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Theorem fourierdlem48

Description: The given periodic function F has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem48.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
fourierdlem48.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
fourierdlem48.altb ( 𝜑𝐴 < 𝐵 )
fourierdlem48.p 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
fourierdlem48.t 𝑇 = ( 𝐵𝐴 )
fourierdlem48.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem48.q ( 𝜑𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) )
fourierdlem48.f ( 𝜑𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
fourierdlem48.dper ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
fourierdlem48.per ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
fourierdlem48.cn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem48.r ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
fourierdlem48.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem48.z 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
fourierdlem48.e 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) )
fourierdlem48.ch ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
Assertion fourierdlem48 ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem48.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
2 fourierdlem48.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
3 fourierdlem48.altb ( 𝜑𝐴 < 𝐵 )
4 fourierdlem48.p 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
5 fourierdlem48.t 𝑇 = ( 𝐵𝐴 )
6 fourierdlem48.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ )
7 fourierdlem48.q ( 𝜑𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) )
8 fourierdlem48.f ( 𝜑𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
9 fourierdlem48.dper ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
10 fourierdlem48.per ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
11 fourierdlem48.cn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
12 fourierdlem48.r ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
13 fourierdlem48.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
14 fourierdlem48.z 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
15 fourierdlem48.e 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) )
16 fourierdlem48.ch ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
17 simpl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝜑 )
18 0zd ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
19 6 nnzd ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
20 6 nngt0d ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
21 fzolb ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
22 18 19 20 21 syl3anbrc ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
23 22 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
24 2 13 resubcld ( 𝜑 → ( 𝐵𝑋 ) ∈ ℝ )
25 2 1 resubcld ( 𝜑 → ( 𝐵𝐴 ) ∈ ℝ )
26 5 25 eqeltrid ( 𝜑𝑇 ∈ ℝ )
27 1 2 posdifd ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵𝐴 ) ) )
28 3 27 mpbid ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵𝐴 ) )
29 28 5 breqtrrdi ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
30 29 gt0ne0d ( 𝜑𝑇 ≠ 0 )
31 24 26 30 redivcld ( 𝜑 → ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
32 31 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
33 32 flcld ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
34 1zzd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
35 33 34 zsubcld ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
36 id ( ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
37 5 a1i ( ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵𝑇 = ( 𝐵𝐴 ) )
38 36 37 oveq12d ( ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝐵 − ( 𝐵𝐴 ) ) )
39 2 recnd ( 𝜑𝐵 ∈ ℂ )
40 1 recnd ( 𝜑𝐴 ∈ ℂ )
41 39 40 nncand ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝐵𝐴 ) ) = 𝐴 )
42 38 41 sylan9eqr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = 𝐴 )
43 4 fourierdlem2 ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
44 6 43 syl ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
45 7 44 mpbid ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
46 45 simpld ( 𝜑𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
47 elmapi ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
48 46 47 syl ( 𝜑𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
49 6 nnnn0d ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ0 )
50 nn0uz 0 = ( ℤ ‘ 0 )
51 49 50 eleqtrdi ( 𝜑𝑀 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
52 eluzfz1 ( 𝑀 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
53 51 52 syl ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
54 48 53 ffvelcdmd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
55 54 rexrd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ* )
56 1zzd ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
57 0le1 0 ≤ 1
58 57 a1i ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
59 6 nnge1d ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑀 )
60 18 19 56 58 59 elfzd ( 𝜑 → 1 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
61 48 60 ffvelcdmd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
62 61 rexrd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ* )
63 1 rexrd ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ* )
64 45 simprd ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
65 64 simplld ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
66 1 leidd ( 𝜑𝐴𝐴 )
67 65 66 eqbrtrd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ≤ 𝐴 )
68 65 eqcomd ( 𝜑𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
69 0re 0 ∈ ℝ
70 eleq1 ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
71 70 anbi2d ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
72 fveq2 ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
73 oveq1 ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
74 73 fveq2d ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
75 72 74 breq12d ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
76 71 75 imbi12d ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
77 45 simprrd ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
78 77 r19.21bi ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79 76 78 vtoclg ( 0 ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
80 69 79 ax-mp ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
81 22 80 mpdan ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
82 1e0p1 1 = ( 0 + 1 )
83 82 fveq2i ( 𝑄 ‘ 1 ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) )
84 81 83 breqtrrdi ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
85 68 84 eqbrtrd ( 𝜑𝐴 < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
86 55 62 63 67 85 elicod ( 𝜑𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) )
87 83 oveq2i ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
88 86 87 eleqtrdi ( 𝜑𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
89 88 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
90 42 89 eqeltrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
91 15 a1i ( 𝜑𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) ) )
92 id ( 𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋 )
93 fveq2 ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑍𝑥 ) = ( 𝑍𝑋 ) )
94 92 93 oveq12d ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) )
95 94 adantl ( ( 𝜑𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) )
96 14 a1i ( 𝜑𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
97 oveq2 ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝐵𝑥 ) = ( 𝐵𝑋 ) )
98 97 oveq1d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) )
99 98 fveq2d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) )
100 99 oveq1d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
101 100 adantl ( ( 𝜑𝑥 = 𝑋 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
102 31 flcld ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
103 102 zred ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
104 103 26 remulcld ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
105 96 101 13 104 fvmptd ( 𝜑 → ( 𝑍𝑋 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
106 105 104 eqeltrd ( 𝜑 → ( 𝑍𝑋 ) ∈ ℝ )
107 13 106 readdcld ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) ∈ ℝ )
108 91 95 13 107 fvmptd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) )
109 105 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
110 108 109 eqtrd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
111 110 oveq1d ( 𝜑 → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) )
112 13 recnd ( 𝜑𝑋 ∈ ℂ )
113 104 recnd ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
114 26 recnd ( 𝜑𝑇 ∈ ℂ )
115 112 113 114 addsubassd ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) )
116 102 zcnd ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
117 116 114 mulsubfacd ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
118 117 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
119 111 115 118 3eqtrd ( 𝜑 → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
120 119 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
121 oveq1 ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
122 121 oveq2d ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
123 122 eqeq2d ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
124 123 anbi2d ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
125 124 rspcev ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
126 35 90 120 125 syl12anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
127 72 74 oveq12d ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
128 127 eleq2d ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
129 128 anbi1d ( 𝑖 = 0 → ( ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
130 129 rexbidv ( 𝑖 = 0 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
131 130 rspcev ( ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
132 23 126 131 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
133 ovex ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ V
134 eleq1 ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135 eqeq1 ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
136 134 135 anbi12d ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
137 136 2rexbidv ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
138 137 anbi2d ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
139 138 imbi1d ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
140 simpr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
141 nfv 𝑖 𝜑
142 nfre1 𝑖𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
143 141 142 nfan 𝑖 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
144 nfv 𝑘 𝜑
145 nfcv 𝑘 ( 0 ..^ 𝑀 )
146 nfre1 𝑘𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
147 145 146 nfrexw 𝑘𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
148 144 147 nfan 𝑘 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
149 simp1 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
150 simp2l ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
151 simp3l ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
152 149 150 151 jca31 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153 simp2r ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
154 simp3r ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
155 16 biimpi ( 𝜒 → ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
156 155 simplld ( 𝜒 → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
157 156 simplld ( 𝜒𝜑 )
158 frel ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → Rel 𝐹 )
159 resindm ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
160 159 eqcomd ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
161 157 8 158 160 4syl ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
162 fdm ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → dom 𝐹 = 𝐷 )
163 157 8 162 3syl ( 𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷 )
164 163 ineq2d ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
165 164 reseq2d ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
166 161 165 eqtrd ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
167 166 oveq1d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) lim 𝑋 ) )
168 157 8 syl ( 𝜒𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
169 ax-resscn ℝ ⊆ ℂ
170 169 a1i ( 𝜒 → ℝ ⊆ ℂ )
171 168 170 fssd ( 𝜒𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
172 inss2 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
173 172 a1i ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
174 171 173 fssresd ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
175 pnfxr +∞ ∈ ℝ*
176 175 a1i ( 𝜒 → +∞ ∈ ℝ* )
177 156 simplrd ( 𝜒𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
178 48 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
179 fzofzp1 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
180 179 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
181 178 180 ffvelcdmd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
182 157 177 181 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
183 155 simplrd ( 𝜒𝑘 ∈ ℤ )
184 183 zred ( 𝜒𝑘 ∈ ℝ )
185 157 26 syl ( 𝜒𝑇 ∈ ℝ )
186 184 185 remulcld ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
187 182 186 resubcld ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
188 187 rexrd ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
189 187 ltpnfd ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < +∞ )
190 188 176 189 xrltled ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ )
191 iooss2 ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
192 176 190 191 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
193 183 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
194 193 zcnd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
195 185 recnd ( 𝜒𝑇 ∈ ℂ )
196 195 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
197 194 196 mulneg1d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
198 197 oveq2d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
199 elioore ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
200 199 recnd ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
201 200 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
202 194 196 mulcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
203 201 202 addcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
204 203 202 negsubd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
205 201 202 pncand ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
206 198 204 205 3eqtrrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
207 157 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
208 156 simpld ( 𝜒 → ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
209 cncff ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
210 fdm ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
211 11 209 210 3syl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
212 ssdmres ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
213 211 212 sylibr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
214 8 162 syl ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷 )
215 214 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
216 213 215 sseqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
217 208 216 syl ( 𝜒 → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
218 217 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
219 elfzofz ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
220 219 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
221 178 220 ffvelcdmd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
222 157 177 221 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
223 222 rexrd ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
224 223 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
225 182 rexrd ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
226 225 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
227 199 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
228 193 zred ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
229 207 26 syl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
230 228 229 remulcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
231 227 230 readdcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
232 222 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
233 157 13 syl ( 𝜒𝑋 ∈ ℝ )
234 233 186 readdcld ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
235 234 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
236 16 simprbi ( 𝜒𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
237 236 eqcomd ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑦 )
238 156 simprd ( 𝜒𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
239 237 238 eqeltrd ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
240 icogelb ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
241 223 225 239 240 syl3anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
242 241 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
243 207 13 syl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
244 243 rexrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
245 182 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
246 245 230 resubcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
247 246 rexrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
248 simpr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
249 ioogtlb ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
250 244 247 248 249 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
251 243 227 230 250 ltadd1dd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
252 232 235 231 242 251 lelttrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
253 iooltub ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
254 244 247 248 253 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
255 227 246 230 254 ltadd1dd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
256 182 recnd ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
257 186 recnd ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
258 256 257 npcand ( 𝜒 → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
259 258 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
260 255 259 breqtrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
261 224 226 231 252 260 eliood ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
262 218 261 sseldd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
263 193 znegcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
264 ovex ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ V
265 eleq1 ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥𝐷 ↔ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
266 265 3anbi2d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
267 oveq1 ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
268 267 eleq1d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
269 266 268 imbi12d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
270 negex - 𝑘 ∈ V
271 eleq1 ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ℤ ↔ - 𝑘 ∈ ℤ ) )
272 271 3anbi3d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
273 oveq1 ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
274 273 oveq2d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
275 274 eleq1d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
276 272 275 imbi12d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
277 eleq1 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ ) )
278 277 3anbi3d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ) )
279 oveq1 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
280 279 oveq2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
281 280 eleq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
282 278 281 imbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
283 282 9 chvarvv ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
284 270 276 283 vtocl ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
285 264 269 284 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
286 207 262 263 285 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
287 206 286 eqeltrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤𝐷 )
288 287 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤𝐷 )
289 dfss3 ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤𝐷 )
290 288 289 sylibr ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
291 192 290 ssind ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
292 ioosscn ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
293 ssinss1 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
294 292 293 mp1i ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
295 eqid ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
296 eqid ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
297 233 rexrd ( 𝜒𝑋 ∈ ℝ* )
298 233 leidd ( 𝜒𝑋𝑋 )
299 236 oveq1d ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
300 233 recnd ( 𝜒𝑋 ∈ ℂ )
301 300 257 pncand ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
302 299 301 eqtr2d ( 𝜒𝑋 = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
303 icossre ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
304 222 225 303 syl2anc ( 𝜒 → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
305 304 238 sseldd ( 𝜒𝑦 ∈ ℝ )
306 icoltub ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
307 223 225 238 306 syl3anc ( 𝜒𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
308 305 182 186 307 ltsub1dd ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
309 302 308 eqbrtrd ( 𝜒𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
310 297 188 297 298 309 elicod ( 𝜒𝑋 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
311 snunioo1 ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
312 297 188 309 311 syl3anc ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
313 312 fveq2d ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
314 295 cnfldtop ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
315 ovex ( 𝑋 (,) +∞ ) ∈ V
316 315 inex1 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
317 snex { 𝑋 } ∈ V
318 316 317 unex ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V
319 resttop ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
320 314 318 319 mp2an ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top
321 320 a1i ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
322 retop ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
323 322 a1i ( 𝜒 → ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top )
324 318 a1i ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V )
325 iooretop ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
326 325 a1i ( 𝜒 → ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
327 elrestr ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ∧ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
328 323 324 326 327 syl3anc ( 𝜒 → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
329 mnfxr -∞ ∈ ℝ*
330 329 a1i ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
331 188 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
332 icossre ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
333 233 188 332 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
334 333 sselda ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
335 334 mnfltd ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ < 𝑥 )
336 297 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
337 simpr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
338 icoltub ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
339 336 331 337 338 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
340 330 331 334 335 339 eliood ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
341 vsnid 𝑥 ∈ { 𝑥 }
342 341 a1i ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ { 𝑥 } )
343 sneq ( 𝑥 = 𝑋 → { 𝑥 } = { 𝑋 } )
344 342 343 eleqtrd ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ { 𝑋 } )
345 elun2 ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
346 344 345 syl ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
347 346 adantl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
348 297 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
349 175 a1i ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → +∞ ∈ ℝ* )
350 334 adantr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
351 233 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
352 icogelb ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋𝑥 )
353 336 331 337 352 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋𝑥 )
354 353 adantr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
355 neqne ( ¬ 𝑥 = 𝑋𝑥𝑋 )
356 355 adantl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥𝑋 )
357 351 350 354 356 leneltd ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 < 𝑥 )
358 350 ltpnfd ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < +∞ )
359 348 349 350 357 358 eliood ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
360 183 zcnd ( 𝜒𝑘 ∈ ℂ )
361 360 195 mulneg1d ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
362 361 oveq2d ( 𝜒 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
363 362 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
364 ioosscn ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ
365 364 sseli ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
366 365 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
367 257 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
368 366 367 addcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
369 368 367 negsubd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
370 366 367 pncand ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
371 363 369 370 3eqtrrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
372 186 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
373 227 372 readdcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
374 224 226 373 252 260 eliood ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
375 218 374 sseldd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
376 271 3anbi3d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
377 273 oveq2d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
378 377 eleq1d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
379 376 378 imbi12d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
380 265 3anbi2d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ) )
381 oveq1 ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
382 381 eleq1d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
383 380 382 imbi12d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
384 264 383 283 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
385 270 379 384 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
386 207 375 263 385 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
387 371 386 eqeltrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤𝐷 )
388 387 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤𝐷 )
389 388 289 sylibr ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
390 389 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
391 188 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
392 339 adantr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
393 348 391 350 357 392 eliood ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
394 390 393 sseldd ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥𝐷 )
395 359 394 elind ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
396 elun1 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
397 395 396 syl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
398 347 397 pm2.61dan ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
399 340 398 elind ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
400 297 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
401 188 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
402 elinel1 ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
403 elioore ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
404 402 403 syl ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
405 404 rexrd ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
406 405 adantl ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
407 elinel2 ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
408 233 adantr ( ( 𝜒𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
409 92 eqcomd ( 𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥 )
410 409 adantl ( ( 𝜒𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 = 𝑥 )
411 408 410 eqled ( ( 𝜒𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
412 411 adantlr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
413 simpll ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝜒 )
414 simplr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
415 id ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋 )
416 velsn ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } ↔ 𝑥 = 𝑋 )
417 415 416 sylnibr ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
418 417 adantl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
419 elunnel2 ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
420 414 418 419 syl2anc ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
421 elinel1 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
422 420 421 syl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
423 233 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
424 elioore ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
425 424 adantl ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
426 297 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
427 175 a1i ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
428 simpr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
429 ioogtlb ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
430 426 427 428 429 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
431 423 425 430 ltled ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋𝑥 )
432 413 422 431 syl2anc ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
433 412 432 pm2.61dan ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑋𝑥 )
434 407 433 sylan2 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋𝑥 )
435 329 a1i ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
436 188 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
437 simpr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
438 iooltub ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
439 435 436 437 438 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
440 402 439 sylan2 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
441 400 401 406 434 440 elicod ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
442 399 441 impbida ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) )
443 442 eqrdv ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
444 ioossre ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
445 ssinss1 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
446 444 445 mp1i ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
447 233 snssd ( 𝜒 → { 𝑋 } ⊆ ℝ )
448 446 447 unssd ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
449 eqid ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
450 295 449 rerest ( ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
451 448 450 syl ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
452 328 443 451 3eltr4d ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
453 isopn3i ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
454 321 452 453 syl2anc ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
455 313 454 eqtr2d ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
456 310 455 eleqtrd ( 𝜒𝑋 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
457 174 291 294 295 296 456 limcres ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) lim 𝑋 ) )
458 291 resabs1d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
459 458 oveq1d ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
460 169 a1i ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
461 8 460 fssd ( 𝜑𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
462 214 feq2d ( 𝜑 → ( 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ↔ 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ ) )
463 461 462 mpbird ( 𝜑𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
464 157 463 syl ( 𝜒𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
465 464 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
466 364 a1i ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ )
467 389 163 sseqtrrd ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
468 467 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
469 257 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
470 eqid { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
471 eqeq1 ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
472 471 rexbidv ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
473 472 elrab ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
474 473 simprbi ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
475 474 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
476 nfv 𝑥 𝜒
477 nfre1 𝑥𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) )
478 nfcv 𝑥
479 477 478 nfrabw 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
480 479 nfcri 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
481 476 480 nfan 𝑥 ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
482 nfv 𝑥 𝑤𝐷
483 simp3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
484 eleq1 ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
485 484 anbi2d ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
486 oveq1 ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
487 486 eleq1d ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
488 485 487 imbi12d ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
489 488 262 chvarvv ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
490 489 3adant3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
491 483 490 eqeltrd ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤𝐷 )
492 491 3exp ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
493 492 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
494 481 482 493 rexlimd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) )
495 475 494 mpd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤𝐷 )
496 495 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
497 dfss3 ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
498 496 497 sylibr ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
499 498 163 sseqtrrd ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
500 499 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
501 157 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
502 389 sselda ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥𝐷 )
503 183 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
504 501 502 503 10 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
505 504 adantlr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
506 simpr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
507 465 466 468 469 470 500 505 506 limcperiod ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
508 258 eqcomd ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
509 236 508 oveq12d ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
510 233 187 186 iooshift ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
511 509 510 eqtr2d ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
512 511 reseq2d ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
513 512 237 oveq12d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
514 513 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
515 507 514 eleqtrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
516 464 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
517 ioosscn ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
518 517 a1i ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
519 icogelb ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑦 )
520 223 225 238 519 syl3anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑦 )
521 iooss1 ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
522 223 520 521 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
523 522 217 sstrd ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
524 523 163 sseqtrrd ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
525 524 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
526 360 negcld ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℂ )
527 526 195 mulcld ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
528 527 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
529 eqid { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
530 eqeq1 ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
531 530 rexbidv ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
532 531 elrab ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
533 532 simprbi ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
534 533 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
535 nfre1 𝑥𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
536 535 478 nfrabw 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
537 536 nfcri 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
538 476 537 nfan 𝑥 ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
539 simp3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
540 157 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
541 523 sselda ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥𝐷 )
542 183 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
543 542 znegcld ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
544 540 541 543 284 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
545 544 3adant3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
546 539 545 eqeltrd ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤𝐷 )
547 546 3exp ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
548 547 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
549 538 482 548 rexlimd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) )
550 534 549 mpd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤𝐷 )
551 550 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
552 dfss3 ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
553 551 552 sylibr ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
554 553 163 sseqtrrd ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
555 554 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
556 157 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
557 541 adantlr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥𝐷 )
558 543 adantlr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
559 274 fveq2d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
560 559 eqeq1d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) )
561 272 560 imbi12d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
562 280 fveq2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
563 562 eqeq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) )
564 278 563 imbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
565 564 10 chvarvv ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
566 270 561 565 vtocl ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
567 556 557 558 566 syl3anc ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
568 simpr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
569 516 518 525 528 529 555 567 568 limcperiod ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
570 361 oveq2d ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
571 305 recnd ( 𝜒𝑦 ∈ ℂ )
572 571 257 negsubd ( 𝜒 → ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
573 302 eqcomd ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
574 570 572 573 3eqtrd ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
575 574 eqcomd ( 𝜒𝑋 = ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
576 361 oveq2d ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
577 256 257 negsubd ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
578 576 577 eqtr2d ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
579 575 578 oveq12d ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
580 184 renegcld ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℝ )
581 580 185 remulcld ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
582 305 182 581 iooshift ( 𝜒 → ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
583 579 582 eqtr2d ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
584 583 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
585 584 reseq2d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
586 574 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
587 585 586 oveq12d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
588 569 587 eleqtrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
589 515 588 impbida ( 𝜒 → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) )
590 589 eqrdv ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
591 459 590 eqtrd ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
592 167 457 591 3eqtr2d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
593 157 177 78 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
594 157 177 11 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
595 157 177 12 syl2anc ( 𝜒𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
596 eqid if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) = if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) )
597 eqid ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
598 222 182 593 594 595 305 182 307 522 596 597 fourierdlem32 ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
599 522 resabs1d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
600 599 oveq1d ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
601 598 600 eleqtrd ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
602 ne0i ( if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ≠ ∅ )
603 601 602 syl ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ≠ ∅ )
604 592 603 eqnetrd ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
605 16 604 sylbir ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
606 152 153 154 605 syl21anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
607 606 3exp ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
608 607 adantr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
609 143 148 608 rexlim2d ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
610 140 609 mpd ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
611 133 139 610 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
612 17 132 611 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
613 iocssre ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
614 63 2 613 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
615 ovex ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V
616 14 fvmpt2 ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V ) → ( 𝑍𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
617 615 616 mpan2 ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑍𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
618 617 oveq2d ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
619 618 mpteq2ia ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
620 15 619 eqtri 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
621 1 2 3 5 620 fourierdlem4 ( 𝜑𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
622 621 13 ffvelcdmd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
623 614 622 sseldd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
624 623 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
625 simpl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → 𝜑 )
626 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
627 ffn ( 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
628 48 627 syl ( 𝜑𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
629 628 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
630 fvelrnb ( 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) )
631 629 630 syl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) )
632 626 631 mpbid ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) )
633 1zzd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
634 elfzelz ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
635 634 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
636 635 zred ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
637 elfzle1 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 0 ≤ 𝑗 )
638 637 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
639 id ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) )
640 639 eqcomd ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
641 640 ad2antlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
642 fveq2 ( 𝑗 = 0 → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
643 642 adantl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
644 45 simprld ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) )
645 644 simpld ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
646 645 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
647 641 643 646 3eqtrd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
648 647 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
649 648 adantllr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
650 1 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
651 63 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
652 2 rexrd ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ* )
653 652 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
654 simpr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
655 iocgtlb ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸𝑋 ) )
656 651 653 654 655 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸𝑋 ) )
657 650 656 gtned ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐴 )
658 657 neneqd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
659 658 ad3antrrr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
660 649 659 pm2.65da ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ¬ 𝑗 = 0 )
661 660 neqned ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ≠ 0 )
662 636 638 661 ne0gt0d ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 < 𝑗 )
663 0zd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 ∈ ℤ )
664 zltp1le ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
665 663 635 664 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
666 662 665 mpbid ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 )
667 82 666 eqbrtrid ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
668 eluz2 ( 𝑗 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗 ) )
669 633 635 667 668 syl3anbrc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) )
670 nnuz ℕ = ( ℤ ‘ 1 )
671 669 670 eleqtrrdi ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
672 nnm1nn0 ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
673 671 672 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
674 673 50 eleqtrdi ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
675 19 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
676 peano2zm ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
677 634 676 syl ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
678 677 zred ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
679 634 zred ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
680 elfzel2 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
681 680 zred ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℝ )
682 679 ltm1d ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 )
683 elfzle2 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗𝑀 )
684 678 679 681 682 683 ltletrd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
685 684 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
686 elfzo2 ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 ) )
687 674 675 685 686 syl3anbrc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
688 48 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
689 635 676 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
690 673 nn0ge0d ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
691 678 681 684 ltled ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
692 691 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
693 663 675 689 690 692 elfzd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
694 688 693 ffvelcdmd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ )
695 694 rexrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ* )
696 48 ffvelcdmda ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ )
697 696 rexrd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
698 697 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
699 698 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
700 614 sselda ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
701 700 rexrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
702 701 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
703 simplll ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝜑 )
704 ovex ( 𝑗 − 1 ) ∈ V
705 eleq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
706 705 anbi2d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
707 fveq2 ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) )
708 oveq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
709 708 fveq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
710 707 709 breq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
711 706 710 imbi12d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
712 704 711 78 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
713 703 687 712 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
714 634 zcnd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℂ )
715 1cnd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 1 ∈ ℂ )
716 714 715 npcand ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
717 716 eqcomd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
718 717 fveq2d ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
719 718 eqcomd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄𝑗 ) )
720 719 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄𝑗 ) )
721 713 720 breqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄𝑗 ) )
722 simpr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) )
723 721 722 breqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝐸𝑋 ) )
724 623 leidd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
725 724 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
726 640 adantl ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
727 725 726 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄𝑗 ) )
728 727 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄𝑗 ) )
729 695 699 702 723 728 eliocd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄𝑗 ) ) )
730 718 oveq2d ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
731 730 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
732 729 731 eleqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
733 707 709 oveq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
734 733 eleq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
735 734 rspcev ( ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
736 687 732 735 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
737 736 ex ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
738 737 adantlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
739 738 rexlimdva ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
740 632 739 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
741 6 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑀 ∈ ℕ )
742 48 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
743 iocssicc ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
744 645 eqcomd ( 𝜑𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
745 644 simprd ( 𝜑 → ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 )
746 745 eqcomd ( 𝜑𝐵 = ( 𝑄𝑀 ) )
747 744 746 oveq12d ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
748 743 747 sseqtrid ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
749 748 sselda ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
750 749 adantr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
751 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
752 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑄𝑘 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
753 752 breq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑄𝑘 ) < ( 𝐸𝑋 ) ↔ ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) ) )
754 753 cbvrabv { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑘 ) < ( 𝐸𝑋 ) } = { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) }
755 754 supeq1i sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑘 ) < ( 𝐸𝑋 ) } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) } , ℝ , < )
756 741 742 750 751 755 fourierdlem25 ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
757 ioossioc ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
758 757 sseli ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
759 758 a1i ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
760 759 reximdva ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
761 756 760 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
762 740 761 pm2.61dan ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
763 622 762 mpdan ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
764 fveq2 ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
765 oveq1 ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
766 765 fveq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
767 764 766 oveq12d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
768 767 eleq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
769 768 cbvrexvw ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
770 763 769 sylib ( 𝜑 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
771 770 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
772 elfzonn0 ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
773 1nn0 1 ∈ ℕ0
774 773 a1i ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 1 ∈ ℕ0 )
775 772 774 nn0addcld ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℕ0 )
776 775 50 eleqtrdi ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
777 776 adantr ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
778 777 3ad2antl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
779 19 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
780 779 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
781 772 nn0red ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
782 781 adantr ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
783 782 3ad2antl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
784 1red ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
785 783 784 readdcld ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℝ )
786 780 zred ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℝ )
787 elfzop1le2 ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
788 787 adantr ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
789 788 3ad2antl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
790 simplr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
791 fveq2 ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄𝑀 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
792 791 eqcomd ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄𝑀 ) )
793 792 adantl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄𝑀 ) )
794 745 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 )
795 790 793 794 3eqtrd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
796 795 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
797 simpllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 )
798 797 neneqd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
799 796 798 pm2.65da ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) )
800 799 neqned ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
801 800 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
802 785 786 789 801 leneltd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 )
803 elfzo2 ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 ) )
804 778 780 802 803 syl3anbrc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
805 48 adantr ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
806 fzofzp1 ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
807 806 adantl ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
808 805 807 ffvelcdmd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
809 808 rexrd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
810 809 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
811 810 3adant3 ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
812 811 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
813 simpl1l ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
814 813 48 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
815 fzofzp1 ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
816 804 815 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
817 814 816 ffvelcdmd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
818 817 rexrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
819 623 rexrd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
820 819 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
821 820 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
822 808 leidd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
823 822 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
824 id ( ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
825 824 eqcomd ( ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸𝑋 ) )
826 825 adantl ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸𝑋 ) )
827 823 826 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
828 827 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
829 828 3adantl3 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
830 simpr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
831 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
832 ovex ( 𝑗 + 1 ) ∈ V
833 eleq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
834 833 anbi2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
835 fveq2 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
836 oveq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) )
837 836 fveq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
838 835 837 breq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
839 834 838 imbi12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
840 832 839 78 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
841 840 adantr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
842 831 841 eqbrtrd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
843 813 804 830 842 syl21anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
844 812 818 821 829 843 elicod ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
845 835 837 oveq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
846 845 eleq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
847 846 rspcev ( ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
848 804 844 847 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
849 simpl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
850 id ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
851 850 3adant1r ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
852 elfzofz ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
853 852 adantl ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
854 805 853 ffvelcdmd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ )
855 854 rexrd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
856 855 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
857 856 3adantl3 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
858 809 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
859 858 3adantl3 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
860 819 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
861 860 3ad2antl1 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
862 854 3adant3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ )
863 623 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
864 855 3adant3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
865 809 3adant3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
866 simp3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
867 iocgtlb ( ( ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) )
868 864 865 866 867 syl3anc ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) )
869 862 863 868 ltled ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
870 869 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
871 863 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
872 808 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
873 872 3adantl3 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
874 iocleub ( ( ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
875 864 865 866 874 syl3anc ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
876 875 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
877 neqne ( ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
878 877 necomd ( ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸𝑋 ) )
879 878 adantl ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸𝑋 ) )
880 871 873 876 879 leneltd ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
881 857 859 861 870 880 elicod ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
882 851 881 sylan ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
883 764 766 oveq12d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
884 883 eleq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
885 884 rspcev ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
886 849 882 885 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
887 848 886 pm2.61dan ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
888 887 rexlimdv3a ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
889 771 888 mpd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
890 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
891 oveq1 ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
892 891 oveq2d ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
893 892 eqeq2d ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
894 893 rspcev ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
895 102 110 894 syl2anc ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
896 895 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
897 r19.42v ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
898 890 896 897 sylanbrc ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
899 898 ex ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
900 899 reximdv ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
901 889 900 mpd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
902 625 901 jca ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
903 eleq1 ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
904 eqeq1 ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
905 903 904 anbi12d ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
906 905 2rexbidv ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
907 906 anbi2d ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
908 907 imbi1d ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
909 908 610 vtoclg ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
910 624 902 909 sylc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
911 612 910 pm2.61dane ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )