fin )
106	98 104 105	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ∈ Fin )
107	26 106	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
108		hashnncl	⊢ ( 𝑇 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
109	107 108	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
110	96 109	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ )
111		nnm1nn0	⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
112	110 111	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
113	27 112	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
114	113	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
115		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ )
116		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ∈ ℝ )
117	114	nn0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
118		0lt1	⊢ 0 < 1
119	118	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 < 1 )
120		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
121	120	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 ∈ ℝ )
122	110	nnred	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
123	122	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
124		ioogtlb	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π < 𝑑 )
125	75 76 124	mp3an12	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π < 𝑑 )
126	71 125	ltned	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≠ 𝑑 )
127	126	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≠ 𝑑 )
128		hashprg	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) → ( - π ≠ 𝑑 ↔ ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 ) )
129	42 44 128	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π ≠ 𝑑 ↔ ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 ) )
130	127 129	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 )
131	130	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 = ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) )
132	107	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ∈ Fin )
133		ssun1	⊢ { - π , 𝑑 } ⊆ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
134	133 26	sseqtrri	⊢ { - π , 𝑑 } ⊆ 𝑇
135		hashssle	⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ { - π , 𝑑 } ⊆ 𝑇 ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
136	132 134 135	sylancl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
137	131 136	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
138	121 123 116 137	lesub1dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 2 − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) )
139		1e2m1	⊢ 1 = ( 2 − 1 )
140	138 139 27	3brtr4g	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ≤ 𝑁 )
141	115 116 117 119 140	ltletrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 < 𝑁 )
142	141	gt0ne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ≠ 0 )
143	114 142	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) )
144		elnnne0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) )
145	143 144	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
146	73	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≤ - π )
147	71 43 125	ltled	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≤ 𝑑 )
148	147	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≤ 𝑑 )
149	42 44 42 146 148	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
150	44	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ≤ 𝑑 )
151	42 44 44 148 150	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
152	149 151	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) )
153		vex	⊢ 𝑑 ∈ V
154	90 153	prss	⊢ ( ( - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ↔ { - π , 𝑑 } ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
155	152 154	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
156		inss2	⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π (,) 𝑑 )
157	156	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π (,) 𝑑 ) )
158		ioossicc	⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 )
159	157 158	sstrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
160	155 159	unssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
161	26 160	eqsstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
162	94	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ 𝑇 )
163	153	prid2	⊢ 𝑑 ∈ { - π , 𝑑 }
164		elun1	⊢ ( 𝑑 ∈ { - π , 𝑑 } → 𝑑 ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) )
165	163 164	ax-mp	⊢ 𝑑 ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) )
166	165 26	eleqtrri	⊢ 𝑑 ∈ 𝑇
167	166	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ 𝑇 )
168	132 27 28 42 44 161 162 167	fourierdlem52	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π ) ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = 𝑑 ) )
169	168	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π ) )
170	169	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) )
171	169	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π )
172	168	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = 𝑑 )
173		elfzoelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
174	173	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
175	174	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
176	175	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
177	71 43	jca	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) )
178	90 153	prss	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) ↔ { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ )
179	177 178	sylib	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ )
180	179	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ )
181		ioossre	⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ℝ
182	156 181	sstri	⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ℝ
183	182	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ℝ )
184	180 183	unssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ⊆ ℝ )
185	26 184	eqsstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ⊆ ℝ )
186	132 185 28 27	fourierdlem36	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
187	186	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
188		elfzofz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
189	188	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
190		fzofzp1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
191	190	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
192		isorel	⊢ ( ( 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
193	187 189 191 192	syl12anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
194	176 193	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
195	66	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
196	195 85	feqresmpt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) )
197	85	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
198	1 2 55 65 13	fourierdlem9	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
199	198	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
200	199 197	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
201	14	fourierdlem43	⊢ 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ
202	201	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
203	202 197	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
204	200 203	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
205	15	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
206	197 204 205	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
207	41	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ )
208	43	adantr	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
209		simpr	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
210		eliccre	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
211	207 208 209 210	syl3anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
212		0red	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 0 ∈ ℝ )
213	75	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ* )
214	208	rexrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
215		iccleub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 )
216	213 214 209 215	syl3anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 )
217	78	adantr	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 < 0 )
218	211 208 212 216 217	lelttrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 < 0 )
219	211 218	ltned	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
220	219	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
221	220	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
222	221	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) )
223	211 212 218	ltnsymd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 )
224	223	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 )
225	224	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑊 )
226	225	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) )
227	226	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
228	222 227	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
229	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
230	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
231		iccssre	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
232	41 40 231	mp2an	⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
233	232 197	sseldi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
234	230 233	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
235	229 234	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
236	65	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
237	235 236	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ∈ ℝ )
238	237 233 220	redivcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ ℝ )
239	228 238	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
240	13	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
241	197 239 240	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
242	241 222 227	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
243	40	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → π ∈ ℝ )
244	243	renegcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ )
245		iccgelb	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ 𝑠 )
246	213 214 209 245	syl3anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ 𝑠 )
247	81	adantr	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 < π )
248	211 208 243 216 247	lelttrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 < π )
249	211 243 248	ltled	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ π )
250	244 243 211 246 249	eliccd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
251	219	neneqd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
252	251	iffalsed	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
253	120	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℝ )
254	211	rehalfcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ )
255	254	resincld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ )
256	253 255	remulcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
257		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
258	257	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℂ )
259	211	recnd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
260	259	halfcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
261	260	sincld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
262		2ne0	⊢ 2 ≠ 0
263	262	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ≠ 0 )
264		fourierdlem44	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
265	250 219 264	syl2anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
266	258 261 263 265	mulne0d	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
267	211 256 266	redivcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ )
268	252 267	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
269	14	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
270	250 268 269	syl2anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
271	270	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
272	242 271	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
273	221	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
274	273	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
275	206 272 274	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
276	275	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
277	87 196 276	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
278	277	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
279	278	reseq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
280	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
281	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
282	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
283	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
284	7	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
285	11	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
286	12	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
287	125	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π < 𝑑 )
288	75	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ℝ* )
289	76	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
290	78	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 < 0 )
291	288 44 289 290	gtnelicc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ¬ 0 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
292	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
293		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
294		eqid	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
295		eqid	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
296		fveq2	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
297		oveq1	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑙 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
298	297	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
299	296 298	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
300	299	sseq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
301	300	cbvriotavw	⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
302	280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301	fourierdlem86	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
303	302	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
304	279 303	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
305	302	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) )
306	305	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
307	278	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = 𝑂 )
308	307	reseq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
309	308	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
310	306 309	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
311	305	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
312	308	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
313	311 312	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
314		eqid	⊢ ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D 𝑂 )
315	89	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ )
316	41	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ∈ ℝ )
317	44	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
318		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
319	318	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
320	85 232	sstrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ )
321	320	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ )
322	170	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) )
323	322 189	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
324	321 323	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
325	324	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
326	75	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ* )
327	44	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
328	327	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
329		iccgelb	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
330	326 328 323 329	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
331	330	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
332	325	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* )
333	322 191	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
334	321 333	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
335	334	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
336	335	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
337		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
338		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
339	332 336 337 338	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
340	316 325 319 331 339	lelttrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π < 𝑠 )
341	316 319 340	ltled	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ≤ 𝑠 )
342	334	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
343		iooltub	⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
344	332 336 337 343	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
345		iccleub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 )
346	326 328 333 345	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 )
347	346	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 )
348	319 342 317 344 347	ltletrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < 𝑑 )
349	319 317 348	ltled	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 )
350	316 317 319 341 349	eliccd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
351	350	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
352		dfss3	⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
353	351 352	sylibr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
354	315 353	feqresmpt	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
355		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
356		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
357	25	fveq1i	⊢ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 )
358	357	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) )
359		fvres	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
360	359	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
361	271 273	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
362	242 361	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
363	237	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ∈ ℂ )
364	259	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
365	257	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℂ )
366	364	halfcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
367	366	sincld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
368	365 367	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
369	266	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
370	363 364 368 220 369	dmdcan2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
371	206 362 370	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
372	358 360 371	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
373	355 356 350 372	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
374	355 356 350 370	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
375	374	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
376		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) )
377		oveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑡 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
378	377	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
379	378	oveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) )
380		id	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠 )
381	379 380	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
382	381	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
383		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
384		ovex	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ V
385	384	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ V )
386	376 382 383 385	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
387		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) )
388		oveq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
389	388	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
390	389	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
391	380 390	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
392	391	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
393		ovex	⊢ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V
394	393	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V )
395	387 392 383 394	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
396	386 395	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
397	396	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
398	397	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
399	373 375 398	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
400	399	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
401	354 400	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
402	401	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
403	67	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
404	353 321	sstrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
405	50	tgioo2	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
406	50 405	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
407	403 315 321 404 406	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
408		ioontr	⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
409	408	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
410	409	reseq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
411	402 407 410	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) )
412	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
413	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
414	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
415	5	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
416	9	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
417	85	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
418	353 417	sstrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
419	324	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* )
420	76	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
421		0red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ )
422	78	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 < 0 )
423	334 327 421 346 422	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) < 0 )
424	419 334 420 423	gtnelicc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
425	65	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
426	41	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ )
427	125	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π < 𝑑 )
428		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
429		biid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) )
430	413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429	fourierdlem50	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
431	430	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
432	430	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
433	381	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) )
434	391	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
435		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
436	412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435	fourierdlem72	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
437	411 436	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
438		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
439		eqid	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
440	30 431	eqeltrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
441		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
442	441 440	jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
443		eleq1	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
444	443	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
445		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) )
446		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) )
447	446	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
448	445 447	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
449		raleq	⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
450	448 449	syl	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
451	450	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
452	444 451	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) )
453	452 8	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
454	440 442 453	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
455		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
456		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤
457	455 456	nfan	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
458		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
459	41	a1i	⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
460	459 2	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
461	40	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
462	461 2	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
463	460 462	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
464		ressxr	⊢ ℝ ⊆ ℝ*
465	463 464	sstrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
466	465	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
467	3 414 415	fourierdlem15	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
468		elfzofz	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
469	440 468	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
470	467 469	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
471	466 470	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
472	471	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
473		fzofzp1	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
474	440 473	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
475	467 474	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
476	466 475	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
477	476	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
478		elioore	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
479	478	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
480	40	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ )
481	426 480 413 3 414 415 469 29	fourierdlem13	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) )
482	481	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
483	482	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
484	463	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
485	484 470	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
486	485	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
487	483 486	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
488	413 324	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
489	488	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
490	481	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) )
491	485 413	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
492	490 491	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
493	426 480 413 3 414 415 474 29	fourierdlem13	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
494	493	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
495	484 475	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
496	495 413	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
497	494 496	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
498	30	eqcomi	⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = 𝐶
499	498	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝐶 )
500	498	oveq1i	⊢ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( 𝐶 + 1 )
501	500	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) )
502	499 501	oveq12i	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
503	432 502	sseqtrdi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
504	492 497 324 334 194 503	fourierdlem10	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
505	504	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
506	492 324 413 505	leadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
507	506	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
508	489	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* )
509	413 334	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
510	509	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
511	510	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
512		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
513		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
514	508 511 512 513	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
515	487 489 479 507 514	lelttrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) < 𝑡 )
516	483 515	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) < 𝑡 )
517	509	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
518	493	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
519	518 495	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
520	519	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
521		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
522	508 511 512 521	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
523	504	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
524	334 497 413 523	leadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
525	524	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
526	479 517 520 522 525	ltletrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
527	518	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
528	527	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
529	526 528	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
530	472 477 479 516 529	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
531	530	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
532		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
533	458 531 532	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
534	533	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
535	457 534	ralrimi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
536	535	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
537	536	reximdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
538	454 537	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
539	448	raleqdv	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
540	539	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
541	444 540	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) )
542	541 10	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
543	440 442 542	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
544		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
545	455 544	nfan	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
546	1 68	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
547		ssid	⊢ ℝ ⊆ ℝ
548	547	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℝ )
549		ioossre	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ
550	549	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
551	50 405	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
552	68 546 548 550 551	syl22anc	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
553		ioontr	⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
554	553	reseq2i	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
555	554	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
556	552 555	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
557	556	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
558		fvres	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
559	557 558	sylan9eq	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
560	559	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
561	560	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
562	561	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
563		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
564	530	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
565		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
566	563 564 565	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
567	562 566	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
568	567	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
569	545 568	ralrimi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
570	569	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
571	570	reximdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
572	543 571	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
573	426	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ* )
574	573 328 322 428	fourierdlem8	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
575	145	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ )
576	170 320	fssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
577	576	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
578		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
579	171	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π = ( 𝐽 ‘ 0 ) )
580	172	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 = ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) )
581	579 580	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
582	581	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
583	578 582	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
584	583	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
585		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 )
586		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
587	586	breq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 ) )
588	587	cbvrabv	⊢ { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } = { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 }
589	588	supeq1i	⊢ sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } , ℝ , < )
590	575 577 584 585 589	fourierdlem25	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑚 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) )
591	554	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
592	546	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
593	547	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℝ )
594	549	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
595	403 592 593 594 551	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
596	530	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
597		dfss3	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
598	596 597	sylibr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
599	598	resabs1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
600	591 595 599	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
601		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
602		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
603	448	reseq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
604	603 448	feq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
605	444 604	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) )
606		cncff	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
607	9 606	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
608	605 607	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
609	601 602 608	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
610	442 609	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
611	610 598	fssresd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
612	600 611	feq1dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
613	379 390	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
614	613	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
615		biid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) )
616		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) )
617	616	fveq2d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) )
618	617	breq1d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
619	618	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
620	615 619	anbi12i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
621		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
622	621	fveq2d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
