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Theorem fourierdlem68

Description: The derivative of O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem68.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
fourierdlem68.xre ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem68.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
fourierdlem68.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
fourierdlem68.altb ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
fourierdlem68.ab ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
fourierdlem68.n0 ⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
fourierdlem68.fdv ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ )
fourierdlem68.d ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ )
fourierdlem68.fbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐷 )
fourierdlem68.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ )
fourierdlem68.fdvbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐸 )
fourierdlem68.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
fourierdlem68.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
Assertion fourierdlem68 ( 𝜑 → ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem68.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2 fourierdlem68.xre ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
3 fourierdlem68.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
4 fourierdlem68.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
5 fourierdlem68.altb ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
6 fourierdlem68.ab ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
7 fourierdlem68.n0 ⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
8 fourierdlem68.fdv ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ )
9 fourierdlem68.d ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ )
10 fourierdlem68.fbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐷 )
11 fourierdlem68.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ )
12 fourierdlem68.fdvbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐸 )
13 fourierdlem68.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
14 fourierdlem68.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
15 ioossicc ⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
16 15 6 sstrid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
17 15 sseli ⊢ ( 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 0 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
18 7 17 nsyl ⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
19 1 2 3 4 8 16 18 13 14 fourierdlem57 ⊢ ( ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) ∧ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
20 19 simpli ⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
21 20 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ )
22 21 fdmd ⊢ ( 𝜑 → dom ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
23 eqid ⊢ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) )
24 3 4 5 ltled ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵 )
25 2re ⊢ 2 ∈ ℝ
26 25 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℝ )
27 3 4 iccssred ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
28 27 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
29 28 rehalfcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑡 / 2 ) ∈ ℝ )
30 29 resincld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ∈ ℝ )
31 26 30 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
32 2cnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℂ )
33 30 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ∈ ℂ )
34 2ne0 ⊢ 2 ≠ 0
35 34 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 2 ≠ 0 )
36 6 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) )
37 eqcom ⊢ ( 𝑡 = 0 ↔ 0 = 𝑡 )
38 37 bilani ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑡 = 0 ) → 0 = 𝑡 )
39 simpl ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑡 = 0 ) → 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
40 38 39 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑡 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
41 40 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑡 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
42 7 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑡 = 0 ) → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
43 41 42 pm2.65da ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ¬ 𝑡 = 0 )
44 43 neqned ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑡 ≠ 0 )
45 fourierdlem44 ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑡 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ≠ 0 )
46 36 44 45 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ≠ 0 )
47 32 33 35 46 mulne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
48 eldifsn ⊢ ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ↔ ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) )
49 31 47 48 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) )
50 49 23 fmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ( ℝ ∖ { 0 } ) )
51 difss ⊢ ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ℝ
52 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
53 51 52 sstri ⊢ ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ
54 53 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ )
55 27 52 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℂ )
56 2cnd ⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ )
57 ssid ⊢ ℂ ⊆ ℂ
58 57 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
59 55 56 58 constcncfg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) )
60 sincn ⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
61 60 a1i ⊢ ( 𝜑 → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
62 55 58 idcncfg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 𝑡 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) )
63 eldifsn ⊢ ( 2 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) )
64 32 35 63 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 2 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
65 eqid ⊢ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 )
66 64 65 fmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
67 difssd ⊢ ( 𝜑 → ( ℂ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ )
68 cncfcdm ⊢ ( ( ( ℂ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) )
69 67 59 68 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) )
70 66 69 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) )
71 62 70 divcncf ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝑡 / 2 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) )
72 61 71 cncfmpt1f ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) )
73 59 72 mulcncf ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) )
74 cncfcdm ⊢ ( ( ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) )
75 54 73 74 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) )
76 50 75 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) )
77 23 3 4 24 76 cncficcgt0 ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) )
78 reelprrecn ⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ }
79 78 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } )
80 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
81 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
82 elioore ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
83 82 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
84 81 83 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
85 80 84 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
86 13 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
87 85 86 resubcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℝ )
88 87 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℂ )
89 88 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℂ )
90 78 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } )
91 85 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
92 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ )
93 2 3 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ )
94 93 rexrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* )
95 94 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* )
96 2 4 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
97 96 rexrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* )
98 97 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* )
99 3 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
100 99 rexrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
101 4 rexrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
102 101 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
103 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
104 ioogtlb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 )
105 100 102 103 104 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 )
106 99 83 81 105 ltadd2dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) )
107 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
108 iooltub ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 )
109 100 102 103 108 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 )
110 83 107 81 109 ltadd2dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑋 + 𝐵 ) )
111 95 98 84 106 110 eliood ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) )
112 92 111 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
113 eqid ⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) )
114 1 2 3 4 113 8 fourierdlem28 ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
115 86 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
116 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ∈ ℝ )
117 iooretop ⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
118 tgioo4 ⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
119 117 118 eleqtri ⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
120 119 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) )
121 13 recnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
122 90 120 121 dvmptconst ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 0 ) )
123 90 91 112 114 115 116 122 dvmptsub ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) ) )
124 112 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
125 124 subid1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
126 125 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
127 123 126 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
128 127 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
129 124 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
130 2cnd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 2 ∈ ℂ )
131 82 recnd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℂ )
132 131 halfcld ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
133 132 sincld ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
134 130 133 mulcld ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
135 134 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
136 11 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
137 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
138 25 137 remulcli ⊢ ( 2 · 1 ) ∈ ℝ
139 138 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ( 2 · 1 ) ∈ ℝ )
140 1red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
141 121 abscld ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
142 9 141 readdcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 + ( abs ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
143 142 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ( 𝐷 + ( abs ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
144 simpl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝜑 )
145 144 111 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) )
146 eleq1 ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) )
147 146 anbi2d ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) )
148 fveq2 ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
149 148 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
150 149 breq1d ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐸 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐸 ) )
151 147 150 imbi12d ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐸 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐸 ) ) )
152 151 12 vtoclg ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐸 ) )
153 84 145 152 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐸 )
154 153 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐸 )
155 130 133 absmuld ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ 2 ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
156 0le2 ⊢ 0 ≤ 2
157 absid ⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2 ) → ( abs ‘ 2 ) = 2 )
158 25 156 157 mp2an ⊢ ( abs ‘ 2 ) = 2
159 158 oveq1i ⊢ ( ( abs ‘ 2 ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( 2 · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
160 133 abscld ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
161 1red ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 1 ∈ ℝ )
162 25 a1i ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 2 ∈ ℝ )
163 156 a1i ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 0 ≤ 2 )
164 82 rehalfcld ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ )
165 abssinbd ⊢ ( ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≤ 1 )
166 164 165 syl ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≤ 1 )
167 160 161 162 163 166 lemul2ad ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 2 · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ≤ ( 2 · 1 ) )
168 159 167 eqbrtrid ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( abs ‘ 2 ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ≤ ( 2 · 1 ) )
169 155 168 eqbrtrd ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ≤ ( 2 · 1 ) )
170 169 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ≤ ( 2 · 1 ) )
171 abscosbd ⊢ ( ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≤ 1 )
172 103 164 171 3syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≤ 1 )
173 172 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≤ 1 )
174 88 abscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
175 91 abscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
176 115 abscld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
177 175 176 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) + ( abs ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
178 9 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐷 ∈ ℝ )
179 178 176 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐷 + ( abs ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
180 91 115 abs2dif2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) + ( abs ‘ 𝐶 ) ) )
181 fveq2 ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
182 181 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
183 182 breq1d ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐷 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐷 ) )
184 147 183 imbi12d ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑋 + 𝑠 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐷 ) ) )
185 184 10 vtoclg ⊢ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐷 ) )
186 111 145 185 sylc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ≤ 𝐷 )
187 175 178 176 186 leadd1dd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) + ( abs ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐷 + ( abs ‘ 𝐶 ) ) )
188 174 177 179 180 187 letrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐷 + ( abs ‘ 𝐶 ) ) )
189 188 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐷 + ( abs ‘ 𝐶 ) ) )
190 19 simpri ⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
191 190 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
192 132 coscld ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
193 192 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
194 simp2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℝ+ )
195 oveq1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
196 195 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
197 196 oveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
198 197 fveq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
199 198 breq2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ↔ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
200 199 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
201 nfv ⊢ Ⅎ 𝑠 𝜑
202 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑠 ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
203 201 202 nfan ⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
204 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
205 15 103 sselid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
206 205 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
207 rspa ⊢ ( ( ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
208 204 206 207 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
209 208 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
210 203 209 ralrimi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
211 200 210 sylan2b ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
212 211 3adant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
213 eqid ⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
214 79 89 128 129 135 136 139 140 143 154 170 173 189 191 193 194 212 213 dvdivbd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
215 214 rexlimdv3a ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
216 77 215 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
217 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 ℝ
218 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 D
219 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
220 14 219 nfcxfr ⊢ Ⅎ 𝑠 𝑂
221 217 218 220 nfov ⊢ Ⅎ 𝑠 ( ℝ D 𝑂 )
222 221 nfdm ⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D 𝑂 )
223 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝐴 (,) 𝐵 )
224 222 223 raleqf ⊢ ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
225 22 224 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
226 225 rexbidv ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
227 216 226 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
228 14 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
229 228 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
230 229 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
231 230 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
232 231 breq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
233 232 rexralbidv ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
234 227 233 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
235 22 234 jca ⊢ ( 𝜑 → ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )