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Theorem fourierdlem112

Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier theorem. ( Zm ) is the m_th partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem112.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
fourierdlem112.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem112.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
fourierdlem112.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem112.q ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
fourierdlem112.n ⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 )
fourierdlem112.v ⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
fourierdlem112.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem112.xran ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
fourierdlem112.t ⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
fourierdlem112.fper ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
fourierdlem112.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem112.c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
fourierdlem112.u ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
fourierdlem112.fdvcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem112.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem112.i ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem112.l ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem112.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
fourierdlem112.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
fourierdlem112.b ⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
fourierdlem112.z ⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
fourierdlem112.23 ⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
fourierdlem112.fbd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
fourierdlem112.fdvbd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
fourierdlem112.25 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
Assertion fourierdlem112 ( 𝜑 → ( seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem112.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2 fourierdlem112.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
3 fourierdlem112.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
4 fourierdlem112.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5 fourierdlem112.q ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
6 fourierdlem112.n ⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 )
7 fourierdlem112.v ⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
8 fourierdlem112.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
9 fourierdlem112.xran ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
10 fourierdlem112.t ⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
11 fourierdlem112.fper ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
12 fourierdlem112.fcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
13 fourierdlem112.c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
14 fourierdlem112.u ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
15 fourierdlem112.fdvcn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
16 fourierdlem112.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
17 fourierdlem112.i ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
18 fourierdlem112.l ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
19 fourierdlem112.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
20 fourierdlem112.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
21 fourierdlem112.b ⊢ 𝐵 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
22 fourierdlem112.z ⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
23 fourierdlem112.23 ⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
24 fourierdlem112.fbd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
25 fourierdlem112.fdvbd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
26 fourierdlem112.25 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
27 fveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) )
28 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( 𝑗 · 𝑋 ) )
29 28 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) )
30 27 29 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) )
31 fveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) )
32 28 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) )
33 31 32 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) )
34 30 33 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) )
35 34 cbvmptv ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) )
36 23 35 eqtri ⊢ 𝑆 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) )
37 seqeq3 ⊢ ( 𝑆 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) → seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) )
38 36 37 mp1i ⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) )
39 nnuz ⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
40 1zzd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
41 nfv ⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑
42 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 ℕ
43 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 ( - π (,) 0 )
44 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) )
45 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 ·
46 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 )
47 44 45 46 nfov ⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) )
48 43 47 nfitg ⊢ Ⅎ 𝑛 ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠
49 42 48 nfmpt ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
50 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 0 (,) π )
51 50 47 nfitg ⊢ Ⅎ 𝑛 ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠
52 42 51 nfmpt ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
53 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
54 20 53 nfcxfr ⊢ Ⅎ 𝑛 𝐴
55 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 0
56 54 55 nffv ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝐴 ‘ 0 )
57 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 /
58 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 2
59 56 57 58 nfov ⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 )
60 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 +
61 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 1 ... 𝑚 )
62 61 nfsum1 ⊢ Ⅎ 𝑛 Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
63 59 60 62 nfov ⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
64 42 63 nfmpt ⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
65 22 64 nfcxfr ⊢ Ⅎ 𝑛 𝑍
66 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
67 picn ⊢ π ∈ ℂ
68 67 2timesi ⊢ ( 2 · π ) = ( π + π )
69 67 67 subnegi ⊢ ( π − - π ) = ( π + π )
70 68 10 69 3eqtr4i ⊢ 𝑇 = ( π − - π )
71 pire ⊢ π ∈ ℝ
72 71 a1i ⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
73 72 renegcld ⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
74 73 26 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
75 72 26 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
76 negpilt0 ⊢ - π < 0
77 pipos ⊢ 0 < π
78 71 renegcli ⊢ - π ∈ ℝ
79 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
80 78 79 71 lttri ⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π )
81 76 77 80 mp2an ⊢ - π < π
82 81 a1i ⊢ ( 𝜑 → - π < π )
83 73 72 26 82 ltadd1dd ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) < ( π + 𝑋 ) )
84 oveq1 ⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
85 84 eleq1d ⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) )
86 85 rexbidv ⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) )
87 86 cbvrabv ⊢ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } = { 𝑥 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 }
88 87 uneq2i ⊢ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) = ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } )
89 70 3 4 5 74 75 83 66 88 6 7 fourierdlem54 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑉 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) )
90 89 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) ) )
91 90 simpld ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
92 90 simprd ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) )
93 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
94 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) )
95 oveq1 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
96 95 fveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
97 94 96 breq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
98 97 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
99 98 anbi2i ⊢ ( ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
100 99 a1i ⊢ ( 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
101 100 rabbiia ⊢ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } = { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) }
102 101 mpteq2i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) } )
103 3 102 eqtri ⊢ 𝑃 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = π ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑗 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) } )
104 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
105 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
106 11 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
107 eleq1w ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
108 107 anbi2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
109 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
110 95 fveq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
111 109 110 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
112 111 reseq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
113 111 oveq1d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
114 112 113 eleq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
115 108 114 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ) )
116 115 12 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
117 116 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
118 74 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
119 74 rexrd ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ* )
120 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ*
121 120 a1i ⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* )
122 75 ltpnfd ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) < +∞ )
123 119 121 75 83 122 eliood ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
124 123 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
125 id ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
126 6 oveq2i ⊢ ( 0 ..^ 𝑁 ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) )
127 125 126 eleqtrdi ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) )
128 127 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) )
129 6 oveq2i ⊢ ( 0 ... 𝑁 ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) )
130 isoeq4 ⊢ ( ( 0 ... 𝑁 ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) → ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) )
131 129 130 ax-mp ⊢ ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
132 131 iotabii ⊢ ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
133 7 132 eqtri ⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
134 93 103 70 104 105 106 117 118 124 128 133 fourierdlem98 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
135 24 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
136 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤
137 elioore ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
138 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
139 137 138 sylan2 ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
140 139 ex ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
141 136 140 ralrimi ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
142 141 reximi ⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ℝ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
143 135 142 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
144 ssid ⊢ ℝ ⊆ ℝ
145 dvfre ⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ ) → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ )
146 1 144 145 sylancl ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ )
147 146 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ )
148 eqid ⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 )
149 71 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ )
150 78 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ )
151 111 reseq2d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
152 151 113 eleq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
153 108 152 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ) )
154 153 15 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
155 154 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
156 73 8 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
157 156 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
158 156 rexrd ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ* )
159 72 8 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
160 73 72 8 82 ltadd1dd ⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) < ( π + 𝑋 ) )
161 159 ltpnfd ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) < +∞ )
162 158 121 159 160 161 eliood ⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
163 162 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( π + 𝑋 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) (,) +∞ ) )
164 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ℎ · 𝑇 ) )
165 164 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) )
166 165 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) )
167 166 cbvrexvw ⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 )
168 167 rgenw ⊢ ∀ 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 )
169 rabbi ⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 ) ↔ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } = { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } )
170 168 169 mpbi ⊢ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } = { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 }
171 170 uneq2i ⊢ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) = ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } )
172 isoeq5 ⊢ ( ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) = ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) → ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) )
173 171 172 ax-mp ⊢ ( 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ↔ 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
174 173 iotabii ⊢ ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) ) = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
175 133 174 eqtri ⊢ 𝑉 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) − 1 ) ) , ( { ( - π + 𝑋 ) , ( π + 𝑋 ) } ∪ { 𝑦 ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ∣ ∃ ℎ ∈ ℤ ( 𝑦 + ( ℎ · 𝑇 ) ) ∈ ran 𝑄 } ) ) )
176 eleq1w ⊢ ( 𝑣 = 𝑢 → ( 𝑣 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ 𝑢 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) )
177 fveq2 ⊢ ( 𝑣 = 𝑢 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑣 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑢 ) )
178 176 177 ifbieq1d ⊢ ( 𝑣 = 𝑢 → if ( 𝑣 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑣 ) , 0 ) = if ( 𝑢 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑢 ) , 0 ) )
179 178 cbvmptv ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑣 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑣 ) , 0 ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) , ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑢 ) , 0 ) )
180 93 148 103 149 150 70 104 105 106 155 157 163 128 175 179 fourierdlem97 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
181 cncff ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
182 fdm ⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
183 180 181 182 3syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
184 ssdmres ⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
185 183 184 sylibr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
186 147 185 fssresd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
187 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
188 187 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
189 cncffvrn ⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
190 188 180 189 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
191 186 190 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
192 25 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
193 nfv ⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
194 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
195 193 194 nfan ⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
196 fvres ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
197 196 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
198 197 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
199 198 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
200 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
201 185 sselda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
202 201 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
203 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
204 200 202 203 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
205 199 204 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
206 205 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
207 195 206 ralrimi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
208 207 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
209 208 reximdv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
210 192 209 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
211 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
212 196 eqcomd ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
213 212 fveq2d ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
214 213 adantl ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
215 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
216 214 215 eqbrtrd ⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
217 216 ex ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
218 211 217 ralrimi ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
219 218 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
220 219 reximdv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
221 210 220 mpd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
222 nfv ⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
223 nfcsb1v ⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶
224 223 nfel1 ⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
225 222 224 nfim ⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
226 csbeq1a ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 )
227 112 109 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
228 226 227 eleq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) ) )
229 108 228 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
230 225 229 13 chvarfv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
231 230 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
232 93 103 70 104 105 106 117 231 118 124 128 133 fourierdlem96 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
233 nfcsb1v ⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈
234 233 nfel1 ⊢ Ⅎ 𝑖 ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
235 222 234 nfim ⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
236 csbeq1a ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → 𝑈 = ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 )
237 112 110 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
238 236 237 eleq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
239 108 238 imbi12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ) )
240 235 239 14 chvarfv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
241 240 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
242 93 103 70 104 105 106 117 241 157 163 128 133 fourierdlem99 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) + 1 ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
243 eqeq1 ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0 ) )
244 oveq2 ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑔 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
245 244 fveq2d ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
246 breq2 ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( 0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠 ) )
247 246 ifbid ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) = if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) )
248 245 247 oveq12d ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) )
249 id ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → 𝑔 = 𝑠 )
250 248 249 oveq12d ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑠 ) )
251 243 250 ifbieq2d ⊢ ( 𝑔 = 𝑠 → if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑠 ) ) )
252 251 cbvmptv ⊢ ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑠 ) ) )
253 eqeq1 ⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑜 = 0 ↔ 𝑠 = 0 ) )
254 id ⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → 𝑜 = 𝑠 )
255 oveq1 ⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑜 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
256 255 fveq2d ⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
257 256 oveq2d ⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
258 254 257 oveq12d ⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
259 253 258 ifbieq2d ⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
260 259 cbvmptv ⊢ ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
261 fveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
262 fveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
263 261 262 oveq12d ⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
264 263 cbvmptv ⊢ ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
265 oveq2 ⊢ ( 𝑑 = 𝑠 → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
266 265 fveq2d ⊢ ( 𝑑 = 𝑠 → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
267 266 cbvmptv ⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
268 fveq2 ⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
269 fveq2 ⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
270 268 269 oveq12d ⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
271 270 cbvmptv ⊢ ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
272 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
273 272 fveq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
274 273 oveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
275 274 adantr ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
276 275 itgeq2dv ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
277 276 cbvmptv ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
278 oveq1 ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
279 278 oveq1d ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) )
280 279 fveq2d ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) )
281 280 mpteq2dv ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) = ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) )
282 281 fveq1d ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) )
283 282 oveq2d ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
284 283 mpteq2dv ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
285 284 fveq1d ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
286 285 adantr ⊢ ( ( 𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
287 286 itgeq2dv ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
288 287 oveq1d ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
289 288 cbvmptv ⊢ ( 𝑐 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
290 oveq1 ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) )
291 290 eqeq1d ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 ↔ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) )
292 oveq2 ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) = ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
293 292 fveq2d ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
294 oveq1 ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( 𝑦 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
295 294 fveq2d ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
296 295 oveq2d ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) = ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
297 293 296 oveq12d ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
298 291 297 ifbieq2d ⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
299 298 cbvmptv ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
300 simpl ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑚 = 𝑘 )
301 300 oveq2d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝑚 ) = ( 2 · 𝑘 ) )
302 301 oveq1d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) = ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) )
303 302 oveq1d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) )
304 300 oveq1d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
305 304 oveq1d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
306 305 fveq2d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
307 306 oveq1d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
308 303 307 ifeq12d ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
309 308 mpteq2dva ⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
310 299 309 syl5eq ⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
311 310 cbvmptv ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑚 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑚 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
312 2 311 eqtri ⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑘 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
313 eqid ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( - π [,] 𝑙 ) ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( - π [,] 𝑙 ) )
314 eqid ⊢ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) = ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) )
315 eqid ⊢ ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 )
316 isoeq1 ⊢ ( 𝑢 = 𝑤 → ( 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ↔ 𝑤 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) )
317 316 cbviotavw ⊢ ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) = ( ℩ 𝑤 𝑤 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) )
318 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
319 318 oveq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
320 319 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
321 eqid ⊢ ( ℩ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑚 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { - π , 𝑙 } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( - π (,) 𝑙 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑚 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) )
322 fveq2 ⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
323 oveq2 ⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
324 323 fveq2d ⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
325 322 324 oveq12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑠 → ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) = ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
326 325 cbvitgv ⊢ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
327 326 fveq2i ⊢ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
328 327 breq1i ⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) )
329 328 anbi2i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) )
330 325 cbvitgv ⊢ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
331 330 fveq2i ⊢ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
332 331 breq1i ⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) )
333 329 332 anbi12i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑙 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑙 (,) 0 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑙 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑖 / 2 ) ) )
334 1 26 66 91 92 9 134 143 191 221 232 242 252 260 264 267 271 277 289 19 18 16 17 312 313 314 315 317 320 321 333 fourierdlem103 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ⇝ ( 𝐿 / 2 ) )
335 nnex ⊢ ℕ ∈ V
336 335 mptex ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ∈ V
337 22 336 eqeltri ⊢ 𝑍 ∈ V
338 337 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V )
339 274 adantr ⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
340 339 itgeq2dv ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
341 340 cbvmptv ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
342 285 adantr ⊢ ( ( 𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
343 342 itgeq2dv ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
344 343 oveq1d ⊢ ( 𝑐 = 𝑘 → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
345 344 cbvmptv ⊢ ( 𝑐 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑐 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑧 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑧 ) · ( ( 𝑑 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑑 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
346 eqid ⊢ ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( 𝑒 [,] π ) ) = ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ↾ ( 𝑒 [,] π ) )
347 eqid ⊢ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) = ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) )
348 eqid ⊢ ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 )
349 isoeq1 ⊢ ( 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ↔ 𝑣 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) )
350 349 cbviotavw ⊢ ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) = ( ℩ 𝑣 𝑣 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) )
351 eqid ⊢ ( ℩ 𝑎 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑎 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ 𝑏 ) (,) ( ( ℩ 𝑢 𝑢 Isom < , < ( ( 0 ... ( ( ♯ ‘ ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) − 1 ) ) , ( { 𝑒 , π } ∪ ( ran ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ∩ ( 𝑒 (,) π ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑏 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ 𝑎 ) (,) ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑎 + 1 ) ) ) )
352 325 cbvitgv ⊢ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
353 352 fveq2i ⊢ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
354 353 breq1i ⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) )
355 354 anbi2i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) )
356 325 cbvitgv ⊢ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 = ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠
357 356 fveq2i ⊢ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
358 357 breq1i ⊢ ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) )
359 355 358 anbi12i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑎 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑎 ) ) ) d 𝑎 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑒 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑒 ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑒 (,) π ) ( ( ( 𝑟 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑔 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑔 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑔 ) ) − if ( 0 < 𝑔 , 𝑅 , 𝐿 ) ) / 𝑔 ) ) ) ‘ 𝑟 ) · ( ( 𝑜 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑜 = 0 , 1 , ( 𝑜 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑜 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ) ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑏 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑞 / 2 ) ) )
360 1 26 66 91 92 9 134 143 191 221 232 242 252 260 264 267 271 341 345 19 18 16 17 312 346 347 348 350 320 351 359 fourierdlem104 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ⇝ ( 𝑅 / 2 ) )
361 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
362 276 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
363 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
364 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
365 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
366 26 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
367 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℝ )
368 366 367 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
369 365 368 ffvelrnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
370 369 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
371 2 dirkerre ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
372 371 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
373 370 372 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
374 364 373 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
375 ioossicc ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 )
376 78 leidi ⊢ - π ≤ - π
377 79 71 77 ltleii ⊢ 0 ≤ π
378 iccss ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 0 ≤ π ) ) → ( - π [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
379 78 71 376 377 378 mp4an ⊢ ( - π [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π )
380 375 379 sstri ⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π )
381 380 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
382 ioombl ⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol
383 382 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol )
384 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
385 26 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
386 73 72 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
387 386 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
388 385 387 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
389 384 388 ffvelrnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
390 389 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
391 iccssre ⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
392 78 71 391 mp2an ⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
393 392 sseli ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
394 393 371 sylan2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
395 394 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
396 390 395 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
397 78 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
398 71 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
399 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
400 26 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
401 91 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ℕ )
402 92 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑁 ) )
403 134 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
404 232 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝐶 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { 𝑓 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑑 = π , - π , 𝑑 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ↦ ( 𝑐 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑐 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
405 242 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → if ( ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) + 1 ) ) , ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ⦋ 𝑗 / 𝑖 ⦌ 𝑈 ) ‘ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ sup ( { ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ ℎ ) ≤ ( ( 𝑔 ∈ ( - π (,] π ) ↦ if ( 𝑔 = π , - π , 𝑔 ) ) ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) } , ℝ , < ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) , ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑒 ∈ ℝ ↦ ( 𝑒 + ( ( ⌊ ‘ ( ( π − 𝑒 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ‘ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
406 2 dirkercncf ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
407 406 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
408 eqid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
409 397 398 399 400 66 401 402 403 404 405 320 3 407 408 fourierdlem84 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
410 381 383 396 409 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
411 374 410 itgcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
412 361 362 363 411 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
413 412 411 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
414 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
415 340 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
416 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
417 26 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
418 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
419 418 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
420 417 419 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
421 416 420 ffvelrnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
422 421 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
423 418 371 sylan2 ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
424 423 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
425 422 424 remulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
426 ioossicc ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π )
427 78 79 76 ltleii ⊢ - π ≤ 0
428 71 leidi ⊢ π ≤ π
429 iccss ⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 0 ∧ π ≤ π ) ) → ( 0 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
430 78 71 427 428 429 mp4an ⊢ ( 0 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π )
431 426 430 sstri ⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
432 431 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
433 ioombl ⊢ ( 0 (,) π ) ∈ dom vol
434 433 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
435 432 434 396 409 iblss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
436 425 435 itgcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
437 414 415 363 436 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
438 437 436 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
439 eleq1w ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) )
440 439 anbi2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) )
441 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
442 276 340 oveq12d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
443 441 442 eqeq12d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ↔ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) )
444 440 443 imbi12d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) ) )
445 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑛 · 𝑥 ) = ( 𝑚 · 𝑥 ) )
446 445 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) )
447 446 oveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
448 447 adantr ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
449 448 itgeq2dv ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
450 449 oveq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
451 450 cbvmptv ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
452 20 451 eqtri ⊢ 𝐴 = ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
453 445 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) )
454 453 oveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
455 454 adantr ⊢ ( ( 𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) )
456 455 itgeq2dv ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
457 456 oveq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
458 457 cbvmptv ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
459 21 458 eqtri ⊢ 𝐵 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
460 fveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
461 oveq1 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
462 461 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
463 460 462 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
464 fveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
465 461 fveq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
466 464 465 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
467 463 466 oveq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
468 467 cbvsumv ⊢ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
469 468 oveq2i ⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
470 469 mpteq2i ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
471 oveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 1 ... 𝑚 ) = ( 1 ... 𝑛 ) )
472 471 sumeq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
473 472 oveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
474 473 cbvmptv ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
475 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) )
476 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝑘 · 𝑋 ) = ( 𝑚 · 𝑋 ) )
477 476 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) )
478 475 477 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) )
479 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) )
480 476 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) )
481 479 480 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) )
482 478 481 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) )
483 482 cbvsumv ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) )
484 483 oveq2i ⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) )
485 484 mpteq2i ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
486 474 485 eqtri ⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
487 22 470 486 3eqtri ⊢ 𝑍 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑚 ) · ( cos ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑚 ) · ( sin ‘ ( 𝑚 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
488 oveq2 ⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑋 + 𝑦 ) = ( 𝑋 + 𝑥 ) )
489 488 fveq2d ⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) )
490 fveq2 ⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) )
491 489 490 oveq12d ⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) )
492 491 cbvmptv ⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑦 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑥 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) )
493 eqid ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑛 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π − 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( π − 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑛 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
494 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
495 494 oveq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
496 495 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
497 452 459 487 2 3 4 5 8 1 11 492 12 13 14 10 493 496 fourierdlem111 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
498 444 497 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
499 412 437 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 + ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
500 498 499 eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ) )
501 41 49 52 65 39 40 334 338 360 413 438 500 climaddf ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( ( 𝐿 / 2 ) + ( 𝑅 / 2 ) ) )
502 limccl ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
503 502 18 sselid ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ )
504 limccl ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
505 504 19 sselid ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ )
506 2cnd ⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ )
507 2pos ⊢ 0 < 2
508 507 a1i ⊢ ( 𝜑 → 0 < 2 )
509 508 gt0ne0d ⊢ ( 𝜑 → 2 ≠ 0 )
510 503 505 506 509 divdird ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) = ( ( 𝐿 / 2 ) + ( 𝑅 / 2 ) ) )
511 501 510 breqtrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) )
512 0nn0 ⊢ 0 ∈ ℕ0
513 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
514 eqid ⊢ ( - π (,) π ) = ( - π (,) π )
515 ioossre ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℝ
516 515 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ℝ )
517 1 516 feqresmpt ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
518 ioossicc ⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
519 518 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
520 ioombl ⊢ ( - π (,) π ) ∈ dom vol
521 520 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) π ) ∈ dom vol )
522 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
523 386 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
524 522 523 ffvelrnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
525 1 386 feqresmpt ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
526 187 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
527 1 526 fssd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
528 527 386 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
529 ioossicc ⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
530 78 rexri ⊢ - π ∈ ℝ*
531 530 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → - π ∈ ℝ* )
532 71 rexri ⊢ π ∈ ℝ*
533 532 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → π ∈ ℝ* )
534 3 4 5 fourierdlem15 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
535 534 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
536 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
537 531 533 535 536 fourierdlem8 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
538 529 537 sstrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
539 538 resabs1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
540 539 12 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
541 539 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
542 541 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
543 13 542 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
544 541 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
545 14 544 eleqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑈 ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
546 3 4 5 528 540 543 545 fourierdlem69 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π [,] π ) ) ∈ 𝐿1 )
547 525 546 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
548 519 521 524 547 iblss ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
549 517 548 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
550 549 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
551 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℕ0 )
552 513 514 550 20 551 fourierdlem16 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 ) ∧ ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 0 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℝ ) )
553 552 simplld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
554 512 553 mpan2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
555 554 rehalfcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℝ )
556 555 recnd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℂ )
557 335 mptex ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V
558 557 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V )
559 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → 𝑚 ∈ ℕ )
560 555 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℝ )
561 fzfid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 1 ... 𝑚 ) ∈ Fin )
562 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ) → 𝜑 )
563 elfznn ⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
564 563 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
565 simpl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝜑 )
566 363 nnnn0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ0 )
567 eleq1w ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0 ) )
568 567 anbi2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) ) )
569 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) )
570 569 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) )
571 568 570 imbi12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) ) )
572 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
573 549 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
574 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
575 572 514 573 20 574 fourierdlem16 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 ) ∧ ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℝ ) )
576 575 simplld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
577 571 576 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
578 565 566 577 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
579 363 nnred ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ )
580 579 400 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
581 580 recoscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
582 578 581 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
583 eleq1w ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) )
584 583 anbi2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) )
585 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) )
586 585 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) )
587 584 586 imbi12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) ) )
588 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
589 549 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ 𝐿1 )
590 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
591 588 514 589 21 590 fourierdlem21 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ∧ ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℝ ) )
592 591 simplld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
593 587 592 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
594 580 resincld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
595 593 594 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
596 582 595 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
597 562 564 596 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
598 561 597 fsumrecl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
599 560 598 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
600 22 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
601 559 599 600 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
602 601 599 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) ∈ ℝ )
603 602 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) ∈ ℂ )
604 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
605 oveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 1 ... 𝑛 ) = ( 1 ... 𝑚 ) )
606 605 sumeq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
607 606 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
608 sumex ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V
609 608 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V )
610 604 607 559 609 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
611 560 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ∈ ℂ )
612 598 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
613 611 612 pncan2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
614 613 468 eqtr2di ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
615 ovex ⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V
616 22 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ∈ V ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
617 559 615 616 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
618 617 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) )
619 618 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑚 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
620 610 614 619 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑚 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
621 39 40 511 556 558 603 620 climsubc1 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
622 seqex ⊢ seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ∈ V
623 622 a1i ⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ∈ V )
624 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
625 oveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( 1 ... 𝑛 ) = ( 1 ... 𝑙 ) )
626 625 sumeq1d ⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
627 626 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑙 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
628 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → 𝑙 ∈ ℕ )
629 fzfid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( 1 ... 𝑙 ) ∈ Fin )
630 elfznn ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
631 630 nnnn0d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
632 631 576 sylan2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
633 630 nnred ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
634 633 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
635 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
636 634 635 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
637 636 recoscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
638 632 637 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
639 630 592 sylan2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
640 636 resincld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
641 639 640 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
642 638 641 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
643 642 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
644 629 643 fsumrecl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
645 624 627 628 644 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
646 eleq1w ⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ ℕ ) )
647 646 anbi2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) ) )
648 fveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
649 626 648 eqeq12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) ↔ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) )
650 647 649 imbi12d ⊢ ( 𝑛 = 𝑙 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
651 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
652 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
653 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 · 𝑋 ) = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
654 653 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
655 652 654 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
656 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
657 653 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
658 656 657 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
659 655 658 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
660 659 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑗 = 𝑘 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
661 elfznn ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
662 661 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
663 simpll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → 𝜑 )
664 nnnn0 ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0 )
665 nn0re ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ )
666 665 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
667 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
668 666 667 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
669 668 recoscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
670 576 669 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
671 664 670 sylan2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
672 664 668 sylan2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ℝ )
673 672 resincld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
674 592 673 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ )
675 671 674 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
676 663 662 675 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ )
677 651 660 662 676 fvmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
678 363 39 eleqtrdi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
679 676 recnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
680 677 678 679 fsumser ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) )
681 650 680 chvarvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑙 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
682 645 681 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = ( seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
683 39 558 623 40 682 climeq ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ↔ seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ) )
684 621 683 mpbid ⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
685 38 684 eqbrtrd ⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
686 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
687 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) )
688 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( 𝑗 · 𝑋 ) = ( 𝑛 · 𝑋 ) )
689 688 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) )
690 687 689 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
691 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) )
692 688 fveq2d ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) )
693 691 692 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
694 690 693 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑛 → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
695 694 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑗 = 𝑛 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
696 686 695 363 596 fvmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) · ( cos ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) · ( sin ‘ ( 𝑗 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
697 596 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
698 39 40 696 697 684 isumclim ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) )
699 698 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ) )
700 503 505 addcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 + 𝑅 ) ∈ ℂ )
701 700 halfcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) ∈ ℂ )
702 556 701 pncan3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) )
703 699 702 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) )
704 685 703 jca ⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 0 ) / 2 ) + Σ 𝑛 ∈ ℕ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( 𝐵 ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐿 + 𝑅 ) / 2 ) ) )