Theorem fourierdlem112

Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier theorem. ( Zm ) is the m_th partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem112.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
	fourierdlem112.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
	fourierdlem112.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem112.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem112.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem112.n	⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 )
	fourierdlem112.v	⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
	fourierdlem112.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem112.xran	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
	fourierdlem112.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
	fourierdlem112.fper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierdlem112.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem112.c	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem112.u	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem112.fdvcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem112.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem112.i	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem112.l	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem112.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem112.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
	fourierdlem112.b	⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
	fourierdlem112.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
	fourierdlem112.23	⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
	fourierdlem112.fbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
	fourierdlem112.fdvbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
	fourierdlem112.25	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
Assertion	fourierdlem112	⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem112.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2		fourierdlem112.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
3		fourierdlem112.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
4		fourierdlem112.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5		fourierdlem112.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
6		fourierdlem112.n	⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 )
7		fourierdlem112.v	⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
8		fourierdlem112.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
9		fourierdlem112.xran	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
10		fourierdlem112.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
11		fourierdlem112.fper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
12		fourierdlem112.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
13		fourierdlem112.c	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
14		fourierdlem112.u	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
15		fourierdlem112.fdvcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
16		fourierdlem112.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
17		fourierdlem112.i	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
18		fourierdlem112.l	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
19		fourierdlem112.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
20		fourierdlem112.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
21		fourierdlem112.b	⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
22		fourierdlem112.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
23		fourierdlem112.23	⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
24		fourierdlem112.fbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
25		fourierdlem112.fdvbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
26		fourierdlem112.25	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
27		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) )
28		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( 𝑗 · 𝑋 ) )
29	28	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) )
30	27 29	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) )
31		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) )
32	28	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) )
33	31 32	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) )
34	30 33	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) )
35	34	cbvmptv	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) )
36	23 35	eqtri	⊢ 𝑆 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) )
37		seqeq3	⊢ ( 𝑆 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) → seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) )
38	36 37	mp1i	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) )
39		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
40		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
41		nfv	⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑
42		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ℕ
43		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( - π (,) 0 )
44		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) )
45		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ·
46		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 )
47	44 45 46	nfov	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) )
48	43 47	nfitg	⊢ Ⅎ 𝑛 ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠
49	42 48	nfmpt	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
50		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 0 (,) π )
51	50 47	nfitg	⊢ Ⅎ 𝑛 ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠
52	42 51	nfmpt	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
53		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
54	20 53	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑛 𝐴
55		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 0
56	54 55	nffv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝐴 ‘ 0 )
57		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 /
58		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 2
59	56 57 58	nfov	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 )
60		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 +
61		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 1 ... 𝑚 )
62	61	nfsum1	⊢ Ⅎ 𝑛 Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
63	59 60 62	nfov	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
64	42 63	nfmpt	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
65	22 64	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑛 𝑍
66		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
67		picn	⊢ π ∈ ℂ
68	67	2timesi	⊢ ( 2 · π ) = ( π + π )
69	67 67	subnegi	⊢ ( π − - π ) = ( π + π )
70	68 10 69	3eqtr4i	⊢ 𝑇 = ( π − - π )
71		pire	⊢ π ∈ ℝ
72	71	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
73	72	renegcld	⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
74	73 26	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
75	72 26	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
76		negpilt0	⊢ - π < 0
77		pipos	⊢ 0 < π
78	71	renegcli	⊢ - π ∈ ℝ
79		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
80	78 79 71	lttri	⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π )
81	76 77 80	mp2an	⊢ - π < π
82	81	a1i	⊢ ( 𝜑 → - π < π )
83	73 72 26 82	ltadd1dd	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) < ( π + 𝑋 ) )
84		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
85	84	eleq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) )
86	85	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) )
87	86	cbvrabv	⊢ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } = { 𝑥 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 }
88	87	uneq2i	⊢ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) = ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } )
89	70 3 4 5 74 75 83 66 88 6 7	fourierdlem54	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑉 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) )
90	89	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) ) )
91	90	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
92	90	simprd	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) )
93	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
94		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) )
95		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
96	95	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
97	94 96	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
98	97	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
99	98	anbi2i	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
100	99	a1i	⊢ ( 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
101	100	rabbiia	⊢ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } = { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) }
102	101	mpteq2i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) } )
103	3 102	eqtri	⊢ 𝑃 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) } )
104	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
105	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
106	11	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
107		eleq1w	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
108	107	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
109		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
110	95	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
111	109 110	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
112	111	reseq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
113	111	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
114	112 113	eleq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
115	108 114	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ) )
116	115 12	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
117	116	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
118	74	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
119	74	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ* )
120		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
121	120	a1i	⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* )
122	75	ltpnfd	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) < +∞ )
123	119 121 75 83 122	eliood	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
124	123	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
125		id	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
126	6	oveq2i	⊢ ( 0 ..^ 𝑁 ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) )
127	125 126	eleqtrdi	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) )
128	127	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) )
129	6	oveq2i	⊢ ( 0 ... 𝑁 ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) )
130		isoeq4	⊢ ( ( 0 ... 𝑁 ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) → ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) )
131	129 130	ax-mp	⊢ ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
132	131	iotabii	⊢ ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
133	7 132	eqtri	⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
134	93 103 70 104 105 106 117 118 124 128 133	fourierdlem98	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
135	24	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
136		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤
137		elioore	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
138		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
139	137 138	sylan2	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
140	139	ex	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
141	136 140	ralrimi	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
142	141	reximi	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
143	135 142	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
144		ssid	⊢ ℝ ⊆ ℝ
145		dvfre	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ ) → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ )
146	1 144 145	sylancl	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ )
147	146	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ )
148		eqid	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 )
149	71	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ )
150	78	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ )
151	111	reseq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
152	151 113	eleq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
153	108 152	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ) )
154	153 15	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
155	154	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
156	73 8	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
157	156	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
158	156	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ* )
159	72 8	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
160	73 72 8 82	ltadd1dd	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) < ( π + 𝑋 ) )
161	159	ltpnfd	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) < +∞ )
162	158 121 159 160 161	eliood	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
163	162	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
164		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ℎ · 𝑇 ) )
165	164	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) )
166	165	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) )
167	166	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 )
168	167	rgenw	⊢ ∀ 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 )
169		rabbi	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) ↔ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } = { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } )
170	168 169	mpbi	⊢ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } = { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 }
171	170	uneq2i	⊢ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) = ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } )
172		isoeq5	⊢ ( ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) = ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) → ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) )
173	171 172	ax-mp	⊢ ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
174	173	iotabii	⊢ ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
175	133 174	eqtri	⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
176		eleq1w	⊢ ( 𝑣 = 𝑢 → ( 𝑣 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ 𝑢 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) )
177		fveq2	⊢ ( 𝑣 = 𝑢 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑣 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑢 ) )
178	176 177	ifbieq1d	⊢ ( 𝑣 = 𝑢 → if ( 𝑣 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑣 ) , 0 ) = if ( 𝑢 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑢 ) , 0 ) )
179	178	cbvmptv	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑣 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑣 ) , 0 ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑢 ) , 0 ) )
180	93 148 103 149 150 70 104 105 106 155 157 163 128 175 179	fourierdlem97	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
181		cncff	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
182		fdm	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
183	180 181 182	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
184		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
185	183 184	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
186	147 185	fssresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
187		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
188	187	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
189		cncfcdm	⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
190	188 180 189	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
191	186 190	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
192	25	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
193		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
194		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
195	193 194	nfan	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
196		fvres	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
197	196	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
198	197	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
199	198	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
200		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
201	185	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
202	201	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
203		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
204	200 202 203	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
205	199 204	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
206	205	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
207	195 206	ralrimi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
208	207	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
209	208	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
210	192 209	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
211		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
212	196	eqcomd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
213	212	fveq2d	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
214	213	adantl	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
215		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
216	214 215	eqbrtrd	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
217	216	ex	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
218	211 217	ralrimi	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
219	218	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
220	219	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
221	210 220	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
222		nfv	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
223		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶
224	223	nfel1	⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
225	222 224	nfim	⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
226		csbeq1a	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 )
227	112 109	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
228	226 227	eleq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) ) )
229	108 228	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
230	225 229 13	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
231	230	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
232	93 103 70 104 105 106 117 231 118 124 128 133	fourierdlem96	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
233		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈
234	233	nfel1	⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
235	222 234	nfim	⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
236		csbeq1a	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → 𝑈 = ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 )
237	112 110	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
238	236 237	eleq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
239	108 238	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ) )
240	235 239 14	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
241	240	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
242	93 103 70 104 105 106 117 241 157 163 128 133	fourierdlem99	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) + 1 ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
243		eqeq1	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0 ) )
244		oveq2	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑔 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
245	244	fveq2d	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
246		breq2	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠 ) )
247	246	ifbid	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) = if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) )
248	245 247	oveq12d	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) )
249		id	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → 𝑔 = 𝑠 )
250	248 249	oveq12d	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑠 ) )
251	243 250	ifbieq2d	⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑠 ) ) )
252	251	cbvmptv	⊢ ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑠 ) ) )
253		eqeq1	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑜 = 0 ↔ 𝑠 = 0 ) )
254		id	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → 𝑜 = 𝑠 )
255		oveq1	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑜 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
256	255	fveq2d	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
257	256	oveq2d	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
258	254 257	oveq12d	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
259	253 258	ifbieq2d	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
260	259	cbvmptv	⊢ ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
261		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
262		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
263	261 262	oveq12d	⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
264	263	cbvmptv	⊢ ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
265		oveq2	⊢ ( 𝑑 = 𝑠 → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
266	265	fveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑠 → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
267	266	cbvmptv	⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
268		fveq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
269		fveq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
270	268 269	oveq12d	⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
271	270	cbvmptv	⊢ ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
272		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
273	272	fveq1d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
274	273	oveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
275	274	adantr	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
276	275	itgeq2dv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
277	276	cbvmptv	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
278		oveq1	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
279	278	oveq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) )
280	279	fveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) )
281	280	mpteq2dv	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) = ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) )
282	281	fveq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) )
283	282	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
284	283	mpteq2dv	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
285	284	fveq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
286	285	adantr	⊢ ( ( 𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
287	286	itgeq2dv	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
288	287	oveq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
289	288	cbvmptv	⊢ ( 𝑐 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
290		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) )
291	290	eqeq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 ↔ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) )
292		oveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) = ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
293	292	fveq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
294		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( 𝑦 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
295	294	fveq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
296	295	oveq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) = ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
297	293 296	oveq12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
298	291 297	ifbieq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
299	298	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
300		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑚 = 𝑘 )
301	300	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝑚 ) = ( 2 · 𝑘 ) )
302	301	oveq1d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) = ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) )
303	302	oveq1d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) )
304	300	oveq1d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
305	304	oveq1d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
306	305	fveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
307	306	oveq1d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
308	303 307	ifeq12d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
309	308	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
310	299 309	eqtrid	⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
311	310	cbvmptv	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
312	2 311	eqtri	⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
313		eqid	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( - π [,] 𝑙 ) ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( - π [,] 𝑙 ) )
314		eqid	⊢ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) = ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) )
315		eqid	⊢ ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 )
316		isoeq1	⊢ ( 𝑢 = 𝑤 → ( 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ↔ 𝑤 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) )
317	316	cbviotavw	⊢ ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) = ( ℩ 𝑤 𝑤 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) )
318		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
319	318	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
320	319	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
321		eqid	⊢ ( ℩ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑚 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑚 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) )
322		fveq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
323		oveq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
324	323	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
325	322 324	oveq12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) = ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
326	325	cbvitgv	⊢ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
327	326	fveq2i	⊢ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
328	327	breq1i	⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) )
329	328	anbi2i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) )
330	325	cbvitgv	⊢ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
331	330	fveq2i	⊢ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
332	331	breq1i	⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) )
333	329 332	anbi12i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) )
334	1 26 66 91 92 9 134 143 191 221 232 242 252 260 264 267 271 277 289 19 18 16 17 312 313 314 315 317 320 321 333	fourierdlem103	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ⇝ ( 𝐿 / 2 ) )
335		nnex	⊢ ℕ ∈ V
336	335	mptex	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ∈ V
337	22 336	eqeltri	⊢ 𝑍 ∈ V
338	337	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V )
339	274	adantr	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
340	339	itgeq2dv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
341	340	cbvmptv	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
342	285	adantr	⊢ ( ( 𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
343	342	itgeq2dv	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
344	343	oveq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
345	344	cbvmptv	⊢ ( 𝑐 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
346		eqid	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( 𝑒 [,] π ) ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( 𝑒 [,] π ) )
347		eqid	⊢ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) = ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) )
348		eqid	⊢ ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 )
349		isoeq1	⊢ ( 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ↔ 𝑣 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) )
350	349	cbviotavw	⊢ ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) = ( ℩ 𝑣 𝑣 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) )
351		eqid	⊢ ( ℩ 𝑎 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑎 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 + 1 ) ) ) )
352	325	cbvitgv	⊢ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
353	352	fveq2i	⊢ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
354	353	breq1i	⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) )
355	354	anbi2i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) )
356	325	cbvitgv	⊢ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
357	356	fveq2i	⊢ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
358	357	breq1i	⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) )
359	355 358	anbi12i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) )
360	1 26 66 91 92 9 134 143 191 221 232 242 252 260 264 267 271 341 345 19 18 16 17 312 346 347 348 350 320 351 359	fourierdlem104	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ⇝ ( 𝑅 / 2 ) )
361		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
362	276	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
363		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
364		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
365	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
366	26	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
367		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℝ )
368	366 367	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
369	365 368	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
370	369	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
371	2	dirkerre	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
372	371	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
373	370 372	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
374	364 373	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
375		ioossicc	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 )
376	78	leidi	⊢ - π ≤ - π
377	79 71 77	ltleii	⊢ 0 ≤ π
378		iccss	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 0 ≤ π ) ) → ( - π [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
379	78 71 376 377 378	mp4an	⊢ ( - π [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π )
380	375 379	sstri	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π )
381	380	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
382		ioombl	⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol
383	382	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
384	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
385	26	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
386	73 72	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
387	386	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
388	385 387	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
389	384 388	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
390	389	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
391		iccssre	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
392	78 71 391	mp2an	⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
393	392	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
394	393 371	sylan2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
395	394	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
396	390 395	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
397	78	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
398	71	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
399	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
400	26	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
401	91	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ℕ )
402	92	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) )
403	134	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
404	232	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
405	242	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) + 1 ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
406	2	dirkercncf	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
407	406	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
408		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
409	397 398 399 400 66 401 402 403 404 405 320 3 407 408	fourierdlem84	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
410	381 383 396 409	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
411	374 410	itgcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
412	361 362 363 411	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
413	412 411	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
414		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
415	340	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
416	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
417	26	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
418		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
419	418	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
420	417 419	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
421	416 420	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
422	421	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
423	418 371	sylan2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
424	423	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
425	422 424	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
426		ioossicc	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π )
427	78 79 76	ltleii	⊢ - π ≤ 0
428	71	leidi	⊢ π ≤ π
429		iccss	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 0 ∧ π ≤ π ) ) → ( 0 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
430	78 71 427 428 429	mp4an	⊢ ( 0 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π )
431	426 430	sstri	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
432	431	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
433		ioombl	⊢ ( 0 (,) π ) ∈ dom vol
434	433	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
435	432 434 396 409	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
436	425 435	itgcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
437	414 415 363 436	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
438	437 436	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
439		eleq1w	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) )
440	439	anbi2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) )
441		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
442	276 340	oveq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
443	441 442	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ↔ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) )
444	440 443	imbi12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) ) )
445		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑛 · 𝑥 ) = ( 𝑚 · 𝑥 ) )
446	445	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) )
447	446	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
448	447	adantr	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
449	448	itgeq2dv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
450	449	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
451	450	cbvmptv	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
452	20 451	eqtri	⊢ 𝐴 = ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
453	445	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) )
454	453	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
455	454	adantr	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
456	455	itgeq2dv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
457	456	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
458	457	cbvmptv	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
459	21 458	eqtri	⊢ 𝐵 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
460		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
461		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
462	461	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
463	460 462	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
464		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
465	461	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
466	464 465	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
467	463 466	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
468	467	cbvsumv	⊢ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
469	468	oveq2i	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
470	469	mpteq2i	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
471		oveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 1 ... 𝑚 ) = ( 1 ... 𝑛 ) )
472	471	sumeq1d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
473	472	oveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
474	473	cbvmptv	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
475		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) )
476		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝑘 · 𝑋 ) = ( 𝑚 · 𝑋 ) )
477	476	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) )
478	475 477	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) )
479		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) )
480	476	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) )
481	479 480	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) )
482	478 481	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) )
483	482	cbvsumv	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) )
484	483	oveq2i	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) )
485	484	mpteq2i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
486	474 485	eqtri	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
487	22 470 486	3eqtri	⊢ 𝑍 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
488		oveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑋 + 𝑦 ) = ( 𝑋 + 𝑥 ) )
489	488	fveq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
490		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) )
491	489 490	oveq12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) )
492	491	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) )
493		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
494		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
495	494	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
496	495	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
497	452 459 487 2 3 4 5 8 1 11 492 12 13 14 10 493 496	fourierdlem111	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
498	444 497	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
499	412 437	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
500	498 499	eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ) )
501	41 49 52 65 39 40 334 338 360 413 438 500	climaddf	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( ( 𝐿 / 2 ) + ( 𝑅 / 2 ) ) )
502		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
503	502 18	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ )
504		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
505	504 19	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ )
506		2cnd	⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ )
507		2pos	⊢ 0 < 2
508	507	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 < 2 )
509	508	gt0ne0d	⊢ ( 𝜑 → 2 ≠ 0 )
510	503 505 506 509	divdird	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) = ( ( 𝐿 / 2 ) + ( 𝑅 / 2 ) ) )
511	501 510	breqtrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) )
512		0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0
513	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
514		eqid	⊢ ( - π (,) π ) = ( - π (,) π )
515		ioossre	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℝ
516	515	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ℝ )
517	1 516	feqresmpt	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
518		ioossicc	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
519	518	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
520		ioombl	⊢ ( - π (,) π ) ∈ dom vol
521	520	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ∈ dom vol )
522	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
523	386	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
524	522 523	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
525	1 386	feqresmpt	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
526	187	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
527	1 526	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
528	527 386	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
529		ioossicc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
530	78	rexri	⊢ - π ∈ ℝ*
531	530	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → - π ∈ ℝ* )
532	71	rexri	⊢ π ∈ ℝ*
533	532	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → π ∈ ℝ* )
534	3 4 5	fourierdlem15	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
535	534	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
536		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
537	531 533 535 536	fourierdlem8	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
538	529 537	sstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
539	538	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
540	539 12	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
541	539	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
542	541	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
543	13 542	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
544	541	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
545	14 544	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
546	3 4 5 528 540 543 545	fourierdlem69	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ∈ 𝐿1 )
547	525 546	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
548	519 521 524 547	iblss	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
549	517 548	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
550	549	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
551		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℕ0 )
552	513 514 550 20 551	fourierdlem16	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 ) ∧ ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 0 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℝ ) )
553	552	simplld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
554	512 553	mpan2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
555	554	rehalfcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℝ )
556	555	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℂ )
557	335	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V
558	557	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V )
559		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → 𝑚 ∈ ℕ )
560	555	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℝ )
561		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 1 ... 𝑚 ) ∈ Fin )
562		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ) → 𝜑 )
563		elfznn	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
564	563	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
565		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝜑 )
566	363	nnnn0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ0 )
567		eleq1w	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0 ) )
568	567	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) ) )
569		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) )
570	569	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) )
571	568 570	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) ) )
572	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
573	549	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
574		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
575	572 514 573 20 574	fourierdlem16	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 ) ∧ ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℝ ) )
576	575	simplld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
577	571 576	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
578	565 566 577	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
579	363	nnred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ )
580	579 400	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
581	580	recoscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
582	578 581	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
583		eleq1w	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) )
584	583	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) )
585		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) )
586	585	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) )
587	584 586	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) ) )
588	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
589	549	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
590		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
591	588 514 589 21 590	fourierdlem21	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ∧ ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℝ ) )
592	591	simplld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
593	587 592	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
594	580	resincld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
595	593 594	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
596	582 595	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
597	562 564 596	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
598	561 597	fsumrecl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
599	560 598	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
600	22	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
601	559 599 600	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
602	601 599	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) ∈ ℝ )
603	602	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) ∈ ℂ )
604		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
605		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 1 ... 𝑛 ) = ( 1 ... 𝑚 ) )
606	605	sumeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
607	606	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
608		sumex	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V
609	608	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V )
610	604 607 559 609	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
611	560	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℂ )
612	598	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
613	611 612	pncan2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
614	613 468	eqtr2di	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
615		ovex	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V
616	22	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
617	559 615 616	sylancl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
618	617	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) )
619	618	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
620	610 614 619	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
621	39 40 511 556 558 603 620	climsubc1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
622		seqex	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ∈ V
623	622	a1i	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ∈ V )
624		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
625		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( 1 ... 𝑛 ) = ( 1 ... 𝑙 ) )
626	625	sumeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
627	626	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑙 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
628		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → 𝑙 ∈ ℕ )
629		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( 1 ... 𝑙 ) ∈ Fin )
630		elfznn	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
631	630	nnnn0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
632	631 576	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
633	630	nnred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
634	633	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
635	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
636	634 635	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
637	636	recoscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
638	632 637	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
639	630 592	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
640	636	resincld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
641	639 640	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
642	638 641	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
643	642	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
644	629 643	fsumrecl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
645	624 627 628 644	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
646		eleq1w	⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ ℕ ) )
647	646	anbi2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) ) )
648		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
649	626 648	eqeq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) ↔ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) )
650	647 649	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
651		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
652		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
653		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 · 𝑋 ) = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
654	653	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
655	652 654	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
656		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
657	653	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
658	656 657	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
659	655 658	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
660	659	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑗 = 𝑘 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
661		elfznn	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
662	661	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
663		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → 𝜑 )
664		nnnn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0 )
665		nn0re	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ )
666	665	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
667	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
668	666 667	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
669	668	recoscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
670	576 669	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
671	664 670	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
672	664 668	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
673	672	resincld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
674	592 673	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
675	671 674	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
676	663 662 675	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
677	651 660 662 676	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
678	363 39	eleqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
679	676	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
680	677 678 679	fsumser	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) )
681	650 680	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
682	645 681	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
683	39 558 623 40 682	climeq	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ↔ seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ) )
684	621 683	mpbid	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
685	38 684	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
686		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
687		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) )
688		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( 𝑗 · 𝑋 ) = ( 𝑛 · 𝑋 ) )
689	688	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) )
690	687 689	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
691		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) )
692	688	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) )
693	691 692	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
694	690 693	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
695	694	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑗 = 𝑛 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
696	686 695 363 596	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
697	596	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
698	39 40 696 697 684	isumclim	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
699	698	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ) )
700	503 505	addcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 + 𝑅 ) ∈ ℂ )
701	700	halfcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) ∈ ℂ )
702	556 701	pncan3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) )
703	699 702	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) )
704	685 703	jca	⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) ) )