623	622	breq1d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
624	623	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
625	620 624	anbi12i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
626	280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625	fourierdlem80	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
627	370	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
628	277 627	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
629	628	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
630	629	dmeqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
631		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D 𝑂 )
632		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ℝ
633		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 D
634		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
635	632 633 634	nfov	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
636	635	nfdm	⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
637	631 636	raleqf	⊢ ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
638	630 637	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
639	629	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
640	639	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
641	640	breq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
642	641	ralbidv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
643	638 642	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
644	643	rexbidv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
645	626 644	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
646		eqid	⊢ ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
647		eqeq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
648		fveq2	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ℎ ) = ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) )
649		oveq1	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ℎ + 1 ) = ( 𝑙 + 1 ) )
650	649	fveq2d	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) )
651	648 650	oveq12d	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
652	651	sseq2d	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
653	652	cbvriotavw	⊢ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
654	653	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
655	654	eqeq2i	⊢ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) )
656	655	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) )
657		csbeq1	⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
658	653 657	ax-mp	⊢ ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅
659	658	a1i	⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
660	656 659	ifbieq1d	⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
661	660	mptru	⊢ if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) )
662	661	oveq1i	⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 )
663	662	oveq1i	⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
664	663	oveq1i	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
665	664	a1i	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) )
666		eqeq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
667	653	oveq1i	⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 )
668	667	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
669	668	eqeq2i	⊢ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
670	669	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
671		csbeq1	⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
672	653 671	ax-mp	⊢ ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿
673	672	a1i	⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
674	670 673	ifbieq1d	⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
675	674	mptru	⊢ if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
676	675	oveq1i	⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 )
677	676	oveq1i	⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
678	677	oveq1i	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
679	678	a1i	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
680		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
681	666 679 680	ifbieq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
682	647 665 681	ifbieq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
683	682	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
684	42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683	fourierdlem73	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
685		breq2	⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
686	685	rexralbidv	⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
687	686	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
688	684 687	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
689	688	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
690		rphalfcl	⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
691	690	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
692		breq2	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
693	692	rexralbidv	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
694	693	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ∧ ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
695	689 691 694	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
696	357	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) )
697	158	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) )
698	697	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) )
699	698 359	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
700	696 699	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
701	700	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) )
702	701	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
703	702	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
704	703	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
705		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
706	704 705	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
707	706	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
708	707	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
709	708	ralimdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
710	709	reximdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
711	695 710	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
712	711	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
713		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
714		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
715	713 714	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
716		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
717	715 716	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ )
718		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
719	717 718	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
720		simpll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) )
721		eluznn	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
722	721	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
723	720 722	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
724	723	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
725		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
726	721	adantll	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
727		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
728	725 726 727	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
729	724 728	jca	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
730	729	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
731		nnre	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ )
732	731	rexrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ* )
733	732	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ* )
734	51	a1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
735		eluzelre	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
736		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
737	736	rehalfcli	⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ
738	737	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
739	735 738	readdcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
740	739	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
741	731	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
742	735	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
743		eluzle	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
744	743	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
745		halfgt0	⊢ 0 < ( 1 / 2 )
746	745	a1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 0 < ( 1 / 2 ) )
747	737	a1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
748	747 742	ltaddposd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 0 < ( 1 / 2 ) ↔ 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) )
749	746 748	mpbid	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
750	741 742 740 744 749	lelttrd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
751	740	ltpnfd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) < +∞ )
752	733 734 740 750 751	eliood	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
753	752	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
754		simplr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
755		oveq1	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( 𝑙 · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
756	755	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
757	756	oveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
758	757	adantr	⊢ ( ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
759	758	itgeq2dv	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
760	759	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
761	760	breq1d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
762	761	rspcv	⊢ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
763	753 754 762	sylc	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
764	763	adantlll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
765	730 764	jca	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
766	765 31	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝜒 )
767	41	a1i	⊢ ( 𝜒 → - π ∈ ℝ )
768		0red	⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ )
769		ioossicc	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 )
770	31	biimpi	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
771		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
772	770 771	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) )
773	769 772	sseldi	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( - π [,] 0 ) )
774		simp-5l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝜑 )
775	770 774	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝜑 )
776	66	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
777	40	rexri	⊢ π ∈ ℝ*
778		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
779	778 40 79	ltleii	⊢ 0 ≤ π
780		iooss2	⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) )
781	777 779 780	mp2an	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π )
782		ioossicc	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
783	781 782	sstri	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π )
784	783	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
785	784	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
786	776 785	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
787	775 786	sylan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
788		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
789	770 788	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ )
790	789	nnred	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ )
791	737	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
792	790 791	readdcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
793	792	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
794		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
795	794	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
796	793 795	remulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
797	796	resincld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
798	787 797	remulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
799	798	recnd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ )
800	75	a1i	⊢ ( 𝜒 → - π ∈ ℝ* )
801	76	a1i	⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ* )
802	767	leidd	⊢ ( 𝜒 → - π ≤ - π )
803		ioossre	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ℝ
804	803 772	sseldi	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ )
805	800 801 772 77	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 < 0 )
806	804 768 805	ltled	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ≤ 0 )
807		ioossioo	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 𝑑 ≤ 0 ) ) → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
808	800 801 802 806 807	syl22anc	⊢ ( 𝜒 → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
809		ioombl	⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ∈ dom vol
810	809	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( - π (,) 𝑑 ) ∈ dom vol )
811		eleq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ ) )
812	811	anbi2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) )
813		simpl	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑛 = 𝑘 )
814	813	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
815	814	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
816	815	fveq2d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
817	816	oveq2d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
818	817	mpteq2dva	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
819	818	eleq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) )
820	812 819	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
821	783	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
822		ioombl	⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol
823	822	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
824	66	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
825	824	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
826		nnre	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
827		readdcl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
828	826 737 827	sylancl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
829	828	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
830		simpr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
831	232 830	sseldi	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
832	829 831	remulcld	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
833	832	resincld	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
834	833	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
835	825 834	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
836	17	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) )
837	16	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
838	830 833 837	syl2anc	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
839	838	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
840	839	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
841	840	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
842	836 841	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = 𝐺 )
843	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
844	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
845	20	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
846	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
847	826	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ )
848	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ )
849	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
850	7	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
851	11	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
852	12	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
853		eqid	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
854		eqid	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 )
855	607	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
856	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
857	23	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
858	3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857	fourierdlem88	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 ∈ 𝐿1 )
859	842 858	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
860	821 823 835 859	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
861	820 860	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
862	775 789 861	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
863	808 810 798 862	iblss	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
864	772 125	syl	⊢ ( 𝜒 → - π < 𝑑 )
865	767 804 864	ltled	⊢ ( 𝜒 → - π ≤ 𝑑 )
866	768	leidd	⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 0 )
867		ioossioo	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ∧ ( - π ≤ 𝑑 ∧ 0 ≤ 0 ) ) → ( 𝑑 (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
868	800 801 865 866 867	syl22anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
869		ioombl	⊢ ( 𝑑 (,) 0 ) ∈ dom vol
870	869	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) 0 ) ∈ dom vol )
871	868 870 798 862	iblss	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
872	767 768 773 799 863 871	itgsplitioo	⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
873	808	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) )
874	873 798	syldan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
875	874 863	itgcl	⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
876	868	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) )
877	876 798	syldan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
878	877 871	itgcl	⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
879	875 878	addcomd	⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
880	872 879	eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
881	880	fveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
882	878 875	addcld	⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℂ )
883	882	abscld	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
884	878	abscld	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
885	875	abscld	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
886	884 885	readdcld	⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
887		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
888	770 887	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+ )
889	888	rpred	⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ )
890	878 875	abstrid	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
891		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
892	770 891	syl	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
893	770	simprd	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
894	884 885 889 892 893	lt2halvesd	⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
895	883 886 889 890 894	lelttrd	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
896	881 895	eqbrtrd	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
897	766 896	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
898	897	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
899	719 898	ralrimi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
900	899	ex	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
901	900	reximdva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
902	712 901	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
903		negpilt0	⊢ - π < 0
904	41 778 40	lttri	⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π )
905	903 79 904	mp2an	⊢ - π < π
906	41 40 905	ltleii	⊢ - π ≤ π
907	906	a1i	⊢ ( 𝜑 → - π ≤ π )
908	3	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
909	4 908	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
910	5 909	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
911	910	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
912		elmapi	⊢ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
913	911 912	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
914	913	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
915	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
916	914 915	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
917	916 29	fmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
918	29	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
919		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 0 ) )
920	919	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
921	920	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
922	4	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
923		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
924	922 923	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
925		eluzfz1	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
926	924 925	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
927	913 926	ffvelrnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
928	927 2	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
929	918 921 926 928	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
930	910	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
931	930	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) )
932	931	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) )
933	932	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) = ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) )
934	459	recnd	⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ )
935	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
936	934 935	pncand	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) = - π )
937	929 933 936	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π )
938	459 461 2 3 853 4 5 29	fourierdlem14	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) )
939	853	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
940	4 939	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
941	938 940	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
942	941	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
943	942	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) )
944	943	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π )
945	942	simprd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
946	945	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
947	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
948	853 4 938	fourierdlem15	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
949	948	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
950		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
951	950	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
952	949 951	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( - π [,] π ) )
953		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
954	953	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
955	949 954	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] π ) )
956	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
957		ffn	⊢ ( 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
958	911 912 957	3syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
959		fvelrnb	⊢ ( 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
960	958 959	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
961	6 960	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 )
962		oveq1	⊢ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
963	962	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
964	935	subidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
965	964	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
966	963 965	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
967	966	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
968	967	reximdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
969	961 968	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
970	29	elrnmpt	⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
971	778 970	ax-mp	⊢ ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
972	969 971	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄 )
973	853 4 938 972	fourierdlem12	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
974	913	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
975	974 951	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
976	975 956	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
977	29	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
978	951 976 977	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
979	978	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
980	975	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
981	935	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
982	980 981	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
983	979 982	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
984		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
985	984	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
986	985	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
987	29 986	eqtr4i	⊢ 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
988	987	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) )
989		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
990	989	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
991	990	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
992	974 954	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
993	992 956	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
994	988 991 954 993	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
995	994	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
996	992	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
997	996 981	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
998	995 997	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
999	983 998	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1000	999	reseq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
1001	999	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
1002	7 1000 1001	3eltr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) )
1003	55	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
1004	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
1005	947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13	fourierdlem40	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
1006		id	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
1007	67	a1i	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ℝ ⊆ ℂ )
1008	1006 1007	fssd	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
1009	9 606 1008	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
1010		eqid	⊢ if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
1011	2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010	fourierdlem75	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
1012		eqid	⊢ if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1013	2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012	fourierdlem74	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1014		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
1015		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
1016	1015	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
1017	1014 1016	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1018	1017	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1019	459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018	fourierdlem70	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑥 )
1020		eqid	⊢ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) = ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 )
1021		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
1022	1021	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1023	1022	breq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1024	1023	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1025	1024	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1026	1025	3anbi3i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1027	1026	anbi1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) )
1028	1027	anbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) )
1029	1028	anbi1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
1030	1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029	fourierdlem87	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1031		iftrue	⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1032	1031	negeqd	⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - 𝑐 )
1033	1032	adantl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - 𝑐 )
1034	75	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ∈ ℝ* )
1035	76	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
1036		rpre	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ )
1037	1036	renegcld	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - 𝑐 ∈ ℝ )
1038	1037	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 ∈ ℝ )
1039	1036	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
1040	40	rehalfcli	⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ
1041	1040	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1042	40	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ )
1043		simpr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ ( π / 2 ) )
1044		halfpos	⊢ ( π ∈ ℝ → ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) )
1045	40 1044	ax-mp	⊢ ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π )
1046	79 1045	mpbi	⊢ ( π / 2 ) < π
1047	1046	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) < π )
1048	1039 1041 1042 1043 1047	lelttrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 < π )
1049	1039 1042	ltnegd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( 𝑐 < π ↔ - π < - 𝑐 ) )
1050	1048 1049	mpbid	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π < - 𝑐 )
1051		rpgt0	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐 )
1052	1036	lt0neg2d	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 < 𝑐 ↔ - 𝑐 < 0 ) )
1053	1051 1052	mpbid	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - 𝑐 < 0 )
1054	1053	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 < 0 )
1055	1034 1035 1038 1050 1054	eliood	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 ∈ ( - π (,) 0 ) )
1056	1033 1055	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1057		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) )
1058	1057	negeqd	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - ( π / 2 ) )
1059	1040	renegcli	⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ
1060	1059	rexri	⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ*
1061	75 76 1060	3pm3.2i	⊢ ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* )
1062	1040 40	ltnegi	⊢ ( ( π / 2 ) < π ↔ - π < - ( π / 2 ) )
1063	1046 1062	mpbi	⊢ - π < - ( π / 2 )
1064		2pos	⊢ 0 < 2
1065	40 120 79 1064	divgt0ii	⊢ 0 < ( π / 2 )
1066		lt0neg2	⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ → ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 ) )
1067	1040 1066	ax-mp	⊢ ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 )
1068	1065 1067	mpbi	⊢ - ( π / 2 ) < 0
1069	1063 1068	pm3.2i	⊢ ( - π < - ( π / 2 ) ∧ - ( π / 2 ) < 0 )
1070		elioo3g	⊢ ( - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 ) ↔ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* ) ∧ ( - π < - ( π / 2 ) ∧ - ( π / 2 ) < 0 ) ) )
1071	1061 1069 1070	mpbir2an	⊢ - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 )
1072	1071	a1i	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1073	1058 1072	eqeltrd	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1074	1073	adantl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1075	1056 1074	pm2.61dan	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1076	1075	3ad2ant2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) )
1077		ioombl	⊢ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol
1078	1077	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol )
1079		simpr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1080	1078 1079	jca	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1081		ioossicc	⊢ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 )
1082	1081	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) )
1083	41	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ∈ ℝ )
1084	40	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ )
1085	1039 1042 1048	ltled	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ π )
1086	1039 1042	lenegd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( 𝑐 ≤ π ↔ - π ≤ - 𝑐 ) )
1087	1085 1086	mpbid	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - 𝑐 )
1088	1032	eqcomd	⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - 𝑐 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1089	1088	adantl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1090	1087 1089	breqtrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1091	41 1059 1063	ltleii	⊢ - π ≤ - ( π / 2 )
1092	1091	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - ( π / 2 ) )
1093	1058	eqcomd	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - ( π / 2 ) = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1094	1093	adantl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - ( π / 2 ) = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1095	1092 1094	breqtrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1096	1090 1095	pm2.61dan	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1097	779	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ π )
1098		iccss	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∧ 0 ≤ π ) ) → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1099	1083 1084 1096 1097 1098	syl22anc	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1100	1082 1099	sstrd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1101	803 1075	sseldi	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ )
1102		0red	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ )
1103		rpge0	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑐 )
1104	1103	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ 𝑐 )
1105	1043	iftrued	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1106	1104 1105	breqtrrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1107	778 1040 1065	ltleii	⊢ 0 ≤ ( π / 2 )
1108		simpr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) )
1109	1108	iffalsed	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) )
1110	1107 1109	breqtrrid	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1111	1106 1110	pm2.61dan	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1112	1040	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1113	1036 1112	ifcld	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ )
1114	1113	le0neg2d	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ↔ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 ) )
1115	1111 1114	mpbid	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 )
1116		volioo	⊢ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 ) → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1117	1101 1102 1115 1116	syl3anc	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1118		0cn	⊢ 0 ∈ ℂ
1119	1118	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℂ )
1120	1113	recnd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℂ )
1121	1119 1120	subnegd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) = ( 0 + if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1122	1120	addid2d	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 + if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1123	1117 1121 1122	3eqtrd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1124		min1	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1125	1036 1040 1124	sylancl	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1126	1123 1125	eqbrtrd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 )
1127	1100 1126	jca	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) )
1128	1127	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) )
1129		sseq1	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ↔ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) )
1130		fveq2	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( vol ‘ 𝑢 ) = ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) )
1131	1130	breq1d	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ↔ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) )
1132	1129 1131	anbi12d	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) ↔ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) ) )
1133		itgeq1	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1134	1133	fveq2d	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1135	1134	breq1d	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1136	1135	ralbidv	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1137	1132 1136	imbi12d	⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ↔ ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1138	1137	rspcva	⊢ ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1139	1080 1128 1138	sylc	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1140	1139	3adant1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1141		oveq1	⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( 𝑑 (,) 0 ) = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) )
1142	1141	itgeq1d	⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1143	1142	fveq2d	⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1144	1143	breq1d	⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1145	1144	ralbidv	⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1146	1145	rspcev	⊢ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1147	1076 1140 1146	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1148	1147	rexlimdv3a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1149	1030 1148	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1150	902 1149	r19.29a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1151	1150	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1152		nnex	⊢ ℕ ∈ V
1153	1152	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V
1154	1153	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V )
1155		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) )
1156	784	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1157	786	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1158	784	adantl	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1159		simpr	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 = 𝑘 )
1160		simpl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1161	1159 1160	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1162	1161	nnred	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1163	737	a1i	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1164	1162 1163	readdcld	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1165	1164	adantr	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1166	232 1158	sseldi	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1167	1165 1166	remulcld	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1168	1167	resincld	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1169	1158 1168 837	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1170	1169	adantlll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1171	1162	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1172	1171	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1173		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ∈ ℝ )
1174	1173	rehalfcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1175	1172 1174	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1176	232 1156	sseldi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1177	1175 1176	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1178	1177	resincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1179	1170 1178	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1180	1157 1179	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1181	17	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1182	1156 1180 1181	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1183		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
1184	1183	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
1185	1184	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1186	1185	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1187	1170 1186	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1188	1187	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1189	1182 1188	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1190	1189	itgeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1191		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1192	817	itgeq2dv	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1193	1192	eleq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) )
1194	812 1193	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) )
1195	786	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1196		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1197	1196 784 833	syl2an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1198	1195 1197	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
1199	1198 860	itgcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1200	1194 1199	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1201	1155 1190 1191 1200	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1202	39 33 1154 1201 1200	clim0c	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ↔ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
1203	1151 1202	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 )
1204	1152	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) ∈ V
1205	19 1204	eqeltri	⊢ 𝐸 ∈ V
1206	1205	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ V )
1207	1152	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V
1208	1207	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V )
1209		picn	⊢ π ∈ ℂ
1210	1209	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ )
1211		eqidd	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) )
1212		eqidd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → π = π )
1213		id	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ )
1214	40	a1i	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ )
1215	1211 1212 1213 1214	fvmptd	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1216	1215	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1217	39 33 1208 1210 1216	climconst	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ⇝ π )
1218	778 79	gtneii	⊢ π ≠ 0
1219	1218	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 )
1220	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1221	55	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ℝ )
1222	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ℝ )
1223	843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17	fourierdlem67	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1224	1223	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1225	821	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1226	1224 1225	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1227	1223	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1228	1223	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1229	1228 858	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1230	821 823 1227 1229	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1231	1226 1230	itgcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1232		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1233	1232	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1234	1196 1231 1233	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1235	1234 1231	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1236		id	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ )
1237		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
1238	1237	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1239	1236 40 1238	sylancl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1240	1209	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
1241	1218	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
1242	1240 1241	jca	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) )
1243		eldifsn	⊢ ( π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) )
1244	1242 1243	sylibr	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1245	1239 1244	eqeltrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1246	1245	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1247	1209	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℂ )
1248	1218	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ≠ 0 )
1249	1231 1247 1248	divcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ )
1250	19	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1251	1196 1249 1250	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1252	1234	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) )
1253	1239	eqcomd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1254	1253	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1255	1252 1254	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1256	1251 1255	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1257	34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256	climdivf	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ ( 0 / π ) )
1258	1209 1218	div0i	⊢ ( 0 / π ) = 0
1259	1258	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 / π ) = 0 )
1260	1257 1259	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ 0 )
1261	1152	mptex	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ∈ V
1262	18 1261	eqeltri	⊢ 𝑍 ∈ V
1263	1262	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V )
1264	1152	mptex	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ∈ V
1265	1264	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ∈ V )
1266		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
1267	1266 21	sseldi	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ )
1268	1267	halfcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 / 2 ) ∈ ℂ )
1269		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) )
1270		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ( 𝑊 / 2 ) = ( 𝑊 / 2 ) )
1271	39	eqcomi	⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ℕ
1272	1271	eleq2i	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 𝑛 ∈ ℕ )
1273	1272	biimpi	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1274	1273	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1275	1268	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑊 / 2 ) ∈ ℂ )
1276	1269 1270 1274 1275	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑊 / 2 ) )
1277	32 33 1265 1268 1276	climconst	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ⇝ ( 𝑊 / 2 ) )
1278	1249 19	fmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1279	1278	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1280	1279 1274	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1281	1276 1275	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1282	1276	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) )
1283	822	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
1284	75	a1i	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ* )
1285		0red	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ )
1286	1285	rexrd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ* )
1287		id	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) )
1288		iooltub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 < 0 )
1289	1284 1286 1287 1288	syl3anc	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 < 0 )
1290	794 1289	ltned	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ≠ 0 )
1291	1290	neneqd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ 𝑠 = 0 )
1292		velsn	⊢ ( 𝑠 ∈ { 0 } ↔ 𝑠 = 0 )
1293	1291 1292	sylnibr	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ 𝑠 ∈ { 0 } )
1294	784 1293	eldifd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1295	1294	ssriv	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } )
1296	1295	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1297	794	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1298		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ )
1299	794 1285 1289	ltled	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ≤ 0 )
1300	1299	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ≤ 0 )
1301	1297 1298 1300	lensymd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 )
1302	1301	iffalsed	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑊 )
1303		eqid	⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 )
1304	41	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
1305		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ )
1306	41 778 903	ltleii	⊢ - π ≤ 0
1307	1306	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ≤ 0 )
1308		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1309	24 1196 1303 1304 1305 1307 1308	dirkeritg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) )
1310		ubicc2	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → 0 ∈ ( - π [,] 0 ) )
1311	75 76 1306 1310	mp3an	⊢ 0 ∈ ( - π [,] 0 )
1312		oveq1	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
1313	257 262	div0i	⊢ ( 0 / 2 ) = 0
1314	1313	a1i	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 / 2 ) = 0 )
1315	1312 1314	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = 0 )
1316		oveq2	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · 0 ) )
1317		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
1318	1317	zcnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
1319	1318	mul01d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · 0 ) = 0 )
1320	1316 1319	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) = 0 )
1321	1320	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ 0 ) )
1322		sin0	⊢ ( sin ‘ 0 ) = 0
1323	1322	a1i	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ 0 ) = 0 )
1324	1321 1323	eqtrd	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 0 )
1325	1324	oveq1d	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1326		0red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 ∈ ℝ )
1327		1red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ∈ ℝ )
1328	1317	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
1329	118	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 1 )
1330		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ≤ 𝑘 )
1331	1326 1327 1328 1329 1330	ltletrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 𝑘 )
1332	1331	gt0ne0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ≠ 0 )
1333	1318 1332	div0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1334	1333	adantl	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1335	1325 1334	eqtrd	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1336	1335	sumeq2dv	⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 )
1337		fzfi	⊢ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin
1338	1337	olci	⊢ ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin )
1339		sumz	⊢ ( ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 )
1340	1338 1339	ax-mp	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0
1341	1340	a1i	⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 )
1342	1336 1341	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1343	1315 1342	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( 0 + 0 ) )
1344		00id	⊢ ( 0 + 0 ) = 0
1345	1344	a1i	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 + 0 ) = 0 )
1346	1343 1345	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = 0 )
1347	1346	oveq1d	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( 0 / π ) )
1348	1258	a1i	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 / π ) = 0 )
1349	1347 1348	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = 0 )
1350	778	elexi	⊢ 0 ∈ V
1351	1349 1308 1350	fvmpt	⊢ ( 0 ∈ ( - π [,] 0 ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 )
1352	1311 1351	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0
1353		lbicc2	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → - π ∈ ( - π [,] 0 ) )
1354	75 76 1306 1353	mp3an	⊢ - π ∈ ( - π [,] 0 )
1355		oveq1	⊢ ( 𝑠 = - π → ( 𝑠 / 2 ) = ( - π / 2 ) )
1356		oveq2	⊢ ( 𝑠 = - π → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · - π ) )
1357	1356	fveq2d	⊢ ( 𝑠 = - π → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) )
1358	1357	oveq1d	⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) )
1359	1358	sumeq2sdv	⊢ ( 𝑠 = - π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) )
1360	1355 1359	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) )
1361	1360	oveq1d	⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1362		ovex	⊢ ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ∈ V
1363	1361 1308 1362	fvmpt	⊢ ( - π ∈ ( - π [,] 0 ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1364	1354 1363	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π )
1365		mulneg12	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( - 𝑘 · π ) = ( 𝑘 · - π ) )
1366	1318 1209 1365	sylancl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( - 𝑘 · π ) = ( 𝑘 · - π ) )
1367	1366	eqcomd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · - π ) = ( - 𝑘 · π ) )
1368	1367	oveq1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) = ( ( - 𝑘 · π ) / π ) )
1369	1318	negcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - 𝑘 ∈ ℂ )
1370	1209	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ∈ ℂ )
1371	1218	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ≠ 0 )
1372	1369 1370 1371	divcan4d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( - 𝑘 · π ) / π ) = - 𝑘 )
1373	1368 1372	eqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) = - 𝑘 )
1374	1317	znegcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
1375	1373 1374	eqeltrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ )
1376		negpicn	⊢ - π ∈ ℂ
1377	1376	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - π ∈ ℂ )
1378	1318 1377	mulcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · - π ) ∈ ℂ )
1379		sineq0	⊢ ( ( 𝑘 · - π ) ∈ ℂ → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1380	1378 1379	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1381	1375 1380	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 )
1382	1381	oveq1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1383	1382 1333	eqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1384	1383	sumeq2i	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0
1385	1384 1340	eqtri	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = 0
1386	1385	oveq2i	⊢ ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( - π / 2 ) + 0 )
1387	1386	oveq1i	⊢ ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π )
1388	1376 257 262	divcli	⊢ ( - π / 2 ) ∈ ℂ
1389	1388	addid1i	⊢ ( ( - π / 2 ) + 0 ) = ( - π / 2 )
1390		divneg	⊢ ( ( π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → - ( π / 2 ) = ( - π / 2 ) )
1391	1209 257 262 1390	mp3an	⊢ - ( π / 2 ) = ( - π / 2 )
1392	1389 1391	eqtr4i	⊢ ( ( - π / 2 ) + 0 ) = - ( π / 2 )
1393	1392	oveq1i	⊢ ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π )
1394	1040	recni	⊢ ( π / 2 ) ∈ ℂ
1395		divneg	⊢ ( ( ( π / 2 ) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) → - ( ( π / 2 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π ) )
1396	1394 1209 1218 1395	mp3an	⊢ - ( ( π / 2 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π )
1397	1396	eqcomi	⊢ ( - ( π / 2 ) / π ) = - ( ( π / 2 ) / π )
1398	1209 257 1209 262 1218	divdiv32i	⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( ( π / π ) / 2 )
1399	1209 1218	dividi	⊢ ( π / π ) = 1
1400	1399	oveq1i	⊢ ( ( π / π ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
1401	1398 1400	eqtri	⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( 1 / 2 )
1402	1401	negeqi	⊢ - ( ( π / 2 ) / π ) = - ( 1 / 2 )
1403	1393 1397 1402	3eqtri	⊢ ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π ) = - ( 1 / 2 )
1404	1364 1387 1403	3eqtri	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = - ( 1 / 2 )
1405	1352 1404	oveq12i	⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) = ( 0 − - ( 1 / 2 ) )
1406	1405	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) = ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) )
1407		halfcn	⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ
1408	1118 1407	subnegi	⊢ ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 0 + ( 1 / 2 ) )
1409	1407	addid2i	⊢ ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1410	1408 1409	eqtri	⊢ ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1411	1410	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
1412	1309 1406 1411	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( 1 / 2 ) )
1413	1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412	fourierdlem95	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1414	1274 1413	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1415	18	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
1416		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
1417	1416	fveq1d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
1418	1417	oveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1419	1418	adantr	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1420	1419	itgeq2dv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1421	1420	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1422	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1423	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1424	1423 1297	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1425	1422 1424	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1426	1425	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1427	24	dirkerf	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1428	1427	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1429	794	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1430	1428 1429	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1431	1426 1430	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1432	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1433	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1434	232	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1435	1434	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1436	1433 1435	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1437	1432 1436	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1438	1437	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1439	1427	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1440	1434	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1441	1439 1440	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1442	1438 1441	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1443	40	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
1444	24	dirkercncf	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1445	1444	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1446		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1447	1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446	fourierdlem84	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1448	821 823 1442 1447	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1449	1431 1448	itgrecl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℝ )
1450	1415 1421 1196 1449	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1451	1450	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1452	1274 1451	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1453	1282 1414 1452	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) )
1454	32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453	climadd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 0 + ( 𝑊 / 2 ) ) )
1455	1268	addid2d	⊢ ( 𝜑 → ( 0 + ( 𝑊 / 2 ) ) = ( 𝑊 / 2 ) )
1456	1454 1455	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑊 / 2 ) )