Theorem fourierdlem111

Description: The fourier partial sum for F is the sum of two integrals, with the same integrand involving F and the Dirichlet Kernel D , but on two opposite intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem111.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
	fourierdlem111.b	⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
	fourierdlem111.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
	fourierdlem111.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
	fourierdlem111.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem111.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem111.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem111.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem111.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
	fourierdlem111.fper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierdlem111.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
	fourierdlem111.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem111.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem111.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem111.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
	fourierdlem111.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem111.14	⊢ 𝑊 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
Assertion	fourierdlem111	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem111.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
2		fourierdlem111.b	⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑡 ) ) ) d 𝑡 / π ) )
3		fourierdlem111.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
4		fourierdlem111.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
5		fourierdlem111.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
6		fourierdlem111.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
7		fourierdlem111.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
8		fourierdlem111.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
9		fourierdlem111.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
10		fourierdlem111.fper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
11		fourierdlem111.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
12		fourierdlem111.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
13		fourierdlem111.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
14		fourierdlem111.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
15		fourierdlem111.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
16		fourierdlem111.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
17		fourierdlem111.14	⊢ 𝑊 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
18		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) )
19	18	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) )
20		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) )
21		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
22	21	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) )
23	22	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
24	23	adantr	⊢ ( ( 𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑡 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
25	24	itgeq2dv	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
26	20 25	eqeq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ↔ ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ) )
27	19 26	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 ) ) )
28	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
29		eqid	⊢ ( - π (,) π ) = ( - π (,) π )
30		ioossre	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℝ
31	30	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ℝ )
32	9 31	feqresmpt	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
33		ioossicc	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
34	33	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
35		ioombl	⊢ ( - π (,) π ) ∈ dom vol
36	35	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ∈ dom vol )
37	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
38		pire	⊢ π ∈ ℝ
39	38	renegcli	⊢ - π ∈ ℝ
40	39 38	elicc2i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ - π ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ π ) )
41	40	simp1bi	⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑡 ∈ ℝ )
42	41	ssriv	⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
43	42	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
44	43	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
45	37 44	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
46	9 43	feqresmpt	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
47		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
48	47	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
49	9 48	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
50	49 43	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
51		ioossicc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
52	39	rexri	⊢ - π ∈ ℝ*
53	52	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → - π ∈ ℝ* )
54	38	rexri	⊢ π ∈ ℝ*
55	54	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → π ∈ ℝ* )
56	5 6 7	fourierdlem15	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
57	56	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
58		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
59	53 55 57 58	fourierdlem8	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
60	51 59	sstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
61	60	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
62	61 12	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
63	61	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
64	13 63	eleqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
65	61	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
66	14 65	eleqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
67	5 6 7 50 62 64 66	fourierdlem69	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ∈ 𝐿1 )
68	46 67	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
69	34 36 45 68	iblss	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
70	32 69	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
71	70	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
72	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
73		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
74	28 29 71 1 2 72 3 4 73	fourierdlem83	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
75	27 74	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
76	39	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
77	38	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
78	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
79	41	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
80	78 79	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ∈ ℂ )
81	80	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ∈ ℂ )
82	4	dirkerf	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
83	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
84	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
85	79 84	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑡 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
86	85	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑡 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
87	83 86	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
88	87	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
89	81 88	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) ∈ ℂ )
90	76 77 89	itgioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( - π [,] π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
91		fvres	⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) )
92	91	eqcomd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) )
93	92	oveq1d	⊢ ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
94	93	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
95	94	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( - π [,] π ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 )
96		simpl	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑛 = 𝑚 )
97	96	oveq2d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝑛 ) = ( 2 · 𝑚 ) )
98	97	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) = ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) )
99	98	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) = ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) )
100	96	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) )
101	100	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) = ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) )
102	101	fveq2d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) )
103	102	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) )
104	99 103	ifeq12d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) )
105	104	mpteq2dva	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
106	105	cbvmptv	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
107	4 106	eqtri	⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
108		fveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) )
109		oveq1	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( 𝑠 − 𝑋 ) = ( 𝑡 − 𝑋 ) )
110	109	fveq2d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) )
111	108 110	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
112	111	cbvmptv	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) )
113	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
114	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ )
115		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
116	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
117	50	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
118	62	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
119	64	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
120	66	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
121	107 5 112 113 114 115 116 117 118 119 120	fourierdlem101	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
122		oveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( 𝑋 + 𝑠 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
123	122	fveq2d	⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
124		fveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) )
125	123 124	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) )
126	125	cbvitgv	⊢ ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦
127	126	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
128	39	a1i	⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
129	128 8	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
130	129	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
131	38	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
132	131 8	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
133	132	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
134	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
135	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
136		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) )
137	129	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
138	132	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
139		elicc2	⊢ ( ( ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) ) ) )
140	137 138 139	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) ) ) )
141	136 140	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) ) )
142	141	simp1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
143	135 142	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
144	134 143	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) ∈ ℂ )
145	144	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) ∈ ℂ )
146	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
147	142	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
148	146 147	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
149	148	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
150	145 149	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ℂ )
151	130 133 150	itgioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
152	39	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → - π ∈ ℝ )
153	38	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → π ∈ ℝ )
154	8	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
155	131	recnd	⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ )
156	155	negcld	⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ )
157	154 156	pncan3d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) = - π )
158	157	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → - π = ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) )
159	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → - π = ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) )
160	141	simp2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( - π − 𝑋 ) ≤ 𝑦 )
161	137 142 135 160	leadd2dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + ( - π − 𝑋 ) ) ≤ ( 𝑋 + 𝑦 ) )
162	159 161	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → - π ≤ ( 𝑋 + 𝑦 ) )
163	141	simp3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ≤ ( π − 𝑋 ) )
164	142 138 135 163	leadd2dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ≤ ( 𝑋 + ( π − 𝑋 ) ) )
165	154	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
166	155	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → π ∈ ℂ )
167	165 166	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + ( π − 𝑋 ) ) = π )
168	164 167	breqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ≤ π )
169	152 153 143 162 168	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( - π [,] π ) )
170		fvres	⊢ ( ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( - π [,] π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
171	169 170	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
172	171	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
173	172	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
174	173	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) )
175	174	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 )
176	127 151 175	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) ) d 𝑦 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
177	121 176	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
178	90 95 177	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑡 − 𝑋 ) ) ) d 𝑡 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
179		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
180	179	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
181	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
182	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
183	179	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
184	182 183	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
185	181 184	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
186	185	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
187	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
188	187 180	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
189	188	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
190	186 189	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
191		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
192	191	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
193		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
194	192 193	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
195	194	cbvmptv	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
196	11 195	eqtri	⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
197	196	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
198	180 190 197	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
199	198	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
200	199	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
201	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
202	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
203		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
204	202 203	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ )
205	201 204	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
206	205	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
207	82	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
208	207	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
209	208	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
210	206 209	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
211	210 11	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
212	211	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
213	129	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
214	132	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ )
215		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) )
216		eliccre	⊢ ( ( ( - π − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ ( π − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
217	213 214 215 216	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
218	217	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
219	212 218	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
220	130 133 219	itgioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
221		fveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑥 → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
222	221	cbvitgv	⊢ ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥
223	220 222	eqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
224	200 223	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
225		eqid	⊢ ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) = ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) )
226	116	renegcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - 𝑋 ∈ ℝ )
227	5	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
228	6 227	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
229	7 228	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
230	229	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
231		elmapi	⊢ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
232	230 231	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
233	232	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
234	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
235	233 234	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
236	235 17	fmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
237		reex	⊢ ℝ ∈ V
238		ovex	⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ V
239	237 238	pm3.2i	⊢ ( ℝ ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ V )
240		elmapg	⊢ ( ( ℝ ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ V ) → ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ↔ 𝑊 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) )
241	239 240	mp1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ↔ 𝑊 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) )
242	236 241	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
243	17	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
244		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
245	229	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
246	245	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) )
247	246	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π )
248	244 247	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = - π )
249	248	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( - π − 𝑋 ) )
250		0zd	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
251	6	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
252		0red	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ )
253		nnre	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ )
254		nngt0	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀 )
255	252 253 254	ltled	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀 )
256	6 255	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑀 )
257		eluz2	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ) )
258	250 251 256 257	syl3anbrc	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
259		eluzfz1	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
260	258 259	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
261	243 249 260 129	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) )
262		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑀 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
263	246	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π )
264	262 263	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = π )
265	264	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( π − 𝑋 ) )
266		eluzfz2	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
267	258 266	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
268	243 265 267 132	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) )
269	261 268	jca	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) )
270	232	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
271		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
272	271	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
273	270 272	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
274		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
275	274	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
276	270 275	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
277	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
278	245	simprd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
279	278	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
280	273 276 277 279	ltsub1dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
281	272 235	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
282	17	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
283	272 281 282	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
284		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
285	284	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
286	285	cbvmptv	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
287	17 286	eqtri	⊢ 𝑊 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
288	287	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) )
289		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
290	289	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
291	290	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
292	276 277	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
293	288 291 275 292	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
294	280 283 293	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
295	294	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
296	242 269 295	jca32	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
297	16	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
298	6 297	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑊 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 𝑀 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
299	296 298	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) )
300	299	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( 𝑂 ‘ 𝑀 ) )
301	155 156 154	nnncan2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) = ( π − - π ) )
302		picn	⊢ π ∈ ℂ
303	302	2timesi	⊢ ( 2 · π ) = ( π + π )
304	302 302	subnegi	⊢ ( π − - π ) = ( π + π )
305	303 15 304	3eqtr4i	⊢ 𝑇 = ( π − - π )
306	301 305	eqtr4di	⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) = 𝑇 )
307	306	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
308	307	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
309	308	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
310		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
311	11	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
312	310 210 311	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) )
313	154	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℂ )
314	203	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
315		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
316	315 38	remulcli	⊢ ( 2 · π ) ∈ ℝ
317	15 316	eqeltri	⊢ 𝑇 ∈ ℝ
318	317	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
319	318	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ )
320	319	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
321	313 314 320	addassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
322	321	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) )
323	322	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) )
324		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝜑 )
325	324 204	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
326		eleq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝑠 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
327	326	anbi2d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) ) )
328		oveq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝑠 + 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) )
329	328	fveq2d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) )
330		fveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
331	329 330	eqeq12d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
332	327 331	imbi12d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑋 + 𝑥 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ) )
333		eleq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑠 ∈ ℝ ) )
334	333	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ) )
335		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑠 + 𝑇 ) )
336	335	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
337		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) )
338	336 337	eqeq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
339	334 338	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ) )
340	339 10	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) )
341	332 340	vtoclg	⊢ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
342	204 325 341	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
343	323 342	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
344	343	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
345	4 15	dirkerper	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) )
346	345	eqcomd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
347	346	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
348	344 347	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
349	196	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
350		oveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) = ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
351	350	fveq2d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
352		fveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
353	351 352	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
354	353	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ 𝑠 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
355	317	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
356	310 355	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
357	317	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
358	203 357	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
359	202 358	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
360	201 359	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
361	360	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
362	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
363	362 356	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
364	363	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
365	361 364	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
366	349 354 356 365	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) )
367	366	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) )
368	312 348 367	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
369	309 368	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑥 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
370	196	reseq1i	⊢ ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
371	370	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
372		ioossre	⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ
373		resmpt	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
374	372 373	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
375	371 374	eqtrdi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
376	273	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
377	376	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
378	276	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
379	378	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
380	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
381		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
382	381	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
383	380 382	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
384	383	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
385		eleq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
386	385	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
387	191	breq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
388	386 387	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
389	154	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
390	283 281	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
391	390	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
392	389 391	addcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) )
393	283	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
394	273	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
395	394 389	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
396	392 393 395	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
397	396	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
398	390	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
399		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
400	399	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
401	8	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
402	390	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
403	402	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
404	293 292	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
405	404	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
406	405	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
407		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
408		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
409	403 406 407 408	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
410	398 400 401 409	ltadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) )
411	397 410	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑥 ) )
412	388 411	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) )
413	191	breq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
414	386 413	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
415	404	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
416		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
417	403 406 407 416	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
418	400 415 401 417	ltadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
419	404	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
420	389 419	addcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) )
421	293	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
422	276	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
423	422 389	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
424	420 421 423	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
425	424	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
426	418 425	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
427	414 426	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
428	377 379 384 412 427	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
429	191	cbvmptv	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑠 ) )
430	429	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
431		ioossre	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ
432	431	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
433	9 432	feqresmpt	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
434	433	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
435		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
436	428 430 434 435	fmptco	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
437		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
438		ssid	⊢ ℂ ⊆ ℂ
439	438	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
440	439 154 439	constcncfg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑋 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
441		cncfmptid	⊢ ( ( ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
442	438 438 441	mp2an	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
443	442	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥 ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
444	440 443	addcncf	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
445	444	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
446		ioosscn	⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
447	446	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
448		ioosscn	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
449	448	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
450	376	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
451	378	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
452	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
453	399	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
454	452 453	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ )
455	454	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℝ )
456	450 451 455 411 426	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
457	437 445 447 449 456	cncfmptssg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
458	457 12	cncfco	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
459	436 458	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
460	459	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
461		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
462	82	feqmptd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
463		cncfss	⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( ℝ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℝ –cn→ ℂ ) )
464	47 438 463	mp2an	⊢ ( ℝ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℝ –cn→ ℂ )
465	4	dirkercncf	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
466	464 465	sseldi	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℂ ) )
467	462 466	eqeltrrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℂ ) )
468	372	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
469	438	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ )
470		cncff	⊢ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℂ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
471	466 470	syl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
472	471	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
473	381	adantl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
474	472 473	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
475	461 467 468 469 474	cncfmptssg	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
476	475	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
477	460 476	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
478	375 477	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
479	453 205	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
480	479	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
481		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
482	480 481	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
483	482	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
484	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
485	372	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
486	484 485	fssresd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
487	47	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
488	486 487	fssd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
489		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
490		fdm	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ → dom 𝐹 = ℝ )
491	49 490	syl	⊢ ( 𝜑 → dom 𝐹 = ℝ )
492	431 491	sseqtrrid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
493		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
494	492 493	sylib	⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
495	494	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
496	495	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
497	456 496	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
498	273	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
499	498 411	gtned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
500		eldifsn	⊢ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
501	497 499 500	sylanbrc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
502	501	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
503		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
504	503	rnmptss	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
505	502 504	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) } ) )
506		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
507		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
508	507	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
509	390	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) )
510	390 404 294	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
511	390 404 390 509 510	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
512	396 273	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
513	506 508 511 512	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
514	396	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
515	513 514	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
516	390 404	iccssred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
517	516 47	sstrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
518	517	resmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
519		rescncf	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
520	517 445 519	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
521	518 520	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
522	521 511	cnlimci	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
523	515 522	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
524		ioossicc	⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
525		resmpt	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
526	524 525	ax-mp	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
527	526	eqcomi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
528	527	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
529	528	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
530	154	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
531	390	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
532	404	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
533		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
534		eliccre	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
535	531 532 533 534	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
536	535	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
537	530 536	addcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ℂ )
538		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) )
539	537 538	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
540	390 404 294 539	limciccioolb	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
541	529 540	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
542	523 541	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
543	505 542 13	limccog	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
544	49 432	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
545	544	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
546	456 503	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
547		fcompt	⊢ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
548	545 546 547	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
549		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
550		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
551	550	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑦 ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
552		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
553	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
554	372 552	sseldi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
555	553 554	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
556	549 551 552 555	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑋 + 𝑦 ) )
557	556	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
558	557	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
559	376	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
560	378	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
561	555	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
562	396	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
563	390	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
564	554	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
565	8	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
566	402	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
567	405	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
568		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
569		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑦 )
570	566 567 568 569	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < 𝑦 )
571	563 564 565 570	ltadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) < ( 𝑋 + 𝑦 ) )
572	562 571	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + 𝑦 ) )
573	404	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
574		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
575	566 567 568 574	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
576	564 573 565 575	ltadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) < ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
577	424	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
578	576 577	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
579	559 560 561 572 578	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
580		fvres	⊢ ( ( 𝑋 + 𝑦 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
581	579 580	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
582	558 581	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
583	582	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) ) )
584	550	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
585	584	cbvmptv	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) )
586	583 585	eqtr4di	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
587	548 586	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
588	587	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
589	543 588	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
590	589	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
591		fvres	⊢ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
592	511 591	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
593	592	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
594	593	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
595	516	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
596	465	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
597		rescncf	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ) )
598	595 596 597	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
599	511	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
600	598 599	cnlimci	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
601	594 600	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
602	524	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
603	602	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
604	603	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
605	604	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
606	605	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
607	390	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
608	404	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
609	294	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
610	471	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℂ )
611	610 595	fssresd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
612	607 608 609 611	limciccioolb	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
613	606 612	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
614	601 613	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
615	483 488 489 590 614	mullimcf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
616		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) )
617	192	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
618		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
619	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
620	619 383	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
621	620	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
622	616 617 618 621	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
623	622	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
624		fvres	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
625	624	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
626	623 625	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
627	626	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
628	627	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
629	375 628	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
630	629	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
631	615 630	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) )
632	455 426	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
633		eldifsn	⊢ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝑋 + 𝑥 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
634	497 632 633	sylanbrc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
635	634	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
636	503	rnmptss	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝑋 + 𝑥 ) ∈ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
637	635 636	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ran ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ⊆ ( dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∖ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
638	404	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
639	390 404 404 510 638	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
640	521 639	cnlimci	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
641		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
642	641	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
643	277 404	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
644	506 642 639 643	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
645	644 424	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
646	528	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
647	390 404 294 539	limcicciooub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
648	646 647	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
649	640 645 648	3eltr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
650	637 649 14	limccog	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
651	587	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
652	650 651	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
653	652	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
654	639	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
655	598 654	cnlimci	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
656		fvres	⊢ ( ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
657	654 656	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
658	607 608 609 611	limcicciooub	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
659	658	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
660		resabs1	⊢ ( ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
661	524 660	mp1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
662	661	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
663	659 662	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
664	655 657 663	3eltr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
665	483 488 489 653 664	mullimcf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
666	629	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
667	665 666	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
668	130 133 225 226 16 114 300 211 369 478 631 667	fourierdlem110	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
669	668	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
670	129	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( - π − 𝑋 ) ∈ ℂ )
671	670 154	subnegd	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = ( ( - π − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
672	156 154	npcand	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π − 𝑋 ) + 𝑋 ) = - π )
673	671 672	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = - π )
674	132	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( π − 𝑋 ) ∈ ℂ )
675	674 154	subnegd	⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = ( ( π − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
676	155 154	npcand	⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) + 𝑋 ) = π )
677	675 676	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) = π )
678	673 677	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) = ( - π [,] π ) )
679	678	itgeq1d	⊢ ( 𝜑 → ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
680	679	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( ( - π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) [,] ( ( π − 𝑋 ) − - 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
681	669 680	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) [,] ( π − 𝑋 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
682		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
683	682	cbvitgv	⊢ ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠
684	211	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
685	44	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
686	684 685	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
687	76 77 686	itgioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 )
688		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
689	688	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
690	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
691	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
692	688	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
693	691 692	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
694	690 693	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
695	694	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
696	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
697	696 689	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
698	697	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
699	695 698	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
700	689 699 197	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
701	700	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
702	683 687 701	3eqtr3a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π [,] π ) ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
703	224 681 702	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( ( - π − 𝑋 ) (,) ( π − 𝑋 ) ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
704	75 178 703	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
705	77	renegcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
706		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ )
707		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
708		negpilt0	⊢ - π < 0
709	39 707 708	ltleii	⊢ - π ≤ 0
710	709	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ≤ 0 )
711		pipos	⊢ 0 < π
712	707 38 711	ltleii	⊢ 0 ≤ π
713	712	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ≤ π )
714	76 77 706 710 713	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ( - π [,] π ) )
715		ioossicc	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 )
716	715	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 ) )
717		ioombl	⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol
718	717	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
719	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
720	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
721	39	a1i	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → - π ∈ ℝ )
722		0red	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → 0 ∈ ℝ )
723		id	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) )
724		eliccre	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
725	721 722 723 724	syl3anc	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
726	725	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
727	720 726	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
728	719 727	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
729	728	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
730	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
731	725	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
732	730 731	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
733	732	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
734	729 733	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
735	731 734 197	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
736	735	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
737	736	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
738	306	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) = ( 𝑠 + 𝑇 ) )
739	738	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) = ( 𝑠 + 𝑇 ) )
740	739	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
741	11	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
742		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( 𝑋 + 𝑥 ) = ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
743	742	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
744		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
745	743 744	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
746	745	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 = ( 𝑠 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
747		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℝ )
748	317	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
749	747 748	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑠 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
750	749	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑠 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
751	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
752	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
753	752 749	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
754	751 753	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
755	754	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
756	82	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
757	756 750	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
758	757	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
759	755 758	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
760	741 746 750 759	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) )
761	154	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℂ )
762	747	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℂ )
763	319	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
764	761 762 763	addassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) )
765	764	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) )
766	765	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) )
767	752 747	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
768		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝜑 )
769	768 767	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) )
770		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) )
771	770	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) ) )
772		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) )
773	772	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) )
774	773 435	eqeq12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
775	771 774	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) )
776	775 10	vtoclg	⊢ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
777	767 769 776	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
778	766 777	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
779	778	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
780	4 15	dirkerper	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
781	780	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
782	779 781	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
783		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℝ )
784	782 759	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
785	783 784 197	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
786	785	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
787	782 786	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ ( 𝑠 + 𝑇 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
788	740 760 787	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑠 + ( ( π − 𝑋 ) − ( - π − 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
789		0ltpnf	⊢ 0 < +∞
790		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
791		elioo2	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( 0 ∈ ( - π (,) +∞ ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 < +∞ ) ) )
792	52 790 791	mp2an	⊢ ( 0 ∈ ( - π (,) +∞ ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 < +∞ ) )
793	707 708 789 792	mpbir3an	⊢ 0 ∈ ( - π (,) +∞ )
794	793	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ( - π (,) +∞ ) )
795	16 225 114 300 211 788 478 631 667 76 794	fourierdlem105	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
796	737 795	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
797	716 718 734 796	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
798		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
799	798	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
800	799 784	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
801	799 800 197	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
802	801	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
803	802	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
804		ioossicc	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π )
805	804	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π ) )
806		ioombl	⊢ ( 0 (,) π ) ∈ dom vol
807	806	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
808	211	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ℂ )
809		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 0 ∈ ℝ )
810	38	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → π ∈ ℝ )
811		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) )
812		eliccre	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
813	809 810 811 812	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
814	813	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
815	808 814	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℂ )
816		0xr	⊢ 0 ∈ ℝ*
817	816	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ* )
818	790	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → +∞ ∈ ℝ* )
819	711	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 < π )
820		ltpnf	⊢ ( π ∈ ℝ → π < +∞ )
821	38 820	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π < +∞ )
822	817 818 77 819 821	eliood	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ( 0 (,) +∞ ) )
823	16 225 114 300 211 788 478 631 667 706 822	fourierdlem105	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
824	805 807 815 823	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
825	803 824	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
826	705 77 714 699 797 825	itgsplitioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
827	704 826	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )