Theorem fourierdlem73

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as r increases, the integral in S goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem73.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem73.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem73.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
	fourierdlem73.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem73.qf	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
	fourierdlem73.q0	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
	fourierdlem73.qm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
	fourierdlem73.qilt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
	fourierdlem73.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem73.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem73.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
	fourierdlem73.gcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem73.gbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
	fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
	fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
Assertion	fourierdlem73	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem73.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem73.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem73.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
4		fourierdlem73.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5		fourierdlem73.qf	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
6		fourierdlem73.q0	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
7		fourierdlem73.qm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
8		fourierdlem73.qilt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
9		fourierdlem73.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
10		fourierdlem73.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
11		fourierdlem73.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
12		fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
13		fourierdlem73.gcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
14		fourierdlem73.gbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
15		fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
16		fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
17		cncff	⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
18	13 17	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
19		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
21	1 2	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
22	5 21	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
23	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
24		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
25	24	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
26	23 25	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
27		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
28	27	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
29	23 28	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
30	26 29	iccssred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
31		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ⊆ ℂ
32	31 11	sseldi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
33	32	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
34		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
35	34 10	sseldi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
36	35	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
37	3	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
38	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
39	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
40	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
41	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
42		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
43		eliccre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
44	40 41 42 43	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
45	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
46	45	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
47	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
48	47	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
49	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
50	49 25	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
51		iccgelb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
52	46 48 50 51	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
53	52	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
54	40	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
55	41	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
56		iccgelb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
57	54 55 42 56	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
58	38 40 44 53 57	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 )
59		iccleub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
60	54 55 42 59	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
61	45	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
62	47	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
63	49 28	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
64	63	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
65		iccleub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
66	61 62 64 65	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
67	44 41 39 60 66	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝐵 )
68	38 39 44 58 67	eliccd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
69	37 68	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
70	36 69	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
71	33 70	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
72	71 16	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
73		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
74	73	tgioo2	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
75		iccntr	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
76	26 29 75	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
77	20 30 72 74 73 76	dvresntr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
78		ioossicc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79	78	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
80	79	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
81		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
82	80 81	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
83	80 71	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
84	16	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
85	80 83 84	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
86	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
87	80 54	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
88	80 55	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
89		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
90		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
91	87 88 89 90	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
92	86 91	gtned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
93	92	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
94	93	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
95		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
96	95	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
97		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
98	87 88 89 97	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
99	96 98	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
100	99	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
101	100	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
102	85 94 101	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
103	82 102	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
104	103	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
105		ffn	⊢ ( 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
106	72 105	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
107		ffn	⊢ ( 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
108	3 107	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
109	108	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
110		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
111	46 48 49 110	fourierdlem8	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
112		fnssres	⊢ ( ( 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
113	109 111 112	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
114	78	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
115		fvreseq	⊢ ( ( ( 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
116	106 113 114 115	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
117	104 116	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
118	114	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
119	117 118	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
120	119	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
121	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
122	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
123	114 30	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
124	73 74	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
125	20 121 122 123 124	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
126	12	eqcomi	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺
127	126	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺 )
128		iooretop	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
129		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
130		uniretop	⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
131	130	isopn3	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
132	129 123 131	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
133	128 132	mpbii	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
134	127 133	reseq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135	125 134	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
136	77 120 135	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
137	136	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) )
138	18 137	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
139	138	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
140	139 136	eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
141		ioombl	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol
142	141	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
143	26 29 8	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
144		volioo	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
145	26 29 143 144	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
146	29 26	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
147	145 146	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
148	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
149		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ )
150		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
151	149 150	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
152		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153		fdm	⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
154	18 153	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
155	154	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
156	152 155	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
157		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
158	156 157	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
159	158	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
160	159	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
161		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
162		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
163	154 162	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 )
164	163	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
165	156 164	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
166	165	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
167		rsp	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( 𝑥 ∈ dom 𝐺 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
168	161 166 167	sylc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
169	168	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
170	160 169	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
171	170	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
172	151 171	ralrimi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
173	172	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
174	173	reximdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
175	148 174	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
176	142 147 13 175	cnbdibl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
177	140 176	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
178	177	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
179	141	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
180	147	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
181	140 13	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
182	181	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
183		coscn	⊢ cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
184	183	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
185		ioosscn	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
186	185	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
187		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
188	187	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
189		ssid	⊢ ℂ ⊆ ℂ
190	189	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ℂ ⊆ ℂ )
191	186 188 190	constcncfg	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
192	185	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
193	189	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
194	192 193	idcncfg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
195	194	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
196	191 195	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
197	184 196	cncfmpt1f	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
198	197	negcncfg	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
199	182 198	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
200		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
201	200 150	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
202	136	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
203	202 157	sylan9eq	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
204	203	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
205	204	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
206		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
207	164	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
208	206 207 167	sylc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
209	205 208	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
210	209	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
211	201 210	ralrimi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
212	211	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
213	212	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
214	148 213	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
215	214	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
216		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) )
217		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) )
218		eleq1w	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
219	218	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
220		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
221	217 220	eqeq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
222	219 221	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
223	222 203	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
224	217 223	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
225		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · 𝑧 ) )
226	225	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
227	226	negeqd	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
228	227	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
229	224 228	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
230	229	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
231		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
232		fvres	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
233	232	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
234	18	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
235	233 234	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
236	235	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
237		simpl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
238		elioore	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
239	238	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
240	237 239	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ )
241	240	recnd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℂ )
242	241	coscld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
243	242	negcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
244	243	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
245	236 244	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℂ )
246	216 230 231 245	fvmptd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
247	246	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
248	247	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
249	245	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
250	249	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
251	236	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
252	251	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
253		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
254	244	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ )
255		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
256	236	absge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
257	242	absnegd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
258		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
259	240 258	syl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
260	257 259	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
261	260	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
262	254 255 251 256 261	lemul2ad	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
263	236 244	absmuld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
264	251	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
265	264	mulid1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
266	265	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
267	262 263 266	3brtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
268	267	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
269		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
270		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
271	200 270	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
272	204	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
273	272	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
274		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
275	273 274	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
276	275	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
277	276	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
278	271 277	ralimdaa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
279	269 278	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
280	220	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
281	280	breq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
282	281	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
283	279 282	sylib	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
284	283	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
285	284	r19.21bi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
286	250 252 253 268 285	letrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝑦 )
287	248 286	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
288	287	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
289	138	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
290	289	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
291		simpl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
292	95	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
293	291 292	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
294	293	recnd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
295	294	coscld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
296	295	negcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
297	296	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
298	290 297	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
299	298	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
300		dmmptg	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
301	299 300	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
302	301	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
303	302	raleqdv	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
304	288 303	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
305	304	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
306	305	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
307	215 306	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
308	179 180 199 307	cnbdibl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
309	308	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
310	289	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
311		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
312	185	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
313	312	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
314	311 313	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
315	314	coscld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
316	293	ancoms	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
317		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
318	316 317	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
319	318	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
320	16	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
321	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
322	8	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
323		eqcom	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
324	323	biimpri	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
325	324	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
326	322 325	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
327	321 326	gtned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
328	327	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
329	328	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
330		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
331	330	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
332	329 331	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝐿 )
333	29	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
334	26 29 29 143 333	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
335	320 332 334 10	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = 𝐿 )
336	335 35	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
337	336	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
338		eqid	⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
339		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
340	339	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
341	26	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
342	29	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
343		lbicc2	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
344	341 342 143 343	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
345	320 340 344 11	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = 𝑅 )
346	345 32	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
347	346	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
348		eqid	⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
349		eqid	⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
350		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
351	4	nnrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+ )
352	351	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℝ+ )
353	350 352	rpdivcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
354	353	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
355		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
356	29	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
357	356	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
358	355 357	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
359	358	coscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
360	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
361	187 360	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
362		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
363	361 362	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
364	363	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
365	26	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
366	365	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
367	355 366	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
368	367	coscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ )
369	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
370	187 369	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
371		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
372	370 371	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
373	372	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
374		fveq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) )
375	374	fveq2d	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
376	375	cbvitgv	⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
377	376	oveq2i	⊢ ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 )
378	377	oveq1i	⊢ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) )
379	378	oveq1i	⊢ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 )
380	379	fveq2i	⊢ ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) )
381	380	oveq1i	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 )
382	178 309 310 315 319 337 338 347 348 349 354 359 364 368 373 381	fourierdlem47	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
383		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
384		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
385		elioore	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
386	385	adantl	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
387		0red	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
388		nnre	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ )
389	388	adantr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ )
390		nngt0	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚 )
391	390	adantr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑚 )
392	389	rexrd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ* )
393		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
394	393	a1i	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
395		simpr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) )
396		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
397	392 394 395 396	syl3anc	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
398	387 389 386 391 397	lttrd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
399	386 398	elrpd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
400	399	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
401	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
402	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
403	72	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
404	403	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
405		rpcn	⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ )
406	405	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
407	44	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
408	407	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
409	406 408	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
410	409	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
411	404 410	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
412	401 402 411	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
413	143	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
414	72	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) )
415		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
416	330 415	eqtr4d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
417	416	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
418		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
419	418	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
420	54	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
421	55	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
422	44	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
423	26	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
424	44	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
425	57	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
426		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
427	426	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
428	423 424 425 427	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
429	428	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
430	44	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
431	29	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
432	60	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
433	323	biimpi	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 → 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
434	433	necon3bi	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
435	434	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
436	430 431 432 435	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
437	436	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
438	420 421 422 429 437	eliood	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
439		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
440	438 439	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
441		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
442	441	eqcomd	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
443	442	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
444	419 440 443	3eqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
445	417 444	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
446	445	ifeq2da	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
447	446	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
448	320 414 447	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
449		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
450	200 449 26 29 9 10 11	cncfiooicc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
451	448 450	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
452	414 451	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
453	452	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
454		eqid	⊢ ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D 𝐷 )
455	136 13	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
456	455	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
457	214	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
458		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
459	401 402 413 453 454 456 457 458	fourierdlem39	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
460	412 459	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
461	383 384 400 460	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
462	461	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) )
463	462	breq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
464	463	ralbidva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
465	464	rexbidva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
466	465	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
467	382 466	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
468	467	an32s	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
469	102	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
470	469	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
471	470	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
472	471	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
473	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
474	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
475	403	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
476	385	recnd	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
477	476	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
478	407	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
479	477 478	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
480	479	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
481	475 480	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
482	473 474 481	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
483	69	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
484	483 480	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
485	473 474 484	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
486	472 482 485	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
487	486	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
488	487	breq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
489	488	ralbidva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
490	489	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
491	490	rexbidv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
492	468 491	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
493	492	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
494	493	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
495		nfv	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
496		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
497	495 496	nfan	⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
498		nfv	⊢ Ⅎ 𝑟 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
499		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑟 ( 0 ..^ 𝑀 )
500		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑟 ℕ
501		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
502	500 501	nfrex	⊢ Ⅎ 𝑟 ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
503	499 502	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
504	498 503	nfan	⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
505		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
506		fzofi	⊢ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin
507	506	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
508		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
509		eqid	⊢ { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } = { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) }
510		eqid	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
511		eqid	⊢ sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < ) = sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < )
512	497 504 505 507 508 509 510 511	fourierdlem31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
513		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
514		nfv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
515		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑛 ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
516	514 515	nfan	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
517		nfv	⊢ Ⅎ 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
518		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
519	498 517 518	nf3an	⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
520		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
521		elioore	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
522	521	adantl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
523		0red	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
524		nnre	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
525	524	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
526		nngt0	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛 )
527	526	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑛 )
528	525	rexrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ* )
529	393	a1i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
530		simpr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
531		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
532	528 529 530 531	syl3anc	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
533	523 525 522 527 532	lttrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
534	522 533	elrpd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
535	534	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
536	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
537	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
538	3	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
539	538	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
540	405	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
541	21	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
542	541	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
543	542	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
544	540 543	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
545	544	sincld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
546	539 545	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
547	536 537 546	itgioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
548	6	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
549	7	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
550	548 549	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
551	550	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
552	551	itgeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
553		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 0 ∈ ℤ )
554		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
555		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
556	555	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
557	554 556	eqtr4i	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) )
558	4 557	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
559	558	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
560	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
561	8	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
562		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
563	550	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
564	563	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
565	562 564	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
566	565	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
567	566 546	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
568	26	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
569	29	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
570	114 111	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
571	121 570	feqresmpt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
572	571 9	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
573	572	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
574		sincn	⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
575	574	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
576	185	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
577	405	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
578	189	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ℂ ⊆ ℂ )
579	576 577 578	constcncfg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
580	194	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
581	579 580	mulcncf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
582	581	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
583	575 582	cncfmpt1f	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
584	573 583	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
585		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
586		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
587		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
588	3	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
589	45	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
590	47	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
591	5	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
592		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
593	589 590 591 592 80	fourierdlem1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
594	588 593	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
595	594	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
596	577	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
597	312	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
598	596 597	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
599	598	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
600	571	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
601	10 600	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
602	601	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
603		rpre	⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ )
604	603	adantr	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
605	95	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
606	604 605	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
607	606	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
608	607	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
609		recn	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
610	609	sincld	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
611	610	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
612		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 )
613		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 )
614		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) )
615	185	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
616	577	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
617	569	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
618	612 615 616 617	constlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
619	615 613 617	idlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
620	612 613 614 596 597 618 619	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
621		eqid	⊢ ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) )
622		sinf	⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ
623	622	a1i	⊢ ( ⊤ → sin : ℂ ⟶ ℂ )
624	623	feqmptd	⊢ ( ⊤ → sin = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) )
625	624 574	eqeltrrdi	⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
626	19	a1i	⊢ ( ⊤ → ℝ ⊆ ℂ )
627		resincl	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
628	627	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
629	621 625 626 626 628	cncfmptssg	⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
630	629	mptru	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ )
631	630	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
632	603	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
633	632 569	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
634		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
635	631 633 634	cnmptlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
636		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · 𝑥 ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
637		fveq2	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
638	637	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
639	608 611 620 635 636 638	limcco	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
640	585 586 587 595 599 602 639	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
641	571	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
642	11 641	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
643	642	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
644	607	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
645	568	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
646	612 615 616 645	constlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
647	615 613 645	idlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
648	612 613 614 596 597 646 647	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
649	632 568	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
650		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
651	631 649 650	cnmptlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
652		fveq2	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
653	652	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
654	644 611 648 651 636 653	limcco	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
655	585 586 587 595 599 643 654	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
656	568 569 584 640 655	iblcncfioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
657		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) )
658	68	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
659	657 658 546	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
660	568 569 656 659	ibliooicc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
661	553 559 560 561 567 660	itgspltprt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
662	547 552 661	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
663	520 535 662	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
664	506	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
665	69	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
666	521	recnd	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
667	666	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
668	667	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
669	407	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
670	668 669	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
671	670	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
672	665 671	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
673	672	adantl3r	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
674		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
675	535	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
676		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
677	674 675 676 660	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
678	673 677	itgcl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
679	664 678	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
680	663 679	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
681	680	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
682	681	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
683	682	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
684	678	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
685	664 684	fsumrecl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
686	685	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
687	686	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
688		rpre	⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ )
689	688	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
690	689	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
691	663	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
692	664 678	fsumabs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
693	691 692	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
694	693	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
695	694	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
696	506	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
697		0zd	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
698	4	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
699	4	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
700		fzolb	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
701	697 698 699 700	syl3anbrc	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
702		ne0i	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
703	701 702	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
704	703	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
705	704	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
706		simp1l	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → 𝜑 )
707	706	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
708		simpll2	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
709	707 708	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
710		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
711		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
712		eleq1w	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
713	712	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
714		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
715		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
716	715	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
717	714 716	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
718	717	itgeq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
719	718	eleq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) )
720	713 719	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ) )
721	720 678	chvarvv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
722	709 710 711 721	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
723	722	abscld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
724	353	rpred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
725	724	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
726	725	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
727		simpll3	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
728		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
729	728	adantr	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
730	718	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
731	730	breq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
732	731	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
733	729 732	sylib	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
734		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
735	733 734	sylancom	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
736	727 710 711 735	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
737	696 705 723 726 736	fsumlt	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) )
738		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
739		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
740	739	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
741	738 740	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
742	741	itgeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
743	742	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
744	743	cbvsumv	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
745	744	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
746	353	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ )
747		fsumconst	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
748	506 746 747	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
749	4	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
750		hashfzo0	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
751	749 750	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
752	751	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
753	752	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
754	350	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℂ )
755	352	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℂ )
756	352	rpne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ≠ 0 )
757	754 755 756	divcan2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = 𝑒 )
758	748 753 757	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
759	758	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
760	759	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
761	737 745 760	3brtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
762	683 687 690 695 761	lelttrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
763	762	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
764	519 763	ralrimi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
765	764	3exp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
766	765	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
767	516 766	reximdai	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
768	513 767	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
769	512 768	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
770	769	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
771	770	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
772	494 771	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )