Theorem fourierdlem73

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as r increases, the integral in S goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem73.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem73.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem73.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
	fourierdlem73.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem73.qf	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
	fourierdlem73.q0	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
	fourierdlem73.qm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
	fourierdlem73.qilt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
	fourierdlem73.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem73.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem73.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
	fourierdlem73.gcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem73.gbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
	fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
	fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
Assertion	fourierdlem73	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem73.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem73.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem73.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
4		fourierdlem73.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5		fourierdlem73.qf	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
6		fourierdlem73.q0	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
7		fourierdlem73.qm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
8		fourierdlem73.qilt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
9		fourierdlem73.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
10		fourierdlem73.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
11		fourierdlem73.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
12		fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
13		fourierdlem73.gcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
14		fourierdlem73.gbd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
15		fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
16		fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
17		cncff	⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
18	13 17	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
19		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
21	1 2	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
22	5 21	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
23	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
24		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
25	24	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
26	23 25	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
27		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
28	27	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
29	23 28	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
30	26 29	iccssred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
31		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ⊆ ℂ
32	31 11	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
33	32	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
34		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
35	34 10	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
36	35	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
37	3	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
38	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
39	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
40	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
41	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
42		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
43		eliccre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
44	40 41 42 43	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
45	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
46	45	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
47	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
48	47	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
49	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
50	49 25	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
51		iccgelb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
52	46 48 50 51	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
53	52	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
54	40	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
55	41	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
56		iccgelb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
57	54 55 42 56	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
58	38 40 44 53 57	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 )
59		iccleub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
60	54 55 42 59	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
61	45	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
62	47	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
63	49 28	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
64	63	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
65		iccleub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
66	61 62 64 65	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
67	44 41 39 60 66	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝐵 )
68	38 39 44 58 67	eliccd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
69	37 68	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
70	36 69	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
71	33 70	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
72	71 16	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
73		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
74	73	tgioo2	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
75		iccntr	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
76	26 29 75	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
77	20 30 72 74 73 76	dvresntr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
78		ioossicc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79	78	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
80	79	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
81		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
82	80 81	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
83	80 71	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
84	16	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
85	80 83 84	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
86	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
87	80 54	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
88	80 55	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
89		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
90		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
91	87 88 89 90	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
92	86 91	gtned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
93	92	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
94	93	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
95		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
96	95	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
97		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
98	87 88 89 97	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
99	96 98	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
100	99	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
101	100	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
102	85 94 101	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
103	82 102	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
104	103	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
105		ffn	⊢ ( 𝐷 : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
106	72 105	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
107		ffn	⊢ ( 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
108	3 107	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
109	108	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
110		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
111	46 48 49 110	fourierdlem8	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
112		fnssres	⊢ ( ( 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
113	109 111 112	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
114	78	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
115		fvreseq	⊢ ( ( ( 𝐷 Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
116	106 113 114 115	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
117	104 116	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
118	114	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
119	117 118	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
120	119	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
121	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
122	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
123	114 30	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
124	73 74	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
125	20 121 122 123 124	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
126	12	eqcomi	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺
127	126	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺 )
128		iooretop	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
129		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
130		uniretop	⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
131	130	isopn3	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
132	129 123 131	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
133	128 132	mpbii	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
134	127 133	reseq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135	125 134	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
136	77 120 135	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
137	136	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) )
138	18 137	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
139	138	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
140	139 136	eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
141		ioombl	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol
142	141	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
143	26 29 8	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
144		volioo	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
145	26 29 143 144	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
146	29 26	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
147	145 146	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
148	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
149		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ )
150		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
151	149 150	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
152		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153		fdm	⊢ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
154	18 153	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
155	154	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
156	152 155	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
157		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
158	156 157	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
159	158	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
160	159	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
161		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
162		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
163	154 162	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 )
164	163	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
165	156 164	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
166	165	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
167		rsp	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( 𝑥 ∈ dom 𝐺 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
168	161 166 167	sylc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
169	168	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
170	160 169	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
171	170	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
172	151 171	ralrimi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
173	172	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
174	173	reximdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
175	148 174	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
176	142 147 13 175	cnbdibl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
177	140 176	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
178	177	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
179	141	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
180	147	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
181	140 13	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
182	181	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
183		coscn	⊢ cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
184	183	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
185		ioosscn	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
186	185	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
187		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
188	187	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
189		ssid	⊢ ℂ ⊆ ℂ
190	189	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ℂ ⊆ ℂ )
191	186 188 190	constcncfg	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
192	185	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
193	189	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
194	192 193	idcncfg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
195	194	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
196	191 195	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
197	184 196	cncfmpt1f	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
198	197	negcncfg	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
199	182 198	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
200		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
201	200 150	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
202	136	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
203	202 157	sylan9eq	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
204	203	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
205	204	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) )
206		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
207	164	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
208	206 207 167	sylc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
209	205 208	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
210	209	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
211	201 210	ralrimi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
212	211	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
213	212	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
214	148 213	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
215	214	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
216		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) )
217		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) )
218		eleq1w	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
219	218	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
220		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
221	217 220	eqeq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
222	219 221	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
223	222 203	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
224	217 223	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
225		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · 𝑧 ) )
226	225	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
227	226	negeqd	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
228	227	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
229	224 228	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
230	229	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
231		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
232		fvres	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
233	232	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
234	18	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
235	233 234	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
236	235	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
237		simpl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
238		elioore	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
239	238	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
240	237 239	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ )
241	240	recnd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℂ )
242	241	coscld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
243	242	negcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
244	243	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
245	236 244	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℂ )
246	216 230 231 245	fvmptd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
247	246	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
248	247	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
249	245	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
250	249	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
251	236	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
252	251	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
253		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
254	244	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ )
255		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
256	236	absge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
257	242	absnegd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
258		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
259	240 258	syl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
260	257 259	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
261	260	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
262	254 255 251 256 261	lemul2ad	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
263	236 244	absmuld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
264	251	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
265	264	mulridd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
266	265	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) )
267	262 263 266	3brtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
268	267	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
269		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
270		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
271	200 270	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
272	204	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
273	272	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
274		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
275	273 274	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
276	275	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
277	276	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
278	271 277	ralimdaa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
279	269 278	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
280	220	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
281	280	breq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
282	281	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
283	279 282	sylib	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
284	283	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
285	284	r19.21bi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
286	250 252 253 268 285	letrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝑦 )
287	248 286	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
288	287	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
289	138	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
290	289	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
291		simpl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
292	95	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
293	291 292	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
294	293	recnd	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
295	294	coscld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
296	295	negcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
297	296	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
298	290 297	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
299	298	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
300		dmmptg	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
301	299 300	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
302	301	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
303	288 302	raleqtrrdv	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
304	303	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
305	304	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
306	215 305	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
307	179 180 199 306	cnbdibl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
308	307	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
309	289	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
310		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
311	185	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
312	311	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
313	310 312	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
314	313	coscld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
315	293	ancoms	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
316		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
317	315 316	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
318	317	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
319	16	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
320	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
321	8	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
322		eqcom	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
323	322	biimpri	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
324	323	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
325	321 324	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
326	320 325	gtned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
327	326	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
328	327	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
329		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
330	329	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
331	328 330	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝐿 )
332	29	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
333	26 29 29 143 332	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
334	319 331 333 10	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = 𝐿 )
335	334 35	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
336	335	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
337		eqid	⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
338		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
339	338	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
340	26	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
341	29	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
342		lbicc2	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
343	340 341 143 342	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
344	319 339 343 11	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = 𝑅 )
345	344 32	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
346	345	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
347		eqid	⊢ ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
348		eqid	⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
349		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
350	4	nnrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+ )
351	350	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℝ+ )
352	349 351	rpdivcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
353	352	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
354		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
355	29	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
356	355	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
357	354 356	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
358	357	coscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
359	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
360	187 359	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
361		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
362	360 361	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
363	362	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
364	26	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
365	364	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
366	354 365	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
367	366	coscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ )
368	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
369	187 368	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
370		abscosbd	⊢ ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
371	369 370	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
372	371	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
373		fveq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) )
374	373	fveq2d	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
375	374	cbvitgv	⊢ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
376	375	oveq2i	⊢ ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 )
377	376	oveq1i	⊢ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) )
378	377	oveq1i	⊢ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 )
379	378	fveq2i	⊢ ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) )
380	379	oveq1i	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 )
381	178 308 309 314 318 336 337 346 347 348 353 358 363 367 372 380	fourierdlem47	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
382		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
383		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
384		elioore	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
385	384	adantl	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
386		0red	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
387		nnre	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ )
388	387	adantr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ )
389		nngt0	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚 )
390	389	adantr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑚 )
391	388	rexrd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ* )
392		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
393	392	a1i	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
394		simpr	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) )
395		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
396	391 393 394 395	syl3anc	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
397	386 388 385 390 396	lttrd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
398	385 397	elrpd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
399	398	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
400	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
401	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
402	72	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
403	402	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
404		rpcn	⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ )
405	404	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
406	44	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
407	406	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
408	405 407	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
409	408	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
410	403 409	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
411	400 401 410	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
412	143	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
413	72	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) )
414		iftrue	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
415	329 414	eqtr4d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
416	415	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
417		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
418	417	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
419	54	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
420	55	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
421	44	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
422	26	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
423	44	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
424	57	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑥 )
425		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
426	425	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
427	422 423 424 426	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
428	427	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
429	44	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
430	29	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
431	60	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
432	322	biimpi	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 → 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
433	432	necon3bi	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
434	433	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
435	429 430 431 434	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
436	435	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
437	419 420 421 428 436	eliood	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
438		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
439	437 438	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
440		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
441	440	eqcomd	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
442	441	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
443	418 439 442	3eqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
444	416 443	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
445	444	ifeq2da	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
446	445	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
447	319 413 446	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
448		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
449	200 448 26 29 9 10 11	cncfiooicc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
450	447 449	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
451	413 450	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
452	451	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
453		eqid	⊢ ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D 𝐷 )
454	136 13	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
455	454	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
456	214	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
457		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
458	400 401 412 452 453 455 456 457	fourierdlem39	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
459	411 458	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
460	382 383 399 459	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
461	460	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) )
462	461	breq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
463	462	ralbidva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
464	463	rexbidva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
465	464	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
466	381 465	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
467	466	an32s	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
468	102	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
469	468	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
470	469	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
471	470	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
472	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
473	29	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
474	402	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
475	384	recnd	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
476	475	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
477	406	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
478	476 477	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
479	478	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
480	474 479	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
481	472 473 480	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
482	69	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
483	482 479	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
484	472 473 483	itgioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
485	471 481 484	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
486	485	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
487	486	breq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
488	487	ralbidva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
489	488	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
490	489	rexbidv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
491	467 490	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
492	491	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
493	492	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
494		nfv	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
495		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
496	494 495	nfan	⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
497		nfv	⊢ Ⅎ 𝑟 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
498		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑟 ( 0 ..^ 𝑀 )
499		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑟 ℕ
500		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
501	499 500	nfrexw	⊢ Ⅎ 𝑟 ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
502	498 501	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
503	497 502	nfan	⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
504		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
505		fzofi	⊢ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin
506	505	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
507		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
508		eqid	⊢ { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } = { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) }
509		eqid	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
510		eqid	⊢ sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < ) = sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < )
511	496 503 504 506 507 508 509 510	fourierdlem31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
512		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
513		nfv	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ )
514		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑛 ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
515	513 514	nfan	⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
516		nfv	⊢ Ⅎ 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
517		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑟 ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
518	497 516 517	nf3an	⊢ Ⅎ 𝑟 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
519		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
520		elioore	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
521	520	adantl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
522		0red	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
523		nnre	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
524	523	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
525		nngt0	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛 )
526	525	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑛 )
527	524	rexrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ* )
528	392	a1i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
529		simpr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
530		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
531	527 528 529 530	syl3anc	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
532	522 524 521 526 531	lttrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
533	521 532	elrpd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
534	533	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
535	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
536	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
537	3	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
538	537	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
539	404	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
540	21	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
541	540	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
542	541	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
543	539 542	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
544	543	sincld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
545	538 544	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
546	535 536 545	itgioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
547	6	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
548	7	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
549	547 548	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
550	549	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
551	550	itgeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
552		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 0 ∈ ℤ )
553		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
554		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
555	554	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
556	553 555	eqtr4i	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) )
557	4 556	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
558	557	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
559	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
560	8	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
561		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
562	549	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
563	562	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
564	561 563	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
565	564	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
566	565 545	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
567	26	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
568	29	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
569	114 111	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
570	121 569	feqresmpt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
571	570 9	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
572	571	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
573		sincn	⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
574	573	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
575	185	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
576	404	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
577	189	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ℂ ⊆ ℂ )
578	575 576 577	constcncfg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
579	194	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
580	578 579	mulcncf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
581	580	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
582	574 581	cncfmpt1f	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
583	572 582	mulcncf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
584		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
585		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
586		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
587	3	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
588	45	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
589	47	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
590	5	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
591		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
592	588 589 590 591 80	fourierdlem1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
593	587 592	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
594	593	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
595	576	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
596	311	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
597	595 596	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
598	597	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
599	570	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
600	10 599	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
601	600	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
602		rpre	⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ )
603	602	adantr	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
604	95	adantl	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
605	603 604	remulcld	⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
606	605	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
607	606	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
608		recn	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
609	608	sincld	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
610	609	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
611		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 )
612		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 )
613		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) )
614	185	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
615	576	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
616	568	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
617	611 614 615 616	constlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
618	614 612 616	idlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
619	611 612 613 595 596 617 618	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
620		eqid	⊢ ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) )
621		sinf	⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ
622	621	a1i	⊢ ( ⊤ → sin : ℂ ⟶ ℂ )
623	622	feqmptd	⊢ ( ⊤ → sin = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) )
624	623 573	eqeltrrdi	⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
625	19	a1i	⊢ ( ⊤ → ℝ ⊆ ℂ )
626		resincl	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
627	626	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
628	620 624 625 625 627	cncfmptssg	⊢ ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
629	628	mptru	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ )
630	629	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
631	602	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
632	631 568	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
633		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
634	630 632 633	cnmptlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
635		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · 𝑥 ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
636		fveq2	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
637	636	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
638	607 610 619 634 635 637	limcco	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
639	584 585 586 594 598 601 638	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
640	570	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
641	11 640	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
642	641	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
643	606	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
644	567	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
645	611 614 615 644	constlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
646	614 612 644	idlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
647	611 612 613 595 596 645 646	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
648	631 567	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
649		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
650	630 648 649	cnmptlimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) limℂ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
651		fveq2	⊢ ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
652	651	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) )
653	643 610 647 650 635 652	limcco	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
654	584 585 586 594 598 642 653	mullimc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
655	567 568 583 639 654	iblcncfioo	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
656		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) )
657	68	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
658	656 657 545	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
659	567 568 655 658	ibliooicc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
660	552 558 559 560 566 659	itgspltprt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
661	546 551 660	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
662	519 534 661	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
663	505	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
664	69	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
665	520	recnd	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
666	665	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
667	666	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
668	406	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
669	667 668	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
670	669	sincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
671	664 670	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
672	671	adantl3r	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
673		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
674	534	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
675		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
676	673 674 675 659	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
677	672 676	itgcl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
678	663 677	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
679	662 678	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
680	679	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
681	680	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
682	681	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
683	677	abscld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
684	663 683	fsumrecl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
685	684	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
686	685	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
687		rpre	⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ )
688	687	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
689	688	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
690	662	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
691	663 677	fsumabs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
692	690 691	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
693	692	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
694	693	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
695	505	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
696		0zd	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
697	4	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
698	4	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
699		fzolb	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
700	696 697 698 699	syl3anbrc	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
701		ne0i	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
702	700 701	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
703	702	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
704	703	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
705		simp1l	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → 𝜑 )
706	705	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
707		simpll2	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
708	706 707	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
709		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
710		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
711		eleq1w	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
712	711	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
713		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
714		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
715	714	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
716	713 715	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
717	716	itgeq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
718	717	eleq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) )
719	712 718	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ) )
720	719 677	chvarvv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
721	708 709 710 720	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
722	721	abscld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
723	352	rpred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
724	723	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
725	724	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
726		simpll3	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
727		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
728	727	adantr	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
729	717	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
730	729	breq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
731	730	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
732	728 731	sylib	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
733		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
734	732 733	sylancom	⊢ ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
735	726 709 710 734	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
736	695 704 722 725 735	fsumlt	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) )
737		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
738		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
739	738	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
740	737 739	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
741	740	itgeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
742	741	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
743	742	cbvsumv	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
744	743	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
745	352	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ )
746		fsumconst	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
747	505 745 746	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
748	4	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
749		hashfzo0	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
750	748 749	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
751	750	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
752	751	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
753	349	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℂ )
754	351	rpcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℂ )
755	351	rpne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ≠ 0 )
756	753 754 755	divcan2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = 𝑒 )
757	747 752 756	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
758	757	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
759	758	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
760	736 744 759	3brtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
761	682 686 689 694 760	lelttrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
762	761	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
763	518 762	ralrimi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
764	763	3exp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
765	764	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
766	515 765	reximdai	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
767	512 766	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
768	511 767	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
769	768	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
770	769	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
771	493 770	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )