Theorem fourierdlem73

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as r increases, the integral in S goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem73.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem73.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem73.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
	fourierdlem73.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem73.qf	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
	fourierdlem73.q0	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
	fourierdlem73.qm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
	fourierdlem73.qilt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
	fourierdlem73.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem73.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem73.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
	fourierdlem73.gcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem73.gbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
	fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
	fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
Assertion	fourierdlem73	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem73.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem73.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem73.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
4		fourierdlem73.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5		fourierdlem73.qf	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
6		fourierdlem73.q0	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
7		fourierdlem73.qm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
8		fourierdlem73.qilt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
9		fourierdlem73.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
10		fourierdlem73.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
11		fourierdlem73.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
12		fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
13		fourierdlem73.gcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
14		fourierdlem73.gbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
15		fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
16		fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
17		cncff	⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
18	13 17	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
19		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
21	1 2	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
22	5 21	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
23	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
24		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
25	24	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
26	23 25	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
27		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
28	27	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
29	23 28	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
30	26 29	iccssred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
31		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ⊆ ℂ
32	31 11	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
33	32	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
34		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
35	34 10	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
36	35	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
37	3	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
38	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
39	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
40	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
41	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
42		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
43		eliccre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
44	40 41 42 43	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
45	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
46	45	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
47	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
48	47	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
49	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
50	49 25	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
51		iccgelb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
52	46 48 50 51	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
53	52	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
54	40	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
55	41	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
56		iccgelb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
57	54 55 42 56	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
58	38 40 44 53 57	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 )
59		iccleub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
60	54 55 42 59	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
61	45	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
62	47	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
63	49 28	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
64	63	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
65		iccleub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
66	61 62 64 65	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
67	44 41 39 60 66	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝐵 )
68	38 39 44 58 67	eliccd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
69	37 68	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
70	36 69	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
71	33 70	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
72	71 16	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
73		tgioo4	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
74		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
75		iccntr	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
76	26 29 75	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
77	20 30 72 73 74 76	dvresntr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
78		ioossicc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79	78	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
80	79	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
81		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
82	80 81	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
83	80 71	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
84	16	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
85	80 83 84	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
86	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
87	80 54	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
88	80 55	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
89		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
90		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
91	87 88 89 90	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
92	86 91	gtned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
93	92	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
94	93	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
95		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
96	95	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
97		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
98	87 88 89 97	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
99	96 98	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
100	99	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
101	100	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
102	85 94 101	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
103	82 102	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
104	103	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
105		ffn	⊢ ( 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
106	72 105	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
107		ffn	⊢ ( 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
108	3 107	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
109	108	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
110		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
111	46 48 49 110	fourierdlem8	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
112		fnssres	⊢ ( ( 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
113	109 111 112	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
114	78	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
115		fvreseq	⊢ ( ( ( 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
116	106 113 114 115	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
117	104 116	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
118	114	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
119	117 118	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
120	119	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
121	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
122	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
123	114 30	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
124	74 73	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
125	20 121 122 123 124	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
126	12	eqcomi	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺
127	126	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺 )
128		iooretop	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
129		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
130		uniretop	⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
131	130	isopn3	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
132	129 123 131	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
133	128 132	mpbii	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
134	127 133	reseq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135	125 134	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
136	77 120 135	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
137	136	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) )
138	18 137	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
139	138	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
140	139 136	eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
141		ioombl	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol
142	141	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
143	26 29 8	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
144		volioo	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
145	26 29 143 144	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
146	29 26	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
147	145 146	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
148	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
149		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ )
150		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
151	149 150	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
152		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153		fdm	⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
154	18 153	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
155	154	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
156	152 155	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
157		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
158	156 157	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
159	158	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
160	159	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
161		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
162		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
163	154 162	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 )
164	163	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
165	156 164	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
166	165	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
167		rsp	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( 𝑥 ∈ dom 𝐺 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
168	161 166 167	sylc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
169	168	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
170	160 169	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
171	170	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
172	151 171	ralrimi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
173	172	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
174	173	reximdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
175	148 174	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
176	142 147 13 175	cnbdibl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
177	140 176	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
178	177	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
179	141	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
180	147	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
181	140 13	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
182	181	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
183		coscn	⊢ cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
184	183	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
185		ioosscn	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
186	185	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
187		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
188	187	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
189		ssid	⊢ ℂ ⊆ ℂ
190	189	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ℂ ⊆ ℂ )
191	186 188 190	constcncfg	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
192	185	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
193	189	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
194	192 193	idcncfg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
195	194	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
196	191 195	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
197	184 196	cncfmpt1f	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
198	197	negcncfg	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
199	182 198	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
200		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
201	200 150	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
202	136	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
203	202 157	sylan9eq	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
204	203	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
205	204	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
206		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
207	164	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
208	206 207 167	sylc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
209	205 208	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
210	209	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
211	201 210	ralrimi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
212	211	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
213	212	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
214	148 213	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
215	214	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
216		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) )
217		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) )
218		eleq1w	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
219	218	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
220		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
221	217 220	eqeq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
222	219 221	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
223	222 203	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
224	217 223	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
225		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · 𝑧 ) )
226	225	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
227	226	negeqd	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
228	227	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
229	224 228	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
230	229	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
231		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
232		fvres	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
233	232	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
234	18	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
235	233 234	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
236	235	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
237		simpl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
238		elioore	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
239	238	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
240	237 239	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ )
241	240	recnd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℂ )
242	241	coscld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
243	242	negcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
244	243	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
245	236 244	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℂ )
246	216 230 231 245	fvmptd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
247	246	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
248	247	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
249	245	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
250	249	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
251	236	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
252	251	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
253		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
254	244	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ )
255		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
256	236	absge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
257	242	absnegd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
258		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
259	240 258	syl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
260	257 259	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
261	260	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
262	254 255 251 256 261	lemul2ad	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
263	236 244	absmuld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
264	251	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
265	264	mulridd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
266	265	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
267	262 263 266	3brtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
268	267	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
269		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
270		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
271	200 270	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
272	204	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
273	272	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
274		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
275	273 274	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
276	275	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
277	276	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
278	271 277	ralimdaa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
279	269 278	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
280	220	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
281	280	breq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
282	281	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
283	279 282	sylib	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
284	283	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
285	284	r19.21bi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
286	250 252 253 268 285	letrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝑦 )
287	248 286	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
288	287	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
289	138	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
290	289	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
291		simpl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
292	95	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
293	291 292	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
294	293	recnd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
295	294	coscld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
296	295	negcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
297	296	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
298	290 297	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
299	298	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
300		dmmptg	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
301	299 300	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
302	301	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
303	288 302	raleqtrrdv	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
304	303	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
305	304	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
306	215 305	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
307	179 180 199 306	cnbdibl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
308	307	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
309	289	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
310		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
311	185	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
312	311	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
313	310 312	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
314	313	coscld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
315	293	ancoms	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
316		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
317	315 316	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
318	317	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
319	16	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
320	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
321	8	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
322		eqcom	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
323	322	bilanri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
324	321 323	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
325	320 324	gtned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
326	325	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
327	326	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
328		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
329	328	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
330	327 329	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝐿 )
331	29	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
332	26 29 29 143 331	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
333	319 330 332 10	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = 𝐿 )
334	333 35	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
335	334	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
336		eqid	⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
337		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
338	337	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
339	26	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
340	29	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
341		lbicc2	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
342	339 340 143 341	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
343	319 338 342 11	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = 𝑅 )
344	343 32	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
345	344	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
346		eqid	⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
347		eqid	⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
348		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
349	4	nnrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+ )
350	349	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℝ+ )
351	348 350	rpdivcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
352	351	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
353		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
354	29	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
355	354	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
356	353 355	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
357	356	coscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
358	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
359	187 358	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
360		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
361	359 360	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
362	361	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
363	26	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
364	363	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
365	353 364	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
366	365	coscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ )
367	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
368	187 367	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
369		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
370	368 369	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
371	370	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
372		fveq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) )
373	372	fveq2d	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
374	373	cbvitgv	⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
375	374	oveq2i	⊢ ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 )
376	375	oveq1i	⊢ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) )
377	376	oveq1i	⊢ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 )
378	377	fveq2i	⊢ ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) )
379	378	oveq1i	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 )
380	178 308 309 314 318 335 336 345 346 347 352 357 362 366 371 379	fourierdlem47	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
381		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
382		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
383		elioore	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
384	383	adantl	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
385		0red	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
386		nnre	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ )
387	386	adantr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ )
388		nngt0	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚 )
389	388	adantr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑚 )
390	387	rexrd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ* )
391		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
392	391	a1i	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
393		simpr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) )
394		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
395	390 392 393 394	syl3anc	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
396	385 387 384 389 395	lttrd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
397	384 396	elrpd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
398	397	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
399	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
400	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
401	72	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
402	401	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
403		rpcn	⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ )
404	403	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
405	44	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
406	405	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
407	404 406	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
408	407	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
409	402 408	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
410	399 400 409	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
411	143	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
412	72	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) )
413		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
414	328 413	eqtr4d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
415	414	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
416		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
417	416	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
418	54	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
419	55	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
420	44	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
421	26	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
422	44	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
423	57	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
424		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
425	424	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
426	421 422 423 425	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
427	426	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
428	44	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
429	29	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
430	60	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
431	322	biimpi	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 → 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
432	431	necon3bi	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
433	432	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
434	428 429 430 433	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
435	434	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
436	418 419 420 427 435	eliood	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
437		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
438	436 437	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
439		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
440	439	eqcomd	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
441	440	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
442	417 438 441	3eqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
443	415 442	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
444	443	ifeq2da	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
445	444	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
446	319 412 445	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
447		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
448	200 447 26 29 9 10 11	cncfiooicc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
449	446 448	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
450	412 449	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
451	450	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
452		eqid	⊢ ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D 𝐷 )
453	136 13	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
454	453	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
455	214	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
456		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
457	399 400 411 451 452 454 455 456	fourierdlem39	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
458	410 457	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
459	381 382 398 458	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
460	459	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) )
461	460	breq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
462	461	ralbidva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
463	462	rexbidva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
464	463	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
465	380 464	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
466	465	an32s	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
467	102	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
468	467	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
469	468	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
470	469	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
471	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
472	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
473	401	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
474	383	recnd	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
475	474	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
476	405	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
477	475 476	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
478	477	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
479	473 478	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
480	471 472 479	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
481	69	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
482	481 478	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
483	471 472 482	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
484	470 480 483	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
485	484	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
486	485	breq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
487	486	ralbidva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
488	487	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
489	488	rexbidv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
490	466 489	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
491	490	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
492	491	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
493		nfv	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
494		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
495	493 494	nfan	⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
496		nfv	⊢ Ⅎ 𝑟 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
497		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑟 ( 0 ..^ 𝑀 )
498		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑟 ℕ
499		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
500	498 499	nfrexw	⊢ Ⅎ 𝑟 ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
501	497 500	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
502	496 501	nfan	⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
503		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
504		fzofi	⊢ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin
505	504	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
506		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
507		eqid	⊢ { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } = { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) }
508		eqid	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
509		eqid	⊢ sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < ) = sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < )
510	495 502 503 505 506 507 508 509	fourierdlem31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
511		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
512		nfv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
513		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑛 ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
514	512 513	nfan	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
515		nfv	⊢ Ⅎ 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
516		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
517	496 515 516	nf3an	⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
518		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
519		elioore	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
520	519	adantl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
521		0red	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
522		nnre	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
523	522	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
524		nngt0	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛 )
525	524	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑛 )
526	523	rexrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ* )
527	391	a1i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
528		simpr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
529		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
530	526 527 528 529	syl3anc	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
531	521 523 520 525 530	lttrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
532	520 531	elrpd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
533	532	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
534	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
535	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
536	3	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
537	536	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
538	403	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
539	21	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
540	539	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
541	540	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
542	538 541	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
543	542	sincld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
544	537 543	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
545	534 535 544	itgioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
546	6	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
547	7	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
548	546 547	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
549	548	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
550	549	itgeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
551		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 0 ∈ ℤ )
552		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
553		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
554	553	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
555	552 554	eqtr4i	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) )
556	4 555	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
557	556	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
558	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
559	8	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
560		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
561	548	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
562	561	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
563	560 562	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
564	563	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
565	564 544	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
566	26	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
567	29	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
568	114 111	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
569	121 568	feqresmpt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
570	569 9	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
571	570	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
572		sincn	⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
573	572	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
574	185	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
575	403	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
576	189	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ℂ ⊆ ℂ )
577	574 575 576	constcncfg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
578	194	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
579	577 578	mulcncf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
580	579	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
581	573 580	cncfmpt1f	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
582	571 581	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
583		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
584		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
585		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
586	3	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
587	45	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
588	47	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
589	5	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
590		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
591	587 588 589 590 80	fourierdlem1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
592	586 591	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
593	592	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
594	575	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
595	311	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
596	594 595	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
597	596	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
598	569	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
599	10 598	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
600	599	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
601		rpre	⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ )
602	601	adantr	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
603	95	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
604	602 603	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
605	604	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
606	605	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
607		recn	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
608	607	sincld	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
609	608	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
610		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 )
611		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 )
612		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) )
613	185	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
614	575	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
615	567	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
616	610 613 614 615	constlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
617	613 611 615	idlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
618	610 611 612 594 595 616 617	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
619		eqid	⊢ ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) )
620		sinf	⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ
621	620	a1i	⊢ ( ⊤ → sin : ℂ ⟶ ℂ )
622	621	feqmptd	⊢ ( ⊤ → sin = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) )
623	622 572	eqeltrrdi	⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
624	19	a1i	⊢ ( ⊤ → ℝ ⊆ ℂ )
625		resincl	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
626	625	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
627	619 623 624 624 626	cncfmptssg	⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
628	627	mptru	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ )
629	628	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
630	601	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
631	630 567	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
632		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
633	629 631 632	cnmptlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
634		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · 𝑥 ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
635		fveq2	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
636	635	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
637	606 609 618 633 634 636	limcco	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
638	583 584 585 593 597 600 637	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
639	569	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
640	11 639	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
641	640	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
642	605	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
643	566	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
644	610 613 614 643	constlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
645	613 611 643	idlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
646	610 611 612 594 595 644 645	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
647	630 566	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
648		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
649	629 647 648	cnmptlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
650		fveq2	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
651	650	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
652	642 609 646 649 634 651	limcco	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
653	583 584 585 593 597 641 652	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
654	566 567 582 638 653	iblcncfioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
655		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) )
656	68	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
657	655 656 544	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
658	566 567 654 657	ibliooicc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
659	551 557 558 559 565 658	itgspltprt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
660	545 550 659	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
661	518 533 660	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
662	504	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
663	69	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
664	519	recnd	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
665	664	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
666	665	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
667	405	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
668	666 667	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
669	668	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
670	663 669	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
671	670	adantl3r	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
672		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
673	533	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
674		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
675	672 673 674 658	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
676	671 675	itgcl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
677	662 676	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
678	661 677	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
679	678	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
680	679	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
681	680	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
682	676	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
683	662 682	fsumrecl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
684	683	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
685	684	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
686		rpre	⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ )
687	686	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
688	687	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
689	661	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
690	662 676	fsumabs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
691	689 690	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
692	691	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
693	692	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
694	504	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
695		0zd	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
696	4	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
697	4	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
698		fzolb	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
699	695 696 697 698	syl3anbrc	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
700		ne0i	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
701	699 700	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
702	701	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
703	702	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
704		simp1l	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → 𝜑 )
705	704	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
706		simpll2	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
707	705 706	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
708		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
709		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
710		eleq1w	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
711	710	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
712		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
713		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
714	713	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
715	712 714	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
716	715	itgeq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
717	716	eleq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) )
718	711 717	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ) )
719	718 676	chvarvv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
720	707 708 709 719	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
721	720	abscld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
722	351	rpred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
723	722	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
724	723	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
725		simpll3	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
726		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
727	726	adantr	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
728	716	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
729	728	breq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
730	729	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
731	727 730	sylib	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
732		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
733	731 732	sylancom	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
734	725 708 709 733	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
735	694 703 721 724 734	fsumlt	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) )
736		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
737		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
738	737	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
739	736 738	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
740	739	itgeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
741	740	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
742	741	cbvsumv	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
743	742	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
744	351	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ )
745		fsumconst	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
746	504 744 745	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
747	4	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
748		hashfzo0	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
749	747 748	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
750	749	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
751	750	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
752	348	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℂ )
753	350	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℂ )
754	350	rpne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ≠ 0 )
755	752 753 754	divcan2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = 𝑒 )
756	746 751 755	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
757	756	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
758	757	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
759	735 743 758	3brtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
760	681 685 688 693 759	lelttrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
761	760	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
762	517 761	ralrimi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
763	762	3exp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
764	763	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
765	514 764	reximdai	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
766	511 765	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
767	510 766	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
768	767	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
769	768	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
770	492 769	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )