Theorem fourierdlem49

Description: The given periodic function F has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem49.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem49.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem49.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
	fourierdlem49.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem49.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
	fourierdlem49.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem49.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem49.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ )
	fourierdlem49.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
	fourierdlem49.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
	fourierdlem49.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierdlem49.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem49.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem49.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem49.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
	fourierdlem49.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
Assertion	fourierdlem49	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem49.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem49.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem49.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
4		fourierdlem49.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
5		fourierdlem49.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
6		fourierdlem49.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
7		fourierdlem49.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
8		fourierdlem49.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ )
9		fourierdlem49.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
10		fourierdlem49.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
11		fourierdlem49.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
12		fourierdlem49.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
13		fourierdlem49.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
14		fourierdlem49.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
15		fourierdlem49.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
16		fourierdlem49.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
17		ovex	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V
18	15	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
19	17 18	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
20	19	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
21	20	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
22	16 21	eqtri	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
23	1 2 3 5 22	fourierdlem4	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
24	23 14	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
25		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
26	4	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
27	6 26	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
28	7 27	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
29	28	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
30		elmapi	⊢ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
31	29 30	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
32	31	ffnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
33	32	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
34		fvelrnb	⊢ ( 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
35	33 34	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
36	25 35	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
37		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) )
38		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
39	37 38	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
40	39	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
41		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
42		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
43		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
44	43	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
45		1e0p1	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
46	44	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
47		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 0 ≤ 𝑗 )
48	47	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
49		id	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
50	49	eqcomd	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
51	50	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
52		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
53	52	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
54	28	simprld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) )
55	54	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
56	55	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
57	51 53 56	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
58	57	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
59	58	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
60	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
61	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
62	61	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
63	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
64	63	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
65		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
66	62 64 65	iocgtlbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
67	60 66	gtned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐴 )
68	67	neneqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
69	68	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
70	59 69	pm2.65da	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ¬ 𝑗 = 0 )
71	70	neqned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ≠ 0 )
72	46 48 71	ne0gt0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 < 𝑗 )
73		0zd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ∈ ℤ )
74	73 44	zltp1led	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
75	72 74	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 )
76	45 75	eqbrtrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
77	41 42 44 76	eluzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
78		nnm1nn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
79	77 78	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
80		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
81	79 80	eleqtrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
82	6	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
83	82	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
84		peano2zm	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
85	43 84	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
86	85	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
87	43	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
88		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
89	88	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℝ )
90	87	ltm1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 )
91		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ≤ 𝑀 )
92	86 87 89 90 91	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
93	92	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
94	81 83 93	elfzod	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
95	31	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
96	44 84	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
97	79	nn0ge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
98	86 89 92	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
99	98	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
100	73 83 96 97 99	elfzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
101	95 100	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ )
102	101	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ* )
103	31	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
104	103	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
105	104	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
106	105	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
107		iocssre	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
108	61 2 107	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
109	108	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
110	109	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
111	110	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
112		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝜑 )
113		ovex	⊢ ( 𝑗 − 1 ) ∈ V
114		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
115	114	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
116	37 38	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
117	115 116	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
118	28	simprrd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
119	118	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
120	113 117 119	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
121	112 94 120	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
122	43	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℂ )
123		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 1 ∈ ℂ )
124	122 123	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
125	124	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
126	125	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
127	126	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
128	127	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
129	121 128	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
130		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
131	129 130	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
132	108 24	sseldd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
133	132	leidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
134	133	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
135	50	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
136	134 135	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
137	136	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
138	102 106 111 131 137	eliocd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
139	126	oveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
140	139	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
141	138 140	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
142	40 94 141	rspcedvdw	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
143	142	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
144	143	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
145	144	rexlimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
146	36 145	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
147	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑀 ∈ ℕ )
148	31	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
149		iocssicc	⊢ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
150	55	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
151	54	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
152	151	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
153	150 152	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
154	149 153	sseqtrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
155	154	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
156	155	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
157		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
158		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
159	158	breq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
160	159	cbvrabv	⊢ { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } = { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) }
161	160	supeq1i	⊢ sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < )
162	147 148 156 157 161	fourierdlem25	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
163		ioossioc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
164	163	sseli	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
165	164	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
166	165	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
167	162 166	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
168	146 167	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
169	24 168	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
170		resindm	⊢ ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
171	9	fdmd	⊢ ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷 )
172	171	ineq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
173	172	reseq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) )
174	170 173	eqtr3id	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) )
175	174	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) )
176	175	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
177		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
178	177	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
179	9 178	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
180	179	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
181		inss2	⊢ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
182	181	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
183	180 182	fssresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
184		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
185	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
186		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
187	186	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
188	185 187	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
189	188	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
190	189	mnfled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → -∞ ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
191		iooss1	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
192	184 190 191	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
193	192	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
194		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
195	194	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
196	185 195	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
197	196	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
198	197	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
199	188	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
200	199	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
201		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
202	200 198 201	iocleubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
203		iooss2	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
204	198 202 203	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
205		cncff	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
206		fdm	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
207	12 205 206	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
208		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
209	207 208	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
210	171	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
211	209 210	sseqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
212	211	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
213	204 212	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐷 )
214	193 213	ssind	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
215	8 178	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ )
216	215	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐷 ⊆ ℂ )
217	216	ssinss2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
218		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
219		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
220	132	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
221	220	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
222	200 198 201	iocgtlbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
223	220	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
224	200 221 221 222 223	eliocd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
225		ioounsn	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
226	200 221 222 225	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
227	226	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
228	218	cnfldtop	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
229		ovex	⊢ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∈ V
230	229	inex1	⊢ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
231		snex	⊢ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ∈ V
232	230 231	unex	⊢ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∈ V
233		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ Top )
234	228 232 233	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ Top
235		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
236		iooretop	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
237	236	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
238		elrestr	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∈ V ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
239	235 232 237 238	mp3an12i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
240		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
241		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
242	241	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
243	220	ltpnfd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < +∞ )
244	200 242 220 222 243	eliood	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
245		snidg	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } )
246		elun2	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
247	132 245 246	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
248	247	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
249	244 248	elind	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
250	249	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
251	240 250	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
252	251	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
253	200	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
254	241	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
255	189	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
256	132	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
257		iocssre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
258	255 256 257	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
259		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
260	258 259	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
261	260	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
262	256	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
263	255 262 259	iocgtlbd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
264	263	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
265	261	ltpnfd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 < +∞ )
266	253 254 261 264 265	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
267	266	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
268	184	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
269	262	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
270	260	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
271	270	mnfltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → -∞ < 𝑥 )
272	132	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
273	255 262 259	iocleubd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
274	273	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
275		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → 𝑥 ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
276	275	necomd	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝑥 )
277	276	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝑥 )
278	270 272 274 277	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
279	268 269 270 271 278	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
280	279	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
281	212	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
282	200	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
283	198	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
284	261	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
285	264	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
286	220	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
287	197	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
288	278	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
289	202	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
290	284 286 287 288 289	ltletrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
291	282 283 284 285 290	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
292	281 291	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
293	280 292	elind	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
294		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
295	293 294	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
296	267 295	elind	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
297	252 296	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
298	200	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
299	221	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
300		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
301		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
302	301	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
303	300 302	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
304	303	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
305	189	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
306	241	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
307	300	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
308	305 306 307	ioogtlbd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
309	308	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
310		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
311		elsni	⊢ ( 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } → 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
312	311	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
313	133	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
314	312 313	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
315	314	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
316		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝜑 )
317		elunnel2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
318	317	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
319		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
320		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
321	320	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
322	132	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
323	184	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
324	322	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
325		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
326	323 324 325	iooltubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
327	321 322 326	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
328	319 327	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
329	316 318 328	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
330	315 329	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
331	330	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
332	310 331	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
333	332	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
334	298 299 304 309 333	eliocd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
335	297 334	impbida	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) )
336	335	eqrdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
337		ioossre	⊢ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ
338		ssinss1	⊢ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
339	337 338	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
340	220	snssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ⊆ ℝ )
341	339 340	unssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ⊆ ℝ )
342		eqid	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
343	218 342	rerest	⊢ ( ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
344	341 343	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
345	239 336 344	3eltr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
346		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
347	234 345 346	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
348	227 347	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
349	224 348	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
350	183 214 217 218 219 349	limcres	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
351	214	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
352	351	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
353	176 350 352	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
354	179	ffdmd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
355	354	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
356	355	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
357		ioosscn	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℂ
358	357	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℂ )
359	171	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = dom 𝐹 )
360	359	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐷 = dom 𝐹 )
361	213 360	sseqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ dom 𝐹 )
362	361	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ dom 𝐹 )
363		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝑋 ) )
364	363	fvoveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) )
365	364	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
366	2 14	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
367	2 1	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
368	5 367	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
369	1 2	posdifd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
370	3 369	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) )
371	370 5	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
372	371	gt0ne0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
373	366 368 372	redivcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
374	373	flcld	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
375	374	zred	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
376	375 368	remulcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
377	15 365 14 376	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
378	377 376	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
379	378	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
380	379	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
381	380	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
382	381	negcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
383		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) }
384		ioosscn	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
385	384	sseli	⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑦 ∈ ℂ )
386	385	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
387	379	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
388	386 387	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = 𝑦 )
389	388	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
390	389	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
391	377	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
392	391	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
393	386 387	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
394	376	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
395	394	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
396	393 395	negsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
397	374	zcnd	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
398	368	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ )
399	397 398	mulneg1d	⊢ ( 𝜑 → ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
400	399	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
401	400	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
402	401	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
403	392 396 402	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
404	403	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
405	374	znegcld	⊢ ( 𝜑 → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
406	405	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
407	406	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
408		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝜑 )
409	213	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐷 )
410	189	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
411	132	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
412	411	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
413		elioore	⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
414	413	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
415	378	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
416	414 415	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
417	416	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
418	378	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
419	188 418	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
420	419	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
421	420	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
422	14	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ* )
423	422	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
424		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
425	421 423 424	ioogtlbd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑦 )
426	188	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
427	378	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
428	413	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
429	426 427 428	ltsubaddd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑦 ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
430	425 429	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
431	14	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
432	421 423 424	iooltubd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 < 𝑋 )
433	428 431 427 432	ltadd1dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
434		id	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋 )
435		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) )
436	434 435	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
437	14 378	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
438	16 436 14 437	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
439	438	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
440	439	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
441	433 440	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
442	410 412 417 430 441	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
443	442	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
444	409 443	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 )
445	408 444 407	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
446		eleq1	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
447	446	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) ) )
448		oveq1	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
449	448	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
450	449	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
451	447 450	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
452		ovex	⊢ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ V
453		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ) )
454	453	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
455		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
456	455	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
457	454 456	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
458	452 457 10	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
459	451 458	vtoclg	⊢ ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
460	407 445 459	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
461	404 460	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 )
462	390 461	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐷 )
463	462	ssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ 𝐷 )
464	188	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
465	379	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
466	464 465	negsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
467	466	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
468	438	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
469	437	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
470	469 379	negsubd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
471	14	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
472	471 379	pncand	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 )
473	468 470 472	3eqtrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
474	473	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
475	467 474	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
476	132	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
477	418	renegcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
478	188 476 477	iooshift	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } )
479	475 478	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
480	479	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
481	171	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
482	463 480 481	3sstr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
483	482	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
484	377	negeqd	⊢ ( 𝜑 → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
485	484 400	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
486	485	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
487	486	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
488	487	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
489	488	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
490	405	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
491	490	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
492		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝜑 )
493	213	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
494	492 493 491	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
495	446	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) ) )
496	448	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
497	496	fveqeq2d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
498	495 497	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
499	498 11	vtoclg	⊢ ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
500	491 494 499	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
501	489 500	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
502	501	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
503		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
504	356 358 362 382 383 483 502 503	limcperiod	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
505	479	reseq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) )
506	474	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 )
507	505 506	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
508	507	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
509	508	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
510	504 509	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
511	354	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
512	511	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
513	384	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
514	463 481	sseqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ dom 𝐹 )
515	514	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ dom 𝐹 )
516	379	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
517	516	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
518		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) }
519	464 465	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
520	519	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
521	438	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
522	520 521	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
523	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
524	419 523 418	iooshift	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } )
525	522 524	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
526	525	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
527	213 526 481	3sstr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
528	527	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
529	377	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
530	529	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
531	530	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
532	531	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
533	374	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
534	533	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
535		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝜑 )
536	463	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
537	535 536 534	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
538		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
539	538	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) ) )
540		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
541	540	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
542	541	fveqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
543	539 542	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
544	543 11	vtoclg	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
545	534 537 544	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
546	532 545	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
547	546	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
548		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
549	512 513 515 517 518 528 547 548	limcperiod	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
550	525	reseq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
551	439	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
552	550 551	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
553	552	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
554	553	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
555	549 554	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
556	510 555	impbida	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) )
557	556	eqrdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
558		resindm	⊢ ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
559	171	ineq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
560	559	reseq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) )
561	558 560	eqtr3id	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) )
562	561	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
563	562	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
564		inss2	⊢ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
565	564	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
566	180 565	fssresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
567	420	mnfled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → -∞ ≤ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
568		iooss1	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
569	184 567 568	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
570	569	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
571	570 463	ssind	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
572	216	ssinss2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
573		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
574	420	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
575	422	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
576	438	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
577	222 576	breqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
578	378	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
579	14	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
580	199 578 579	ltsubaddd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑋 ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
581	577 580	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑋 )
582	14	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋 )
583	582	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑋 )
584	574 575 575 581 583	eliocd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
585		ioounsn	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
586	574 575 581 585	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
587	586	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) )
588		ovex	⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ∈ V
589	588	inex1	⊢ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
590		snex	⊢ { 𝑋 } ∈ V
591	589 590	unex	⊢ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V
592		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
593	228 591 592	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top
594		iooretop	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
595	594	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
596		elrestr	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
597	235 591 595 596	mp3an12i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
598	420	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
599	241	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
600	14	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
601		iocssre	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ⊆ ℝ )
602	598 600 601	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ⊆ ℝ )
603		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
604	602 603	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
605	422	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
606	598 605 603	iocgtlbd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
607	604	ltpnfd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 < +∞ )
608	598 599 604 606 607	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
609	608	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
610		eqvisset	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ V )
611		snidg	⊢ ( 𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ { 𝑋 } )
612	610 611	syl	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ { 𝑋 } )
613	434 612	eqeltrd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
614		elun2	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
615	613 614	syl	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
616	615	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
617		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
618	420	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
619	422	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
620	604	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
621	606	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
622	14	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
623	598 605 603	iocleubd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
624	623	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
625	434	eqcoms	⊢ ( 𝑋 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑋 )
626	625	necon3bi	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑥 )
627	626	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≠ 𝑥 )
628	620 622 624 627	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < 𝑋 )
629	618 619 620 621 628	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
630	629	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
631	571	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
632		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
633	631 632	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
634	617 630 633	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
635	616 634	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
636	609 635	elind	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
637	574	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
638	575	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
639		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
640		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
641	639 640	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
642	641	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
643	642	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
644	420	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
645	241	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
646	639	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
647	644 645 646	ioogtlbd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
648	647	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
649		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
650		elsni	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 = 𝑋 )
651	650	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 = 𝑋 )
652	582	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑋 ≤ 𝑋 )
653	651 652	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
654	653	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
655		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝜑 )
656		elunnel2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
657	656	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
658	657	elin1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
659		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
660	659	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
661	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
662	184	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
663	422	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
664		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
665	662 663 664	iooltubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 < 𝑋 )
666	660 661 665	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
667	655 658 666	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
668	654 667	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
669	649 668	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
670	669	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
671	637 638 643 648 670	eliocd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
672	636 671	impbida	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) )
673	672	eqrdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
674	8	ssinss2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
675	14	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑋 } ⊆ ℝ )
676	674 675	unssd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
677	676	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
678	218 342	rerest	⊢ ( ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
679	677 678	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
680	597 673 679	3eltr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
681		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
682	593 680 681	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
683	587 682	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
684	584 683	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
685	566 571 572 218 573 684	limcres	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
686	571	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) )
687	686	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
688	563 685 687	3eqtr2rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
689	353 557 688	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
690	689	rexlimdv3a	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
691	169 690	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
692	119	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
693	12	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
694	13	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
695		eqid	⊢ if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
696		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∪ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∪ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
697	199 197 692 693 694 199 220 222 204 695 696	fourierdlem33	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
698	204	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
699	698	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
700	697 699	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
701	700	ne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ )
702	353 701	eqnetrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ )
703	702	rexlimdv3a	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ ) )
704	169 703	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ )
705	691 704	eqnetrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )