Theorem fourierdlem48

Description: The given periodic function F has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem48.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
	fourierdlem48.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem48.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
	fourierdlem48.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem48.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem48.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
	fourierdlem48.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
	fourierdlem48.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierdlem48.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem48.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem48.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
	fourierdlem48.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
	fourierdlem48.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
Assertion	fourierdlem48	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem48.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem48.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem48.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
4		fourierdlem48.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
5		fourierdlem48.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
6		fourierdlem48.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
7		fourierdlem48.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
8		fourierdlem48.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
9		fourierdlem48.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
10		fourierdlem48.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
11		fourierdlem48.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
12		fourierdlem48.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
13		fourierdlem48.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
14		fourierdlem48.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
15		fourierdlem48.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
16		fourierdlem48.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
17		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝜑 )
18		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
19		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
20	18 19	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
21	20	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
22	21	anbi1d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
23	22	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
24		0zd	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
25	6	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
26	6	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
27		fzolb	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
28	24 25 26 27	syl3anbrc	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
29	28	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
30	2 13	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
31	2 1	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
32	5 31	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
33	1 2	posdifd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
34	3 33	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) )
35	34 5	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
36	35	gt0ne0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
37	30 32 36	redivcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
38	37	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
39	38	flcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
40		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
41	39 40	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
42		id	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
43	5	a1i	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
44	42 43	oveq12d	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
45	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
46	1	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
47	45 46	nncand	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 𝐴 )
48	44 47	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = 𝐴 )
49	4	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
50	6 49	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
51	7 50	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
52	51	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
53		elmapi	⊢ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
54	52 53	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
55	6	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
56		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
57	55 56	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
58		eluzfz1	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
59	57 58	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
60	54 59	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
61	60	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ* )
62		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
63		0le1	⊢ 0 ≤ 1
64	63	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
65	6	nnge1d	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑀 )
66	24 25 62 64 65	elfzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
67	54 66	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
68	67	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ* )
69	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
70	51	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
71	70	simplld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
72	1	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴 )
73	71 72	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ≤ 𝐴 )
74	71	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
75	18 19	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
76	51	simprrd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
77	75 76 28	rspcdva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
78		1e0p1	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
79	78	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ 1 ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) )
80	77 79	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
81	74 80	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
82	61 68 69 73 81	elicod	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) )
83	79	oveq2i	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
84	82 83	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
85	84	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
86	48 85	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
87		id	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋 )
88		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) )
89	87 88	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
90		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝑋 ) )
91	90	fvoveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) )
92	91	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
93	37	flcld	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
94	93	zred	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
95	94 32	remulcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
96	14 92 13 95	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
97	96 95	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
98	13 97	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
99	15 89 13 98	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
100	96	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
101	99 100	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
102	101	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) )
103	13	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
104	95	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
105	32	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ )
106	103 104 105	addsubassd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) )
107	93	zcnd	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
108	107 105	mulsubfacd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
109	108	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
110	102 106 109	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
111	110	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
112		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
113	112	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
114	113	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
115	114	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
116	115	rspcev	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
117	41 86 111 116	syl12anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
118	23 29 117	rspcedvdw	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
119		ovex	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ V
120		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
121		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
122	120 121	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
123	122	2rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
124	123	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
125	124	imbi1d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
126		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
127		nfv	⊢ Ⅎ 𝑖 𝜑
128		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑖 ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
129	127 128	nfan	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
130		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑
131		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 0 ..^ 𝑀 )
132		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
133	131 132	nfrexw	⊢ Ⅎ 𝑘 ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
134	130 133	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
135		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
136		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
137		simp3l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
138	135 136 137	jca31	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
139		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
140		simp3r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
141		resindm	⊢ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
142	16	biimpi	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
143	142	simplld	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
144	143	simplld	⊢ ( 𝜒 → 𝜑 )
145		fdm	⊢ ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → dom 𝐹 = 𝐷 )
146	144 8 145	3syl	⊢ ( 𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷 )
147	146	ineq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
148	147	reseq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
149	141 148	eqtr3id	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
150	149	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
151	144 8	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
152		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
153	152	a1i	⊢ ( 𝜒 → ℝ ⊆ ℂ )
154	151 153	fssd	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
155		inss2	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
156	155	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
157	154 156	fssresd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
158		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
159	158	a1i	⊢ ( 𝜒 → +∞ ∈ ℝ* )
160	143	simplrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
161	54	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
162		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
163	162	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
164	161 163	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
165	144 160 164	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
166	142	simplrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ )
167	166	zred	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ )
168	144 32	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ )
169	167 168	remulcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
170	165 169	resubcld	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
171	170	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
172	171	pnfged	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ )
173		iooss2	⊢ ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
174	159 172 173	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
175	166	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
176	175	zcnd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
177	168	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ )
178	177	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
179	176 178	mulneg1d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
180	179	oveq2d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
181		elioore	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
182	181	recnd	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
183	182	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
184	176 178	mulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
185	183 184	addcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
186	185 184	negsubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
187	183 184	pncand	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
188	180 186 187	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
189	144	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
190	143	simpld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
191		cncff	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
192		fdm	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
193	11 191 192	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
194		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
195	193 194	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
196	8	fdmd	⊢ ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷 )
197	196	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
198	195 197	sseqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
199	190 198	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
200	199	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
201		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
202	201	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
203	161 202	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
204	144 160 203	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
205	204	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
206	205	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
207	165	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
208	207	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
209	181	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
210	175	zred	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
211	189 32	syl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
212	210 211	remulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
213	209 212	readdcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
214	204	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
215	144 13	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ )
216	215 169	readdcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
217	216	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
218	16	simprbi	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
219	218	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑦 )
220	143	simprd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
221	219 220	eqeltrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
222	205 207 221	icogelbd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
223	222	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
224	189 13	syl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
225	224	rexrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
226	165	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
227	226 212	resubcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
228	227	rexrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
229		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
230	225 228 229	ioogtlbd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
231	224 209 212 230	ltadd1dd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
232	214 217 213 223 231	lelttrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
233	225 228 229	iooltubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
234	209 227 212 233	ltadd1dd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
235	165	recnd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
236	169	recnd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
237	235 236	npcand	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
238	237	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
239	234 238	breqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
240	206 208 213 232 239	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
241	200 240	sseldd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
242	175	znegcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
243		ovex	⊢ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ V
244		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
245	244	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
246		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
247	246	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
248	245 247	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
249		negex	⊢ - 𝑘 ∈ V
250		eleq1	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ℤ ↔ - 𝑘 ∈ ℤ ) )
251	250	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
252		oveq1	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
253	252	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
254	253	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
255	251 254	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
256		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ ) )
257	256	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) )
258		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
259	258	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
260	259	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
261	257 260	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
262	261 9	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
263	249 255 262	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
264	243 248 263	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
265	189 241 242 264	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
266	188 265	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
267	266	ssd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
268	174 267	ssind	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
269		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
270		ssinss1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
271	269 270	mp1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
272		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
273		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
274	215	rexrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ* )
275	215	leidd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋 )
276	218	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
277	215	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ )
278	277 236	pncand	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
279	276 278	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
280		icossre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
281	204 207 280	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
282	281 220	sseldd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ )
283	205 207 220	icoltubd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
284	282 165 169 283	ltsub1dd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
285	279 284	eqbrtrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
286	274 171 274 275 285	elicod	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
287		snunioo1	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
288	274 171 285 287	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
289	288	fveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
290	272	cnfldtop	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
291		ovex	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∈ V
292	291	inex1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
293		snex	⊢ { 𝑋 } ∈ V
294	292 293	unex	⊢ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V
295		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
296	290 294 295	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top
297	296	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
298		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
299		iooretop	⊢ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
300	299	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
301		elrestr	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ∧ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
302	298 294 300 301	mp3an12i	⊢ ( 𝜒 → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
303		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
304	303	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
305	171	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
306		icossre	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
307	215 171 306	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
308	307	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
309	308	mnfltd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ < 𝑥 )
310	274	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
311		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
312	310 305 311	icoltubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
313	304 305 308 309 312	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
314		vsnid	⊢ 𝑥 ∈ { 𝑥 }
315		sneq	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → { 𝑥 } = { 𝑋 } )
316	314 315	eleqtrid	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
317		elun2	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
318	316 317	syl	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
319	318	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
320	274	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
321	158	a1i	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → +∞ ∈ ℝ* )
322	308	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
323	215	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
324	310 305 311	icogelbd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
325	324	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
326		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋 )
327	326	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ≠ 𝑋 )
328	323 322 325 327	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 < 𝑥 )
329	322	ltpnfd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < +∞ )
330	320 321 322 328 329	eliood	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
331	166	zcnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ )
332	331 177	mulneg1d	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
333	332	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
334	333	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
335		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ
336	335	sseli	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
337	336	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
338	236	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
339	337 338	addcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
340	339 338	negsubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
341	337 338	pncand	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
342	334 340 341	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
343	169	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
344	209 343	readdcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
345	206 208 344 232 239	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
346	200 345	sseldd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
347	250	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
348	252	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
349	348	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
350	347 349	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
351	244	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) )
352		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
353	352	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
354	351 353	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
355	243 354 262	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
356	249 350 355	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
357	189 346 242 356	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
358	342 357	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
359	358	ssd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
360	359	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
361	171	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
362	312	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
363	320 361 322 328 362	eliood	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
364	360 363	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
365	330 364	elind	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
366		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
367	365 366	syl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
368	319 367	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
369	313 368	elind	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
370	274	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
371	171	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
372		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
373	372	elioored	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
374	373	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
375	374	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
376		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
377	215	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
378	87	eqcomd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥 )
379	378	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 = 𝑥 )
380	377 379	eqled	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
381	380	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
382		simpll	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝜒 )
383		simplr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
384		id	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋 )
385		velsn	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } ↔ 𝑥 = 𝑋 )
386	384 385	sylnibr	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
387	386	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
388		elunnel2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
389	383 387 388	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
390		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
391	389 390	syl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
392	215	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
393		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
394	393	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
395	274	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
396	158	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
397		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
398	395 396 397	ioogtlbd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
399	392 394 398	ltled	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
400	382 391 399	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
401	381 400	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
402	376 401	sylan2	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
403		iooltub	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
404	303 171 372 403	mp3an3an	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
405	370 371 375 402 404	elicod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
406	369 405	impbida	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) )
407	406	eqrdv	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
408		ioossre	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
409		ssinss1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
410	408 409	mp1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
411	215	snssd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑋 } ⊆ ℝ )
412	410 411	unssd	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
413		eqid	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
414	272 413	rerest	⊢ ( ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
415	412 414	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
416	302 407 415	3eltr4d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
417		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
418	297 416 417	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
419	289 418	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
420	286 419	eleqtrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
421	157 268 271 272 273 420	limcres	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
422	268	resabs1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
423	422	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
424	152	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
425	8 424	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
426	425	ffdmd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
427	144 426	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
428	427	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
429	335	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ )
430	359 146	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
431	430	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
432	236	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
433		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
434		eqeq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
435	434	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
436	435	elrab	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
437	436	simprbi	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
438	437	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
439		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝜒
440		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) )
441		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 ℂ
442	440 441	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
443	442	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
444	439 443	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
445		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ 𝐷
446		simp3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
447		eleq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
448	447	anbi2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
449		oveq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
450	449	eleq1d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
451	448 450	imbi12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
452	451 241	chvarvv	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
453	452	3adant3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
454	446 453	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
455	454	3exp	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
456	455	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
457	444 445 456	rexlimd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) )
458	438 457	mpd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
459	458	ssd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
460	459 146	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
461	460	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
462	144	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
463	359	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
464	166	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
465	462 463 464 10	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
466	465	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
467		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
468	428 429 431 432 433 461 466 467	limcperiod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
469	237	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
470	218 469	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
471	215 170 169	iooshift	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
472	470 471	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
473	472	reseq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
474	473 219	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
475	474	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
476	468 475	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
477	427	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
478		ioosscn	⊢ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
479	478	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
480	205 207 220	icogelbd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 )
481		iooss1	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
482	205 480 481	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
483	482 199	sstrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
484	483 146	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
485	484	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
486	331	negcld	⊢ ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℂ )
487	486 177	mulcld	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
488	487	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
489		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
490		eqeq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
491	490	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
492	491	elrab	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
493	492	simprbi	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
494	493	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
495		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
496	495 441	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
497	496	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
498	439 497	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
499		simp3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
500	144	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
501	483	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
502	166	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
503	502	znegcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
504	500 501 503 263	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
505	504	3adant3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
506	499 505	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
507	506	3exp	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
508	507	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
509	498 445 508	rexlimd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) )
510	494 509	mpd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
511	510	ssd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
512	511 146	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
513	512	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
514	144	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
515	501	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
516	503	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
517	253	fveqeq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
518	251 517	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
519	259	fveqeq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
520	257 519	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
521	520 10	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
522	249 518 521	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
523	514 515 516 522	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
524		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
525	477 479 485 488 489 513 523 524	limcperiod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
526	332	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
527	282	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ )
528	527 236	negsubd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
529	279	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
530	526 528 529	3eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
531	530	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 = ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
532	332	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
533	235 236	negsubd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
534	532 533	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
535	531 534	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
536	167	renegcld	⊢ ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℝ )
537	536 168	remulcld	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
538	282 165 537	iooshift	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
539	535 538	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
540	539	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
541	540	reseq2d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
542	530	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
543	541 542	oveq12d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
544	525 543	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
545	476 544	impbida	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) )
546	545	eqrdv	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
547	423 546	eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
548	150 421 547	3eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
549	76	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
550	144 160 549	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
551	144 160 11	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
552	144 160 12	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
553		eqid	⊢ if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) = if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) )
554		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
555	204 165 550 551 552 282 165 283 482 553 554	fourierdlem32	⊢ ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
556	482	resabs1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
557	556	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
558	555 557	eleqtrd	⊢ ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
559	558	ne0d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ≠ ∅ )
560	548 559	eqnetrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
561	16 560	sylbir	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
562	138 139 140 561	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
563	562	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
564	563	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
565	129 134 564	rexlim2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
566	126 565	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
567	119 125 566	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
568	17 118 567	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
569		iocssre	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
570	69 2 569	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
571		ovex	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V
572	14	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
573	571 572	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
574	573	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
575	574	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
576	15 575	eqtri	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
577	1 2 3 5 576	fourierdlem4	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
578	577 13	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
579	570 578	sseldd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
580	579	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
581		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → 𝜑 )
582		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
583	54	ffnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
584	583	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
585		fvelrnb	⊢ ( 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
586	584 585	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
587	582 586	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
588		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) )
589		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
590	588 589	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
591	590	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
592		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
593		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
594		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
595	594	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
596	595	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
597		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 0 ≤ 𝑗 )
598	597	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
599		id	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
600	599	eqcomd	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
601	600	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
602		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
603	602	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
604	51	simprld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) )
605	604	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
606	605	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
607	601 603 606	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
608	607	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
609	608	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
610	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
611	69	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
612	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
613	612	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
614		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
615	611 613 614	iocgtlbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
616	610 615	gtned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐴 )
617	616	neneqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
618	617	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
619	609 618	pm2.65da	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ¬ 𝑗 = 0 )
620	619	neqned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ≠ 0 )
621	596 598 620	ne0gt0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 < 𝑗 )
622		0zd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ∈ ℤ )
623	622 595	zltp1led	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
624	621 623	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 )
625	78 624	eqbrtrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
626	592 593 595 625	eluzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
627		nnm1nn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
628	626 627	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
629	628 56	eleqtrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
630	25	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
631		peano2zm	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
632	594 631	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
633	632	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
634	594	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
635		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
636	635	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℝ )
637	634	ltm1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 )
638		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ≤ 𝑀 )
639	633 634 636 637 638	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
640	639	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
641	629 630 640	elfzod	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
642	54	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
643	595 631	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
644	628	nn0ge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
645	633 636 639	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
646	645	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
647	622 630 643 644 646	elfzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
648	642 647	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ )
649	648	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ* )
650	54	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
651	650	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
652	651	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
653	652	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
654	570	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
655	654	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
656	655	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
657		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝜑 )
658		ovex	⊢ ( 𝑗 − 1 ) ∈ V
659		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
660	659	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
661	588 589	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
662	660 661	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
663	658 662 549	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
664	657 641 663	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
665	594	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℂ )
666		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 1 ∈ ℂ )
667	665 666	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
668	667	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
669	668	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
670	664 669	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
671		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
672	670 671	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
673	579	leidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
674	673	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
675	600	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
676	674 675	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
677	676	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
678	649 653 656 672 677	eliocd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
679	667	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
680	679	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
681	680	oveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
682	681	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
683	678 682	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
684	591 641 683	rspcedvdw	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
685	684	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
686	685	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
687	686	rexlimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
688	587 687	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
689	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑀 ∈ ℕ )
690	54	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
691		iocssicc	⊢ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
692	605	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
693	604	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
694	693	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
695	692 694	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
696	691 695	sseqtrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
697	696	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
698	697	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
699		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
700		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
701	700	breq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
702	701	cbvrabv	⊢ { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } = { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) }
703	702	supeq1i	⊢ sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < )
704	689 690 698 699 703	fourierdlem25	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
705		ioossioc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
706	705	sseli	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
707	706	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
708	707	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
709	704 708	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
710	688 709	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
711	578 710	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
712		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
713		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
714	712 713	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
715	714	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
716	715	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
717	711 716	sylib	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
718	717	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
719		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
720		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
721	719 720	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
722	721	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
723		elfzonn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
724		1nn0	⊢ 1 ∈ ℕ0
725	724	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 1 ∈ ℕ0 )
726	723 725	nn0addcld	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℕ0 )
727	726 56	eleqtrdi	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
728	727	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
729	728	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
730	25	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
731	730	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
732	723	nn0red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
733	732	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
734	733	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
735		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
736	734 735	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℝ )
737	731	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℝ )
738		elfzop1le2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
739	738	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
740	739	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
741		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
742		fveq2	⊢ ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
743	742	eqcomd	⊢ ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
744	743	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
745	693	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
746	741 744 745	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
747	746	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
748		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 )
749	748	neneqd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
750	747 749	pm2.65da	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) )
751	750	neqned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
752	751	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
753	736 737 740 752	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 )
754	729 731 753	elfzod	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
755	54	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
756		fzofzp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
757	756	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
758	755 757	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
759	758	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
760	759	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
761	760	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
762	761	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
763		simpl1l	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
764	763 54	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
765		fzofzp1	⊢ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
766	754 765	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
767	764 766	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
768	767	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
769	579	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
770	769	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
771	770	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
772	758	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
773	772	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
774		id	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
775	774	eqcomd	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
776	775	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
777	773 776	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
778	777	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
779	778	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
780		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
781		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
782		ovex	⊢ ( 𝑗 + 1 ) ∈ V
783		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
784	783	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
785	719 720	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
786	784 785	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
787	782 786 549	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
788	787	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
789	781 788	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
790	763 754 780 789	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
791	762 768 771 779 790	elicod	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
792	722 754 791	rspcedvdw	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
793	712 713	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
794	793	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
795		simpl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
796		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
797	796	3adant1r	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
798		elfzofz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
799	798	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
800	755 799	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
801	800	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
802	801	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
803	802	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
804	759	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
805	804	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
806	769	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
807	806	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
808	800	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
809	579	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
810	801	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
811	759	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
812		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
813	810 811 812	iocgtlbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
814	808 809 813	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
815	814	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
816	809	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
817	758	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
818	817	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
819	810 811 812	iocleubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
820	819	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
821		neqne	⊢ ( ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
822	821	necomd	⊢ ( ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
823	822	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
824	816 818 820 823	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
825	803 805 807 815 824	elicod	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
826	797 825	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
827	794 795 826	rspcedvdw	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
828	792 827	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
829	828	rexlimdv3a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
830	718 829	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
831		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
832		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
833	832	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
834	833	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
835	834 93 101	rspcedvdw	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
836	835	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
837		r19.42v	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
838	831 836 837	sylanbrc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
839	838	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
840	839	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
841	830 840	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
842	581 841	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
843		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
844		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
845	843 844	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
846	845	2rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
847	846	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
848	847	imbi1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
849	848 566	vtoclg	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
850	580 842 849	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
851	568 850	pm2.61dane	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )