Theorem fouriersw

Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where F is discontinuous, the series converges to 0 , the average value of the left and the right limits. Notice that F is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fouriersw.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
	fouriersw.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
	fouriersw.x	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
	fouriersw.z	⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) )
	fouriersw.y	⊢ 𝑌 = if ( ( 𝑋 mod π ) = 0 , 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) )
Assertion	fouriersw	⊢ ( ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = 𝑌 ∧ seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fouriersw.t	⊢ 𝑇 = ( 2 · π )
2		fouriersw.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
3		fouriersw.x	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
4		fouriersw.z	⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) )
5		fouriersw.y	⊢ 𝑌 = if ( ( 𝑋 mod π ) = 0 , 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) )
6		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
7		1zzd	⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℤ )
8		eqidd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
9		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 2 · 𝑛 ) = ( 2 · 𝑘 ) )
10	9	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
11	10	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) )
12	11	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) )
13	12 10	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
14	13	adantl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
15		id	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ )
16		ovex	⊢ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ V
17	16	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ V )
18	8 14 15 17	fvmptd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
19	18	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
20		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
21	20	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ )
22		nnz	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ )
23	21 22	zmulcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℤ )
24		1zzd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ )
25	23 24	zsubcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℤ )
26	25	zcnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℂ )
27	3	recni	⊢ 𝑋 ∈ ℂ
28	27	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ )
29	26 28	mulcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ )
30	29	sincld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
31		0red	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ )
32		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
33	32	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ )
34		1red	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ )
35	33 34	remulcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ∈ ℝ )
36	35 34	resubcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 1 ) − 1 ) ∈ ℝ )
37	25	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℝ )
38		0lt1	⊢ 0 < 1
39		2t1e2	⊢ ( 2 · 1 ) = 2
40	39	oveq1i	⊢ ( ( 2 · 1 ) − 1 ) = ( 2 − 1 )
41		2m1e1	⊢ ( 2 − 1 ) = 1
42	40 41	eqtr2i	⊢ 1 = ( ( 2 · 1 ) − 1 )
43	38 42	breqtri	⊢ 0 < ( ( 2 · 1 ) − 1 )
44	43	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 < ( ( 2 · 1 ) − 1 ) )
45	23	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℝ )
46		nnre	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ )
47		0le2	⊢ 0 ≤ 2
48	47	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2 )
49		nnge1	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘 )
50	34 46 33 48 49	lemul2ad	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ≤ ( 2 · 𝑘 ) )
51	35 45 34 50	lesub1dd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 1 ) − 1 ) ≤ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
52	31 36 37 44 51	ltletrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 0 < ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
53	31 52	gtned	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ≠ 0 )
54	30 26 53	divcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
55	54	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
56		picn	⊢ π ∈ ℂ
57	56	a1i	⊢ ( ⊤ → π ∈ ℂ )
58		4cn	⊢ 4 ∈ ℂ
59	58	a1i	⊢ ( ⊤ → 4 ∈ ℂ )
60		4ne0	⊢ 4 ≠ 0
61	60	a1i	⊢ ( ⊤ → 4 ≠ 0 )
62	57 59 61	divcld	⊢ ( ⊤ → ( π / 4 ) ∈ ℂ )
63		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
64		0cnd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ )
65	58	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ )
66		nncn	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ )
67		mulcl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( 𝑛 · π ) ∈ ℂ )
68	66 56 67	sylancl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 · π ) ∈ ℂ )
69	56	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
70		nnne0	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0 )
71		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
72		pipos	⊢ 0 < π
73	71 72	gtneii	⊢ π ≠ 0
74	73	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
75	66 69 70 74	mulne0d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 · π ) ≠ 0 )
76	65 68 75	divcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ∈ ℂ )
77	27	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ )
78	66 77	mulcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 · 𝑋 ) ∈ ℂ )
79	78	sincld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
80	76 79	mulcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℂ )
81	64 80	ifcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℂ )
82	63 81	fmpti	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ
83	82	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ )
84		eqidd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
85		breq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘 ) )
86		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · π ) = ( 𝑘 · π ) )
87	86	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) = ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) )
88		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
89	88	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
90	87 89	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) )
91	85 90	ifbieq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
92	91	adantl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
93		c0ex	⊢ 0 ∈ V
94		ovex	⊢ ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ∈ V
95	93 94	ifex	⊢ if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V
96	95	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V )
97	84 92 15 96	fvmptd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
98	97	adantr	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) )
99		simpr	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ )
100		simpl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
101		2nn	⊢ 2 ∈ ℕ
102		nndivdvds	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ) → ( 2 ∥ 𝑘 ↔ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) )
103	100 101 102	sylancl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( 2 ∥ 𝑘 ↔ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) )
104	99 103	mpbird	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → 2 ∥ 𝑘 )
105	104	iftrued	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → if ( 2 ∥ 𝑘 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑘 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑋 ) ) ) ) = 0 )
106	98 105	eqtrd	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = 0 )
107	106	3adant1	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝑘 / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = 0 )
108		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
109	108	renegcli	⊢ - 1 ∈ ℝ
110	108 109	ifcli	⊢ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ
111	110	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ )
112	2 111	fmpti	⊢ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ
113		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( 𝑦 mod 𝑇 ) )
114	113	breq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π ↔ ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π ) )
115	114	ifbid	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
116	115	cbvmptv	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
117	2 116	eqtri	⊢ 𝐹 = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
118	117	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
119		oveq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) )
120		pire	⊢ π ∈ ℝ
121	32 120	remulcli	⊢ ( 2 · π ) ∈ ℝ
122	1 121	eqeltri	⊢ 𝑇 ∈ ℝ
123	122	recni	⊢ 𝑇 ∈ ℂ
124	123	mulid2i	⊢ ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇
125	124	eqcomi	⊢ 𝑇 = ( 1 · 𝑇 )
126	125	oveq2i	⊢ ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) )
127	126	oveq1i	⊢ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 )
128	119 127	eqtrdi	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
129	128	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
130		simpl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
131		2pos	⊢ 0 < 2
132	32 120 131 72	mulgt0ii	⊢ 0 < ( 2 · π )
133	1	eqcomi	⊢ ( 2 · π ) = 𝑇
134	132 133	breqtri	⊢ 0 < 𝑇
135	122 134	elrpii	⊢ 𝑇 ∈ ℝ+
136	135	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
137		1zzd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → 1 ∈ ℤ )
138		modcyc	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
139	130 136 137 138	syl3anc	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
140	129 139	eqtrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( 𝑦 mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
141	140	breq1d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π ↔ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π ) )
142	141	ifbid	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑇 ) ) → if ( ( 𝑦 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
143		id	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ )
144	122	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ )
145	143 144	readdcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
146	118 142 145 111	fvmptd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
147	2	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
148	110 147	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
149	146 148	eqtr4d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
150		eqid	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
151		snfi	⊢ { 0 } ∈ Fin
152		eldifi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
153		0xr	⊢ 0 ∈ ℝ*
154	153	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 0 ∈ ℝ* )
155	120	rexri	⊢ π ∈ ℝ*
156	155	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → π ∈ ℝ* )
157		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
158	157	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
159		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 0 < 𝑥 )
160	120	renegcli	⊢ - π ∈ ℝ
161	160	rexri	⊢ - π ∈ ℝ*
162		iooltub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 < π )
163	161 155 162	mp3an12	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) → 𝑥 < π )
164	163	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 < π )
165	154 156 158 159 164	eliood	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) )
166		negpilt0	⊢ - π < 0
167	160 71 166	ltleii	⊢ - π ≤ 0
168		iooss1	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) )
169	161 167 168	mp2an	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π )
170	169	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
171	2	reseq1i	⊢ ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( 0 (,) π ) )
172		ioossre	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ℝ
173		resmpt	⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
174	172 173	ax-mp	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
175		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
176	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
177		0red	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ )
178		ioogtlb	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑥 )
179	153 155 178	mp3an12	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑥 )
180	177 175 179	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ≤ 𝑥 )
181	120	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ )
182	122	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑇 ∈ ℝ )
183	170 163	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 < π )
184		pirp	⊢ π ∈ ℝ+
185		2timesgt	⊢ ( π ∈ ℝ+ → π < ( 2 · π ) )
186	184 185	ax-mp	⊢ π < ( 2 · π )
187	186 133	breqtri	⊢ π < 𝑇
188	187	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → π < 𝑇 )
189	175 181 182 183 188	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 < 𝑇 )
190		modid	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = 𝑥 )
191	175 176 180 189 190	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = 𝑥 )
192	191 183	eqbrtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
193	192	iftrued	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
194	193	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 )
195	171 174 194	3eqtrri	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) )
196	195	oveq2i	⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) )
197		reelprrecn	⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ }
198	197	a1i	⊢ ( ⊤ → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } )
199		iooretop	⊢ ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
200		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
201	200	tgioo2	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
202	199 201	eleqtri	⊢ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
203	202	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) )
204		1cnd	⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℂ )
205	198 203 204	dvmptconst	⊢ ( ⊤ → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) )
206	205	mptru	⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
207		ssid	⊢ ℝ ⊆ ℝ
208		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
209		fss	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
210	112 208 209	mp2an	⊢ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ
211		dvresioo	⊢ ( ( ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) )
212	207 210 211	mp2an	⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
213	196 206 212	3eqtr3i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
214	213	dmeqi	⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
215		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
216	93 215	dmmpti	⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( 0 (,) π )
217	214 216	eqtr3i	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 0 (,) π )
218		ssdmres	⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 0 (,) π ) )
219	217 218	mpbir	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
220	219	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
221	170 220	elind	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) )
222		dmres	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) = ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
223	221 222	eleqtrrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
224	165 223	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
225	224	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
226	161	a1i	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → - π ∈ ℝ* )
227	153	a1i	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 0 ∈ ℝ* )
228	157	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
229		ioogtlb	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ) → - π < 𝑥 )
230	161 155 229	mp3an12	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) → - π < 𝑥 )
231	230	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → - π < 𝑥 )
232		0red	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 0 ∈ ℝ )
233		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0 )
234	233	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ≠ 0 )
235		simpr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → ¬ 0 < 𝑥 )
236	228 232 234 235	lttri5d	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 < 0 )
237	226 227 228 231 236	eliood	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) )
238	71 120 72	ltleii	⊢ 0 ≤ π
239		iooss2	⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) )
240	155 238 239	mp2an	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π )
241	240	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
242	2	reseq1i	⊢ ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
243		ioossre	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ℝ
244		resmpt	⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
245	243 244	ax-mp	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
246	120	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ∈ ℝ )
247		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
248	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
249	247 248	modcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
250	247 145	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
251	56	2timesi	⊢ ( 2 · π ) = ( π + π )
252	1 251	eqtri	⊢ 𝑇 = ( π + π )
253	252	oveq2i	⊢ ( - π + 𝑇 ) = ( - π + ( π + π ) )
254		negpicn	⊢ - π ∈ ℂ
255	254 56 56	addassi	⊢ ( ( - π + π ) + π ) = ( - π + ( π + π ) )
256	255	eqcomi	⊢ ( - π + ( π + π ) ) = ( ( - π + π ) + π )
257	56	negidi	⊢ ( π + - π ) = 0
258	56 254 257	addcomli	⊢ ( - π + π ) = 0
259	258	oveq1i	⊢ ( ( - π + π ) + π ) = ( 0 + π )
260	56	addid2i	⊢ ( 0 + π ) = π
261	259 260	eqtri	⊢ ( ( - π + π ) + π ) = π
262	253 256 261	3eqtrri	⊢ π = ( - π + 𝑇 )
263	262	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π = ( - π + 𝑇 ) )
264	160	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ )
265	122	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
266	241 230	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π < 𝑥 )
267	264 247 265 266	ltadd1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π + 𝑇 ) < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
268	263 267	eqbrtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
269	246 250 268	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) )
270		0red	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ )
271	160 122	readdcli	⊢ ( - π + 𝑇 ) ∈ ℝ
272	271	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π + 𝑇 ) ∈ ℝ )
273	72	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < π )
274	273 262	breqtrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < ( - π + 𝑇 ) )
275	270 272 250 274 267	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
276	270 250 275	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) )
277	247	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
278	123	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
279	277 278	addcomd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑇 + 𝑥 ) )
280		iooltub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑥 < 0 )
281	161 153 280	mp3an12	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 < 0 )
282		ltaddneg	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 < 0 ↔ ( 𝑇 + 𝑥 ) < 𝑇 ) )
283	247 122 282	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 < 0 ↔ ( 𝑇 + 𝑥 ) < 𝑇 ) )
284	281 283	mpbid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑇 + 𝑥 ) < 𝑇 )
285	279 284	eqbrtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 )
286	276 285	jca	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 ) )
287		modid2	⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 ) ) )
288	250 135 287	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 + 𝑇 ) < 𝑇 ) ) )
289	286 288	mpbird	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
290	127	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
291	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+ )
292		1zzd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ )
293	143 291 292 138	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
294	290 293	eqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
295	247 294	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
296	289 295	eqtr3d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
297	269 296	breqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
298	246 249 297	lensymd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
299	298	iffalsed	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
300	299	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 )
301	242 245 300	3eqtrri	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) )
302	301	oveq2i	⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
303		iooretop	⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
304	303 201	eleqtri	⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
305	304	a1i	⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) )
306	204	negcld	⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ℂ )
307	198 305 306	dvmptconst	⊢ ( ⊤ → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) )
308	307	mptru	⊢ ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
309		dvresioo	⊢ ( ( ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
310	207 210 309	mp2an	⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
311	302 308 310	3eqtr3i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
312	311	dmeqi	⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
313		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
314	93 313	dmmpti	⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( - π (,) 0 )
315	312 314	eqtr3i	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
316		ssdmres	⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) ↔ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 ) )
317	315 316	mpbir	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
318	317	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
319	241 318	elind	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) )
320	319 222	eleqtrrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
321	237 320	syl	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
322	225 321	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
323	152 322	sylan	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
324		eldifn	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
325	324	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
326	323 325	condan	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 = 0 )
327		velsn	⊢ ( 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
328	326 327	sylibr	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ { 0 } )
329	328	ssriv	⊢ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ⊆ { 0 }
330		ssfi	⊢ ( ( { 0 } ∈ Fin ∧ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ⊆ { 0 } ) → ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∈ Fin )
331	151 329 330	mp2an	⊢ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∈ Fin
332		inss1	⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) ⊆ ( - π (,) π )
333	222 332	eqsstri	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ( - π (,) π )
334		ioosscn	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℂ
335	333 334	sstri	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℂ
336	335	a1i	⊢ ( ⊤ → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℂ )
337		dvf	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ
338		fresin	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ )
339		ffdm	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) ) )
340	337 338 339	mp2b	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ( dom ( ℝ D 𝐹 ) ∩ ( - π (,) π ) ) )
341	340	simpli	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ
342	341	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) : dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⟶ ℂ )
343	161	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → - π ∈ ℝ* )
344	153	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 0 ∈ ℝ* )
345		ioossre	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ℝ
346	333	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
347	345 346	sseldi	⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
348	347	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
349	346 230	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → - π < 𝑥 )
350	349	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → - π < 𝑥 )
351		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 < 0 )
352	343 344 348 350 351	eliood	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) )
353		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
354	352 353	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
355		simpl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
356		0red	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 0 ∈ ℝ )
357	347	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
358		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → ¬ 𝑥 < 0 )
359	356 357 358	nltled	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 0 ≤ 𝑥 )
360		id	⊢ ( 𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 )
361	207	a1i	⊢ ( ⊤ → ℝ ⊆ ℝ )
362		eqid	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
363	210	a1i	⊢ ( ⊤ → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
364		0red	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ℝ )
365		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
366	365	a1i	⊢ ( ⊤ → -∞ ∈ ℝ* )
367	364	mnfltd	⊢ ( ⊤ → -∞ < 0 )
368	362 366 364 367	lptioo2	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( -∞ (,) 0 ) ) )
369		incom	⊢ ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ( -∞ (,) 0 ) ∩ ℝ )
370		ioossre	⊢ ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℝ
371		df-ss	⊢ ( ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℝ ↔ ( ( -∞ (,) 0 ) ∩ ℝ ) = ( -∞ (,) 0 ) )
372	370 371	mpbi	⊢ ( ( -∞ (,) 0 ) ∩ ℝ ) = ( -∞ (,) 0 )
373	369 372	eqtr2i	⊢ ( -∞ (,) 0 ) = ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) )
374	373	fveq2i	⊢ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) )
375	368 374	eleqtrdi	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) ) )
376		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
377	376	a1i	⊢ ( ⊤ → +∞ ∈ ℝ* )
378	364	ltpnfd	⊢ ( ⊤ → 0 < +∞ )
379	362 364 377 378	lptioo1	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 0 (,) +∞ ) ) )
380		incom	⊢ ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ( 0 (,) +∞ ) ∩ ℝ )
381		ioossre	⊢ ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
382		df-ss	⊢ ( ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℝ ↔ ( ( 0 (,) +∞ ) ∩ ℝ ) = ( 0 (,) +∞ ) )
383	381 382	mpbi	⊢ ( ( 0 (,) +∞ ) ∩ ℝ ) = ( 0 (,) +∞ )
384	380 383	eqtr2i	⊢ ( 0 (,) +∞ ) = ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) )
385	384	fveq2i	⊢ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) )
386	379 385	eleqtrdi	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( limPt ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ℝ ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
387		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 )
388		mnfle	⊢ ( - π ∈ ℝ* → -∞ ≤ - π )
389	161 388	ax-mp	⊢ -∞ ≤ - π
390		iooss1	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ - π ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 ) )
391	365 389 390	mp2an	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 )
392	391	a1i	⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 ) )
393		ioosscn	⊢ ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℂ
394	392 393	sstrdi	⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ⊆ ℂ )
395		0cnd	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ℂ )
396	387 394 306 395	constlimc	⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) limℂ 0 ) )
397		resabs1	⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ ( -∞ (,) 0 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
398	391 397	ax-mp	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( - π (,) 0 ) )
399	301 398	eqtr4i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
400	399	oveq1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) limℂ 0 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ 0 )
401		fssres	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ∧ ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℝ ) → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) : ( -∞ (,) 0 ) ⟶ ℂ )
402	210 370 401	mp2an	⊢ ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) : ( -∞ (,) 0 ) ⟶ ℂ
403	402	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) : ( -∞ (,) 0 ) ⟶ ℂ )
404	393	a1i	⊢ ( ⊤ → ( -∞ (,) 0 ) ⊆ ℂ )
405		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
406		0le0	⊢ 0 ≤ 0
407		elioc2	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( 0 ∈ ( - π (,] 0 ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 ≤ 0 ) ) )
408	161 71 407	mp2an	⊢ ( 0 ∈ ( - π (,] 0 ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ - π < 0 ∧ 0 ≤ 0 ) )
409	71 166 406 408	mpbir3an	⊢ 0 ∈ ( - π (,] 0 )
410	200	cnfldtop	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
411		ovex	⊢ ( -∞ (,] 0 ) ∈ V
412		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( -∞ (,] 0 ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ∈ Top )
413	410 411 412	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ∈ Top
414	161	a1i	⊢ ( ⊤ → - π ∈ ℝ* )
415		eqid	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
416	389	a1i	⊢ ( ⊤ → -∞ ≤ - π )
417	366 414 364 362 415 416 364	iocopn	⊢ ( ⊤ → ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) )
418	417	mptru	⊢ ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
419	201	oveq1i	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
420		iocssre	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( -∞ (,] 0 ) ⊆ ℝ )
421	365 71 420	mp2an	⊢ ( -∞ (,] 0 ) ⊆ ℝ
422	197	elexi	⊢ ℝ ∈ V
423		restabs	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( -∞ (,] 0 ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V ) → ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) )
424	410 421 422 423	mp3an	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
425	419 424	eqtri	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
426	418 425	eleqtri	⊢ ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) )
427		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ∈ Top ∧ ( - π (,] 0 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) ‘ ( - π (,] 0 ) ) = ( - π (,] 0 ) )
428	413 426 427	mp2an	⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) ‘ ( - π (,] 0 ) ) = ( - π (,] 0 )
429		mnflt0	⊢ -∞ < 0
430		ioounsn	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ) → ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( -∞ (,] 0 ) )
431	365 153 429 430	mp3an	⊢ ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( -∞ (,] 0 )
432	431	eqcomi	⊢ ( -∞ (,] 0 ) = ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } )
433	432	oveq2i	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
434	433	fveq2i	⊢ ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) = ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) )
435		ioounsn	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π < 0 ) → ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( - π (,] 0 ) )
436	161 153 166 435	mp3an	⊢ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) = ( - π (,] 0 )
437	436	eqcomi	⊢ ( - π (,] 0 ) = ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } )
438	434 437	fveq12i	⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( -∞ (,] 0 ) ) ) ‘ ( - π (,] 0 ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
439	428 438	eqtr3i	⊢ ( - π (,] 0 ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
440	409 439	eleqtri	⊢ 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) )
441	440	a1i	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( -∞ (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( - π (,) 0 ) ∪ { 0 } ) ) )
442	403 392 404 200 405 441	limcres	⊢ ( ⊤ → ( ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) )
443	442	mptru	⊢ ( ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
444	400 443	eqtri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ - 1 ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
445	396 444	eleqtrdi	⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) )
446		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 )
447		ioosscn	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ℂ
448	447	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ⊆ ℂ )
449	446 448 204 395	constlimc	⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) limℂ 0 ) )
450		ltpnf	⊢ ( π ∈ ℝ → π < +∞ )
451		xrltle	⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( π < +∞ → π ≤ +∞ ) )
452	155 376 451	mp2an	⊢ ( π < +∞ → π ≤ +∞ )
453	120 450 452	mp2b	⊢ π ≤ +∞
454		iooss2	⊢ ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ ) )
455	376 453 454	mp2an	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ )
456		resabs1	⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) ) )
457	455 456	ax-mp	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) π ) )
458	195 457	eqtr4i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) )
459	458	oveq1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) limℂ 0 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ 0 )
460		fssres	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ∧ ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℝ ) → ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) : ( 0 (,) +∞ ) ⟶ ℂ )
461	210 381 460	mp2an	⊢ ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) : ( 0 (,) +∞ ) ⟶ ℂ
462	461	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) : ( 0 (,) +∞ ) ⟶ ℂ )
463	455	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) +∞ ) )
464		ioosscn	⊢ ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
465	464	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) +∞ ) ⊆ ℂ )
466		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) )
467		elico2	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ* ) → ( 0 ∈ ( 0 [,) π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π ) ) )
468	71 155 467	mp2an	⊢ ( 0 ∈ ( 0 [,) π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π ) )
469	71 406 72 468	mpbir3an	⊢ 0 ∈ ( 0 [,) π )
470		ovex	⊢ ( 0 [,) +∞ ) ∈ V
471		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( 0 [,) +∞ ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ Top )
472	410 470 471	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ Top
473	155	a1i	⊢ ( ⊤ → π ∈ ℝ* )
474		eqid	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
475	453	a1i	⊢ ( ⊤ → π ≤ +∞ )
476	364 473 377 362 474 475	icoopn	⊢ ( ⊤ → ( 0 [,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) )
477	476	mptru	⊢ ( 0 [,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
478	201	oveq1i	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
479		rge0ssre	⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ
480		restabs	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V ) → ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) )
481	410 479 422 480	mp3an	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
482	478 481	eqtri	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
483	477 482	eleqtri	⊢ ( 0 [,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) )
484		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ Top ∧ ( 0 [,) π ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) ‘ ( 0 [,) π ) ) = ( 0 [,) π ) )
485	472 483 484	mp2an	⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) ‘ ( 0 [,) π ) ) = ( 0 [,) π )
486		0ltpnf	⊢ 0 < +∞
487		snunioo1	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞ ) → ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) +∞ ) )
488	153 376 486 487	mp3an	⊢ ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) +∞ )
489	488	eqcomi	⊢ ( 0 [,) +∞ ) = ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } )
490	489	oveq2i	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) )
491	490	fveq2i	⊢ ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) = ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) )
492		snunioo1	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π ) → ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) π ) )
493	153 155 72 492	mp3an	⊢ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) = ( 0 [,) π )
494	493	eqcomi	⊢ ( 0 [,) π ) = ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } )
495	491 494	fveq12i	⊢ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) ) ‘ ( 0 [,) π ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) )
496	485 495	eqtr3i	⊢ ( 0 [,) π ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) )
497	469 496	eleqtri	⊢ 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) )
498	497	a1i	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 0 (,) +∞ ) ∪ { 0 } ) ) ) ‘ ( ( 0 (,) π ) ∪ { 0 } ) ) )
499	462 463 465 200 466 498	limcres	⊢ ( ⊤ → ( ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) )
500	499	mptru	⊢ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
501	459 500	eqtri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 1 ) limℂ 0 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
502	449 501	eleqtrdi	⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) )
503		neg1lt0	⊢ - 1 < 0
504	109 71 108	lttri	⊢ ( ( - 1 < 0 ∧ 0 < 1 ) → - 1 < 1 )
505	503 38 504	mp2an	⊢ - 1 < 1
506	109 505	ltneii	⊢ - 1 ≠ 1
507	506	a1i	⊢ ( ⊤ → - 1 ≠ 1 )
508	200 361 362 363 364 375 386 445 502 507	jumpncnp	⊢ ( ⊤ → ¬ 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) )
509	508	mptru	⊢ ¬ 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 )
510	208	a1i	⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
511	210	a1i	⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
512	207	a1i	⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → ℝ ⊆ ℝ )
513		inss2	⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
514	222 513	eqsstri	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 )
515	514	sseli	⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 0 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
516	201 200	dvcnp2	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ ) ∧ 0 ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) → 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) )
517	510 511 512 515 516	syl31anc	⊢ ( 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝐹 ∈ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) )
518	509 517	mto	⊢ ¬ 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
519	518	a1i	⊢ ( 𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
520	360 519	eqneltrd	⊢ ( 𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
521	520	necon2ai	⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ≠ 0 )
522	521	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
523	356 357 359 522	leneltd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 0 < 𝑥 )
524	346 165	sylan	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) )
525		elun2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
526	524 525	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ 0 < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
527	355 523 526	syl2anc	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ¬ 𝑥 < 0 ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
528	354 527	pm2.61dan	⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) ) )
529		ovex	⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ V
530		ovex	⊢ ( 0 (,) π ) ∈ V
531	529 530	unipr	⊢ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } = ( ( - π (,) 0 ) ∪ ( 0 (,) π ) )
532	528 531	eleqtrrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) → 𝑥 ∈ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } )
533	532	ssriv	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) }
534	533	a1i	⊢ ( ⊤ → dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ∪ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } )
535		ineq2	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) )
536		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
537		ovex	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) ∈ V
538	537	resex	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V
539	538	dmex	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V
540	536 539	pm3.2i	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V )
541	320	ssriv	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
542		ssid	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 )
543	303 541 542	3pm3.2i	⊢ ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) )
544		restopnb	⊢ ( ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V ) ∧ ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) ) ) → ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ) )
545	540 543 544	mp2an	⊢ ( ( - π (,) 0 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
546	303 545	mpbi	⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
547		inss2	⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) ⊆ ( - π (,) 0 )
548	541 542	ssini	⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) )
549	547 548	eqssi	⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
550	201	oveq1i	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
551	333 345	sstri	⊢ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℝ
552		restabs	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V ) → ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
553	410 551 422 552	mp3an	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
554	550 553	eqtr2i	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
555	546 549 554	3eltr4i	⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( - π (,) 0 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
556	535 555	eqeltrdi	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
557	556	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
558		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → 𝑥 ≠ ( - π (,) 0 ) )
559		elprn1	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ 𝑥 ≠ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑥 = ( 0 (,) π ) )
560	558 559	sylan2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → 𝑥 = ( 0 (,) π ) )
561		ineq2	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) )
562	223	ssriv	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
563		ssid	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π )
564	199 562 563	3pm3.2i	⊢ ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
565		restopnb	⊢ ( ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ V ) ∧ ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∧ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) ) ) → ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ) )
566	540 564 565	mp2an	⊢ ( ( 0 (,) π ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
567	199 566	mpbi	⊢ ( 0 (,) π ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
568		inss2	⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) ⊆ ( 0 (,) π )
569	562 563	ssini	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) )
570	568 569	eqssi	⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) = ( 0 (,) π )
571	567 570 554	3eltr4i	⊢ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ ( 0 (,) π ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
572	561 571	eqeltrdi	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
573	560 572	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
574	557 573	pm2.61dan	⊢ ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
575	574	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
576		ssid	⊢ ℂ ⊆ ℂ
577	576	a1i	⊢ ( ⊤ → ℂ ⊆ ℂ )
578	394 395 577	constcncfg	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) ∈ ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ ) )
579	578	mptru	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) ∈ ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ )
580	579	a1i	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) ∈ ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ ) )
581		reseq2	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
582		resabs1	⊢ ( ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) )
583	240 582	ax-mp	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
584	583 311	eqtr4i	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
585	581 584	eqtrdi	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) )
586	535 549	eqtrdi	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( - π (,) 0 ) )
587	586	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) = ( ( - π (,) 0 ) –cn→ ℂ ) )
588	580 585 587	3eltr4d	⊢ ( 𝑥 = ( - π (,) 0 ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
589	588	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
590	448 395 577	constcncfg	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) ∈ ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ ) )
591	590	mptru	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) ∈ ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ )
592	591	a1i	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) ∈ ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ ) )
593		reseq2	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) )
594		resabs1	⊢ ( ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) )
595	169 594	ax-mp	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
596	595 213	eqtr4i	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
597	593 596	eqtrdi	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) )
598	561 570	eqtrdi	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) = ( 0 (,) π ) )
599	598	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) = ( ( 0 (,) π ) –cn→ ℂ ) )
600	592 597 599	3eltr4d	⊢ ( 𝑥 = ( 0 (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
601	560 600	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ∧ ¬ 𝑥 = ( - π (,) 0 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
602	589 601	pm2.61dan	⊢ ( 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
603	602	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ { ( - π (,) 0 ) , ( 0 (,) π ) } ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ 𝑥 ) ∈ ( ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∩ 𝑥 ) –cn→ ℂ ) )
604	336 342 534 575 603	cncfuni	⊢ ( ⊤ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) –cn→ ℂ ) )
605	604	mptru	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ∈ ( dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) –cn→ ℂ )
606		oveq1	⊢ ( 𝑥 = - π → ( 𝑥 (,) +∞ ) = ( - π (,) +∞ ) )
607	606	reseq2d	⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) +∞ ) ) )
608		iooss2	⊢ ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞ ) → ( - π (,) π ) ⊆ ( - π (,) +∞ ) )
609	376 453 608	mp2an	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π (,) +∞ )
610		resabs2	⊢ ( ( - π (,) π ) ⊆ ( - π (,) +∞ ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
611	609 610	ax-mp	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( - π (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
612	607 611	eqtrdi	⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
613		id	⊢ ( 𝑥 = - π → 𝑥 = - π )
614	612 613	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) )
615	254	a1i	⊢ ( ⊤ → - π ∈ ℂ )
616	313 394 395 615	constlimc	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π ) )
617	616	mptru	⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π )
618	311	oveq1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ - π )
619	337	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ )
620	160	a1i	⊢ ( ⊤ → - π ∈ ℝ )
621	153	a1i	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ℝ* )
622	166	a1i	⊢ ( ⊤ → - π < 0 )
623	317	a1i	⊢ ( ⊤ → ( - π (,) 0 ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
624	238	a1i	⊢ ( ⊤ → 0 ≤ π )
625	619 620 621 622 623 473 624	limcresioolb	⊢ ( ⊤ → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) )
626	625	mptru	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π )
627	618 626	eqtri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ - π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π )
628	617 627	eleqtri	⊢ 0 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π )
629	628	ne0ii	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) ≠ ∅
630	629	a1i	⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ - π ) ≠ ∅ )
631	614 630	eqnetrd	⊢ ( 𝑥 = - π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
632	631	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ 𝑥 = - π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
633		eldifi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) )
634	161	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π ∈ ℝ* )
635	155	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → π ∈ ℝ* )
636		icossre	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ* ) → ( - π [,) π ) ⊆ ℝ )
637	160 155 636	mp2an	⊢ ( - π [,) π ) ⊆ ℝ
638	637	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
639	638	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
640	160	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π ∈ ℝ )
641		icogelb	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ) → - π ≤ 𝑥 )
642	161 155 641	mp3an12	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) → - π ≤ 𝑥 )
643	642	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π ≤ 𝑥 )
644		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = - π → 𝑥 ≠ - π )
645	644	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ≠ - π )
646	640 639 643 645	leneltd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → - π < 𝑥 )
647		icoltub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ) → 𝑥 < π )
648	161 155 647	mp3an12	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) → 𝑥 < π )
649	648	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 < π )
650	634 635 639 646 649	eliood	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π [,) π ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
651	633 650	sylan	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
652		eldifn	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
653	652	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
654	651 653	eldifd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
655		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 (,) +∞ ) = ( 0 (,) +∞ ) )
656	655	reseq2d	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) )
657	656 360	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) )
658	215 448 395 395	constlimc	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) )
659	658	mptru	⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ 0 )
660		resres	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) )
661		iooin	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) ) → ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) (,) if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) ) )
662	161 155 153 376 661	mp4an	⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) (,) if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) )
663	167	iftruei	⊢ if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) = 0
664	453	iftruei	⊢ if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) = π
665	663 664	oveq12i	⊢ ( if ( - π ≤ 0 , 0 , - π ) (,) if ( π ≤ +∞ , π , +∞ ) ) = ( 0 (,) π )
666	662 665	eqtri	⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( 0 (,) π )
667	666	reseq2i	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( 0 (,) +∞ ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) )
668	213	eqcomi	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 )
669	660 667 668	3eqtrri	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) )
670	669	oveq1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
671	659 670	eleqtri	⊢ 0 ∈ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 )
672	671	ne0ii	⊢ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅
673	672	a1i	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 0 (,) +∞ ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅ )
674	657 673	eqnetrd	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
675	654 326 674	3syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = - π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
676	632 675	pm2.61dan	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π [,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( 𝑥 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
677		oveq2	⊢ ( 𝑥 = π → ( -∞ (,) 𝑥 ) = ( -∞ (,) π ) )
678	677	reseq2d	⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) )
679		id	⊢ ( 𝑥 = π → 𝑥 = π )
680	678 679	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) limℂ π ) )
681		iooss1	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ - π ) → ( - π (,) π ) ⊆ ( -∞ (,) π ) )
682	365 389 681	mp2an	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( -∞ (,) π )
683		resabs2	⊢ ( ( - π (,) π ) ⊆ ( -∞ (,) π ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
684	682 683	ax-mp	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) )
685	684	oveq1i	⊢ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) π ) ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
686	680 685	eqtrdi	⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) )
687	215 448 395 57	constlimc	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π ) )
688	687	mptru	⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π )
689	213	oveq1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ π )
690	120	a1i	⊢ ( ⊤ → π ∈ ℝ )
691	72	a1i	⊢ ( ⊤ → 0 < π )
692	219	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 0 (,) π ) ⊆ dom ( ℝ D 𝐹 ) )
693	167	a1i	⊢ ( ⊤ → - π ≤ 0 )
694	619 621 690 691 692 414 693	limcresiooub	⊢ ( ⊤ → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) )
695	694	mptru	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 0 (,) π ) ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
696	689 695	eqtri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ 0 ) limℂ π ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
697	688 696	eleqtri	⊢ 0 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π )
698	697	ne0ii	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) ≠ ∅
699	698	a1i	⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) limℂ π ) ≠ ∅ )
700	686 699	eqnetrd	⊢ ( 𝑥 = π → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
701	700	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ 𝑥 = π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
702	161	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → - π ∈ ℝ* )
703	155	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → π ∈ ℝ* )
704		negpitopissre	⊢ ( - π (,] π ) ⊆ ℝ
705		eldifi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ( - π (,] π ) )
706	704 705	sseldi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
707	706	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ∈ ℝ )
708	161	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → - π ∈ ℝ* )
709	155	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → π ∈ ℝ* )
710		iocgtlb	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,] π ) ) → - π < 𝑥 )
711	708 709 705 710	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → - π < 𝑥 )
712	711	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → - π < 𝑥 )
713	120	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → π ∈ ℝ )
714		iocleub	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( - π (,] π ) ) → 𝑥 ≤ π )
715	708 709 705 714	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → 𝑥 ≤ π )
716	715	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ≤ π )
717		id	⊢ ( π = 𝑥 → π = 𝑥 )
718	717	eqcomd	⊢ ( π = 𝑥 → 𝑥 = π )
719	718	necon3bi	⊢ ( ¬ 𝑥 = π → π ≠ 𝑥 )
720	719	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → π ≠ 𝑥 )
721	707 713 716 720	leneltd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 < π )
722	702 703 707 712 721	eliood	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ∈ ( - π (,) π ) )
723		eldifn	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
724	723	adantr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → ¬ 𝑥 ∈ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) )
725	722 724	eldifd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → 𝑥 ∈ ( ( - π (,) π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) )
726		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( -∞ (,) 𝑥 ) = ( -∞ (,) 0 ) )
727	726	reseq2d	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) )
728	727 360	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) )
729	313 394 395 395	constlimc	⊢ ( ⊤ → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) )
730	729	mptru	⊢ 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ 0 )
731		resres	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) )
732		iooin	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ) → ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) (,) if ( π ≤ 0 , π , 0 ) ) )
733	161 155 365 153 732	mp4an	⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) (,) if ( π ≤ 0 , π , 0 ) )
734		mnflt	⊢ ( - π ∈ ℝ → -∞ < - π )
735	160 734	ax-mp	⊢ -∞ < - π
736		xrltnle	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ - π ∈ ℝ* ) → ( -∞ < - π ↔ ¬ - π ≤ -∞ ) )
737	365 161 736	mp2an	⊢ ( -∞ < - π ↔ ¬ - π ≤ -∞ )
738	735 737	mpbi	⊢ ¬ - π ≤ -∞
739	738	iffalsei	⊢ if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) = - π
740		xrltnle	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) → ( 0 < π ↔ ¬ π ≤ 0 ) )
741	153 155 740	mp2an	⊢ ( 0 < π ↔ ¬ π ≤ 0 )
742	72 741	mpbi	⊢ ¬ π ≤ 0
743	742	iffalsei	⊢ if ( π ≤ 0 , π , 0 ) = 0
744	739 743	oveq12i	⊢ ( if ( - π ≤ -∞ , -∞ , - π ) (,) if ( π ≤ 0 , π , 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
745	733 744	eqtri	⊢ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( - π (,) 0 )
746	745	reseq2i	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( - π (,) π ) ∩ ( -∞ (,) 0 ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) )
747	311	eqcomi	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 )
748	731 746 747	3eqtrri	⊢ ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) )
749	748	oveq1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ 0 ) limℂ 0 ) = ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
750	730 749	eleqtri	⊢ 0 ∈ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 )
751	750	ne0ii	⊢ ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅
752	751	a1i	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 0 ) ) limℂ 0 ) ≠ ∅ )
753	728 752	eqnetrd	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
754	725 326 753	3syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = π ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
755	701 754	pm2.61dan	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( - π (,] π ) ∖ dom ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ) → ( ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( - π (,) π ) ) ↾ ( -∞ (,) 𝑥 ) ) limℂ 𝑥 ) ≠ ∅ )
756		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 )
757		ioosscn	⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
758	757	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
759		1cnd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 1 ∈ ℂ )
760	27	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑋 ∈ ℂ )
761	756 758 759 760	constlimc	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
762		ioossioc	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 (,] π )
763	762	sseli	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
764	763	iftrued	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = 1 )
765	210	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
766		modcl	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
767	3 135 766	mp2an	⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ
768	3 767	resubcli	⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
769	768	rexri	⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ*
770	769	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
771	3	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑋 ∈ ℝ )
772		elioore	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
773		ioogtlb	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
774	153 155 773	mp3an12	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
775	772 774	elrpd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ+ )
776	771 775	ltsubrpd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 )
777		ioossre	⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
778	777	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
779	365	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → -∞ ∈ ℝ* )
780		mnflt	⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ → -∞ < ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
781		xrltle	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( -∞ < ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
782	365 769 781	mp2an	⊢ ( -∞ < ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
783	768 780 782	mp2b	⊢ -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
784	783	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
785	765 770 771 776 778 779 784	limcresiooub	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
786		iooltub	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
787	153 155 786	mp3an12	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
788	210	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
789	777	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
790	788 789	feqresmpt	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
791		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
792	791 110 147	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
793	792	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
794	791	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
795	135	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
796	794 795	modcld	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
797	767	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
798	120	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π ∈ ℝ )
799	3	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
800	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
801		ioossico	⊢ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) [,) 𝑋 )
802	801	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) [,) 𝑋 ) )
803	799 800 802	ltmod	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
804	803	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
805		simpl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
806	796 797 798 804 805	lttrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
807	806	iftrued	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
808	793 807	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 1 )
809	808	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
810	790 809	eqtrd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
811	787 810	syl	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
812	811	oveq1d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
813	785 812	eqtr3d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
814	761 764 813	3eltr4d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
815		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 )
816		ioossre	⊢ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
817	816	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
818	817 208	sstrdi	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
819	27	a1i	⊢ ( ⊤ → 𝑋 ∈ ℂ )
820	815 818 306 819	constlimc	⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
821	820	mptru	⊢ - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 )
822	821	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
823		id	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 )
824		lbioc	⊢ ¬ 0 ∈ ( 0 (,] π )
825	824	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ¬ 0 ∈ ( 0 (,] π ) )
826	823 825	eqneltrd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
827	826	iffalsed	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = - 1 )
828	210	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
829	816	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
830	828 829	feqresmpt	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
831	829	sselda	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
832	831 110 147	sylancl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
833	120	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π ∈ ℝ )
834	135	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
835	831 834	modcld	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
836	3 120	resubcli	⊢ ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ
837	836	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ )
838	122	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
839	837 838	readdcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
840		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
841	840 838	readdcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
842	3	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
843	836	rexri	⊢ ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ*
844	843	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* )
845	842	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
846		id	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) )
847		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 − π ) < 𝑥 )
848	844 845 846 847	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − π ) < 𝑥 )
849	837 840 838 848	ltadd1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) < ( 𝑥 + 𝑇 ) )
850	839 841 842 849	ltsub1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
851	850	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
852	252	oveq2i	⊢ ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) = ( ( 𝑋 − π ) + ( π + π ) )
853	56 56	addcli	⊢ ( π + π ) ∈ ℂ
854		subadd23	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ ( π + π ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 − π ) + ( π + π ) ) = ( 𝑋 + ( ( π + π ) − π ) ) )
855	27 56 853 854	mp3an	⊢ ( ( 𝑋 − π ) + ( π + π ) ) = ( 𝑋 + ( ( π + π ) − π ) )
856	56 56	pncan3oi	⊢ ( ( π + π ) − π ) = π
857	856	oveq2i	⊢ ( 𝑋 + ( ( π + π ) − π ) ) = ( 𝑋 + π )
858	852 855 857	3eqtri	⊢ ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) = ( 𝑋 + π )
859	858	oveq1i	⊢ ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 )
860		pncan2	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) = π )
861	27 56 860	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) = π
862	859 861	eqtr2i	⊢ π = ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 )
863	862	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π = ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
864	841 842	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
865		modabs2	⊢ ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
866	864 135 865	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
867	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
868		0red	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
869	839 842	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
870	72 862	breqtri	⊢ 0 < ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 )
871	870	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( ( ( 𝑋 − π ) + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
872	868 869 864 871 850	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
873	868 864 872	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 0 ≤ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
874	842 838	readdcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 + 𝑇 ) ∈ ℝ )
875		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 < 𝑋 )
876	844 845 846 875	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 < 𝑋 )
877	840 842 838 876	ltadd1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 + 𝑇 ) < ( 𝑋 + 𝑇 ) )
878	841 874 842 877	ltsub1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) < ( ( 𝑋 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
879		pncan2	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = 𝑇 )
880	27 123 879	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = 𝑇
881	878 880	breqtrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) < 𝑇 )
882		modid	⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) < 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
883	864 867 873 881 882	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
884	866 883	eqtr2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) )
885	884	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) )
886		oveq2	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) )
887	886	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) )
888	864 867	modcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
889	888	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ∈ ℂ )
890	889	addid1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
891	890	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + 0 ) = ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
892	887 891	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
893	892	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
894		modaddabs	⊢ ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
895	864 842 867 894	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
896	895	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) mod 𝑇 ) + ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
897	885 893 896	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) )
898	145	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + 𝑇 ) ∈ ℂ )
899	27	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ )
900	898 899	npcand	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
901	124	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
902	901	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + 𝑇 ) )
903	900 902	eqtr4d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) )
904	903	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
905	840 904	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
906	905	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
907		1zzd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
908	831 834 907 138	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 1 · 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
909	897 906 908	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑥 + 𝑇 ) − 𝑋 ) )
910	851 863 909	3brtr4d	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
911	833 835 910	ltled	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
912	833 835 911	lensymd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
913	912	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
914	832 913	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = - 1 )
915	914	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) )
916	830 915	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) )
917	916	oveq1d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
918	843	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* )
919	3	a1i	⊢ ( ⊤ → 𝑋 ∈ ℝ )
920		ltsubrp	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 − π ) < 𝑋 )
921	3 184 920	mp2an	⊢ ( 𝑋 − π ) < 𝑋
922	921	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 − π ) < 𝑋 )
923		mnflt	⊢ ( ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ → -∞ < ( 𝑋 − π ) )
924		xrltle	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 − π ) ∈ ℝ* ) → ( -∞ < ( 𝑋 − π ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − π ) ) )
925	365 843 924	mp2an	⊢ ( -∞ < ( 𝑋 − π ) → -∞ ≤ ( 𝑋 − π ) )
926	836 923 925	mp2b	⊢ -∞ ≤ ( 𝑋 − π )
927	926	a1i	⊢ ( ⊤ → -∞ ≤ ( 𝑋 − π ) )
928	363 918 919 922 817 366 927	limcresiooub	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
929	928	mptru	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 )
930	917 929	eqtr2di	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
931	822 827 930	3eltr4d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
932	931	adantl	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
933	155	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → π ∈ ℝ* )
934	122	rexri	⊢ 𝑇 ∈ ℝ*
935	934	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → 𝑇 ∈ ℝ* )
936	767	rexri	⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ*
937	936	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
938	120	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → π ∈ ℝ )
939	767	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
940		pm4.56	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) ↔ ¬ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
941	940	biimpi	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ¬ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
942		olc	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
943	942	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
944	153	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → 0 ∈ ℝ* )
945	155	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → π ∈ ℝ* )
946	767	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
947		0red	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ )
948	767	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
949		modge0	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
950	3 135 949	mp2an	⊢ 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 )
951	950	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
952		id	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 )
953	947 948 951 952	leneltd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
954	953	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → 0 < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
955		simpl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
956	944 945 946 954 955	eliood	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) )
957	956	orcd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
958	943 957	pm2.61dane	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∨ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) )
959	941 958	nsyl	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
960	938 939 959	nltled	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
961		modlt	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
962	3 135 961	mp2an	⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇
963	962	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
964	933 935 937 960 963	elicod	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) )
965		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 )
966	965 818 204 819	constlimc	⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
967	966	mptru	⊢ 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 )
968	967	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
969		id	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π )
970		ubioc1	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π ) → π ∈ ( 0 (,] π ) )
971	153 155 72 970	mp3an	⊢ π ∈ ( 0 (,] π )
972	969 971	eqeltrdi	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
973	972	iftrued	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = 1 )
974	363 817	feqresmpt	⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
975	974	mptru	⊢ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
976	840 110 147	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
977	976	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
978		simpr	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) )
979	969	eqcomd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → π = ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
980	979	oveq2d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 − π ) = ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
981	980	oveq1d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
982	981	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
983	978 982	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
984	983 803	syl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
985		simpl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π )
986	984 985	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
987	986	iftrued	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
988	977 987	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 1 )
989	988	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) )
990	975 989	eqtr2id	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) )
991	990	oveq1d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
992	991 929	eqtr2di	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 − π ) (,) 𝑋 ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
993	968 973 992	3eltr4d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
994	993	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
995	155	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π ∈ ℝ* )
996	934	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → 𝑇 ∈ ℝ* )
997	767	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
998	120	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π ∈ ℝ )
999		icogelb	⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1000	155 934 999	mp3an12	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1001	1000	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1002		neqne	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ π )
1003	1002	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ≠ π )
1004	998 997 1001 1003	leneltd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1005	962	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
1006	995 996 997 1004 1005	eliood	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) )
1007		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 )
1008		ioossre	⊢ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
1009	1008	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
1010	1009 208	sstrdi	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
1011		neg1cn	⊢ - 1 ∈ ℂ
1012	1011	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → - 1 ∈ ℂ )
1013	27	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1014	1007 1010 1012 1013	constlimc	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1015	153	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 0 ∈ ℝ* )
1016	120	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → π ∈ ℝ )
1017	936	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
1018		ioogtlb	⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ) → π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1019	155 934 1018	mp3an12	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1020	1015 1016 1017 1019	gtnelioc	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) )
1021	1020	iffalsed	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) = - 1 )
1022	1008	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
1023	363 1022	feqresmpt	⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
1024	1023	mptru	⊢ ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
1025		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
1026	1025 110 147	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1027	1026	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1028	120	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π ∈ ℝ )
1029	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
1030	1025 1029	modcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1031	1030	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1032	3 120	readdcli	⊢ ( 𝑋 + π ) ∈ ℝ
1033	1032	recni	⊢ ( 𝑋 + π ) ∈ ℂ
1034	1033	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 + π ) ∈ ℂ )
1035	27	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1036	767	recni	⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ
1037	1036	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ )
1038	1034 1035 1037	nnncan2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) )
1039	1038 861	eqtr2di	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π = ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1040	1032 767	resubcli	⊢ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
1041	1040	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1042	768	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1043	1040	rexri	⊢ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ*
1044	1043	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
1045	3	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1046	1045	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
1047		id	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) )
1048		ioogtlb	⊢ ( ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑥 )
1049	1044 1046 1047 1048	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑥 )
1050	1041 1025 1042 1049	ltsub1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1051	1039 1050	eqbrtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π < ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1052	1025	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
1053		sub31	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1054	1052 1035 1037 1053	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1055	1051 1054	breqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1056	1055	adantl	⊢ ( ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1057	1045 1025	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑥 ) ∈ ℝ )
1058		0red	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
1059		iooltub	⊢ ( ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 < 𝑋 )
1060	1044 1046 1047 1059	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑥 < 𝑋 )
1061	1025 1045	posdifd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1062	1060 1061	mpbid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1063	1058 1057 1062	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1064	1045 1041	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1065	122	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1066	1041 1025 1045 1049	ltsub2dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑥 ) < ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1067		sub31	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 + π ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) ) )
1068	27 1033 1036 1067	mp3an	⊢ ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) )
1069	861	oveq2i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 + π ) − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π )
1070	1068 1069	eqtri	⊢ ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π )
1071		ltsubrp	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1072	767 184 1071	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < ( 𝑋 mod 𝑇 )
1073	767 120	resubcli	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) ∈ ℝ
1074	1073 767 122	lttri	⊢ ( ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < 𝑇 )
1075	1072 962 1074	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − π ) < 𝑇
1076	1070 1075	eqbrtri	⊢ ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇
1077	1076	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇 )
1078	1057 1064 1065 1066 1077	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑥 ) < 𝑇 )
1079		modid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑋 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) < 𝑇 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1080	1057 1029 1063 1078 1079	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑋 − 𝑥 ) )
1081	1080	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1082	1081	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) )
1083	767	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1084	1083 1057	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
1085	120	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → π ∈ ℝ )
1086	1054 1084	eqeltrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1087	72	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < π )
1088	1058 1085 1086 1087 1051	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1089	1088 1054	breqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1090	1058 1084 1089	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1091	1045 1042	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1092	1025 1045 1042 1060	ltsub1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1093		nncan	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1094	27 1036 1093	mp2an	⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = ( 𝑋 mod 𝑇 )
1095	1094 962	eqbrtri	⊢ ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇
1096	1095	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇 )
1097	1086 1091 1065 1092 1096	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑥 − ( 𝑋 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < 𝑇 )
1098	1054 1097	eqbrtrrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) < 𝑇 )
1099		modid	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) ∧ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) < 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1100	1084 1029 1090 1098 1099	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) )
1101	1082 1100	eqtr2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
1102		modsubmodmod	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) )
1103	1045 1057 1029 1102	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( ( 𝑋 − 𝑥 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) )
1104	1035 1052	nncand	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = 𝑥 )
1105	1104	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1106	1101 1103 1105	3eqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1107	1106	adantl	⊢ ( ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) − ( 𝑋 − 𝑥 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1108	1056 1107	breqtrd	⊢ ( ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1109	1019 1108	sylan	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π < ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1110	1028 1031 1109	ltled	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1111	1028 1031 1110	lensymd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1112	1111	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
1113	1027 1112	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = - 1 )
1114	1113	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) )
1115	1024 1114	eqtr2id	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) )
1116	1115	oveq1d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1117	210	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
1118	1043	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
1119	3	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1120		elioore	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1121		ltaddsublt	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ) → ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 ) )
1122	1119 1016 1120 1121	syl3anc	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( π < ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 ) )
1123	1019 1122	mpbid	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) < 𝑋 )
1124	365	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → -∞ ∈ ℝ* )
1125		mnflt	⊢ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ → -∞ < ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1126		xrltle	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( -∞ < ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1127	365 1043 1126	mp2an	⊢ ( -∞ < ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1128	1040 1125 1127	mp2b	⊢ -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1129	1128	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → -∞ ≤ ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1130	1117 1118 1119 1123 1009 1124 1129	limcresiooub	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1131	1116 1130	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 + π ) − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) (,) 𝑋 ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1132	1014 1021 1131	3eltr4d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π (,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1133	1006 1132	syl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1134	994 1133	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1135	964 1134	syl	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = 0 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1136	932 1135	pm2.61dan	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
1137	814 1136	pm2.61i	⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 )
1138		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 )
1139		ioossre	⊢ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ
1140	1139	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1141	1140 208	sstrdi	⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℂ )
1142	1138 1141 204 819	constlimc	⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1143	1142	mptru	⊢ 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 )
1144	1143	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1145	2	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ) )
1146		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1147	1146	breq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π ↔ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ) )
1148	1147	ifbid	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1149	1148	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1150	3	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1151	108 109	ifcli	⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ
1152	1151	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℝ )
1153	1145 1149 1150 1152	fvmptd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1154		icoltub	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1155	153 155 1154	mp3an12	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1156	1155	iftrued	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
1157	1153 1156	eqtrd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = 1 )
1158	363 1140	feqresmpt	⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
1159	1158	mptru	⊢ ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
1160		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
1161	1160 110 147	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1162	1161	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1163	3	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1164	1160 1163	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1165	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
1166		0red	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
1167	1163	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
1168	120 767	resubcli	⊢ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
1169	3 1168	readdcli	⊢ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ
1170	1169	rexri	⊢ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ*
1171	1170	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1172		id	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) )
1173		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1174	1167 1171 1172 1173	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1175	1163 1160	posdifd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1176	1174 1175	mpbid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1177	1166 1164 1176	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1178	120	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → π ∈ ℝ )
1179	122	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1180	1169	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1181	1180 1163	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1182		iooltub	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1183	1167 1171 1172 1182	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1184	1160 1180 1163 1183	ltsub1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) )
1185	1168	recni	⊢ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ
1186		pncan2	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1187	27 1185 1186	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1188		subge02	⊢ ( ( π ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ π ) )
1189	120 767 1188	mp2an	⊢ ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ π )
1190	950 1189	mpbi	⊢ ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ π
1191	1187 1190	eqbrtri	⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ π
1192	1191	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ π )
1193	1164 1181 1178 1184 1192	ltletrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < π )
1194	187	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → π < 𝑇 )
1195	1164 1178 1179 1193 1194	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < 𝑇 )
1196		modid	⊢ ( ( ( ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑋 ) < 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1197	1164 1165 1177 1195 1196	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1198	1197	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1199	1198	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1200	767	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1201	1200 1164	readdcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1202	1163 1163	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1203	1200 1202	readdcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1204	27	subidi	⊢ ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0
1205	1204	oveq2i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + 0 )
1206	1036	addid1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + 0 ) = ( 𝑋 mod 𝑇 )
1207	1205 1206	eqtr2i	⊢ ( 𝑋 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) )
1208	950 1207	breqtri	⊢ 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) )
1209	1208	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) )
1210	1163 1160 1163 1174	ltsub1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) < ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1211	1202 1164 1200 1210	ltadd2dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1212	1166 1203 1201 1209 1211	lelttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1213	1166 1201 1212	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1214	1164 1181 1200 1184	ltadd2dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) )
1215	1187	oveq2i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1216	1036 56	pncan3i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = π
1217	1215 1216	eqtri	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = π
1218	1214 1217	breqtrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < π )
1219	1201 1178 1179 1218 1194	lttrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < 𝑇 )
1220		modid	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1221	1201 1165 1213 1219 1220	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1222	1199 1221	eqtr2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
1223		modaddabs	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1224	1163 1164 1165 1223	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1225	27	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1226	1160	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
1227	1225 1226	pncan3d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = 𝑥 )
1228	1227	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1229	1222 1224 1228	3eqtrrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1230	1229	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1231	1218	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < π )
1232	1230 1231	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1233	1155 1232	sylan	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1234	1233	iftrued	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = 1 )
1235	1162 1234	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 1 )
1236	1235	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) )
1237	1159 1236	eqtr2id	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) )
1238	1237	oveq1d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
1239	210	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
1240	1170	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1241	1168	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1242	767	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1243	120	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → π ∈ ℝ )
1244	1242 1243	posdifd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ↔ 0 < ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1245	1155 1244	mpbid	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 0 < ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1246	1241 1245	elrpd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ+ )
1247	1150 1246	ltaddrpd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝑋 < ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1248	1139	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1249	376	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → +∞ ∈ ℝ* )
1250		ltpnf	⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ )
1251		xrltle	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ ) )
1252	1170 376 1251	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1253	1169 1250 1252	mp2b	⊢ ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞
1254	1253	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1255	1239 1150 1240 1247 1248 1249 1254	limcresioolb	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1256	1238 1255	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( π − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1257	1144 1157 1256	3eltr4d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1258	155	a1i	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → π ∈ ℝ* )
1259	934	a1i	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → 𝑇 ∈ ℝ* )
1260	936	a1i	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
1261	153	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
1262	155	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → π ∈ ℝ* )
1263	936	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ* )
1264	950	a1i	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1265	767	a1i	⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1266	120	a1i	⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → π ∈ ℝ )
1267	1265 1266	ltnled	⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π ↔ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1268	1267	ibir	⊢ ( ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1269	1268	adantl	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1270	1261 1262 1263 1264 1269	elicod	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) )
1271		simpl	⊢ ( ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) ∧ ¬ π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) )
1272	1270 1271	condan	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1273	962	a1i	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
1274	1258 1259 1260 1272 1273	elicod	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) )
1275		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 )
1276		ioossre	⊢ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ
1277	1276	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1278	1277 208	sstrdi	⊢ ( ⊤ → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℂ )
1279	1275 1278 306 819	constlimc	⊢ ( ⊤ → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1280	1279	mptru	⊢ - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 )
1281	1280	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → - 1 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1282		1ex	⊢ 1 ∈ V
1283	109	elexi	⊢ - 1 ∈ V
1284	1282 1283	ifex	⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ V
1285	1148 2 1284	fvmpt	⊢ ( 𝑋 ∈ ℝ → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1286	3 1285	ax-mp	⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 )
1287	1286	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1288	120	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → π ∈ ℝ )
1289	767	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1290	1288 1289 1000	lensymd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π )
1291	1290	iffalsed	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
1292	1287 1291	eqtrd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = - 1 )
1293	363 1277	feqresmpt	⊢ ( ⊤ → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
1294	1293	mptru	⊢ ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
1295		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
1296	1295 110 147	sylancl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1297	1296	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) )
1298	120	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ∈ ℝ )
1299	3	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1300	1295 1299	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1301	135	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
1302		0red	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
1303	1299	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
1304	122 767	resubcli	⊢ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ
1305	3 1304	readdcli	⊢ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ
1306	1305	rexri	⊢ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ*
1307	1306	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1308		id	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) )
1309		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1310	1303 1307 1308 1309	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
1311	1299 1295	posdifd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1312	1310 1311	mpbid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1313	1302 1300 1312	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1314	1305	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1315	1314 1299	resubcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
1316	122	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1317		iooltub	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1318	1303 1307 1308 1317	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1319	1295 1314 1299 1318	ltsub1dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) )
1320	1304	recni	⊢ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ
1321		pncan2	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1322	27 1320 1321	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) = ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1323		subge02	⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ 𝑇 ) )
1324	122 767 1323	mp2an	⊢ ( 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ↔ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ 𝑇 )
1325	950 1324	mpbi	⊢ ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ≤ 𝑇
1326	1322 1325	eqbrtri	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ 𝑇
1327	1326	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ≤ 𝑇 )
1328	1300 1315 1316 1319 1327	ltletrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) < 𝑇 )
1329	1300 1301 1313 1328 1196	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 − 𝑋 ) )
1330	1329	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1331	1330	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1332		readdcl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1333	767 1300 1332	sylancr	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1334	767	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1335	950	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1336	1334 1300 1335 1312	addgegt0d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1337	1302 1333 1336	ltled	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1338	1300 1315 1334 1319	ltadd2dd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) )
1339	1322	oveq2i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1340	1036 123	pncan3i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) = 𝑇
1341	1339 1340	eqtri	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) − 𝑋 ) ) = 𝑇
1342	1338 1341	breqtrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) < 𝑇 )
1343	1333 1301 1337 1342 1220	syl22anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1344	1331 1343	eqtr2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) )
1345	1299 1300 1301 1223	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( ( 𝑥 − 𝑋 ) mod 𝑇 ) ) mod 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) )
1346	27	a1i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
1347	1295	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
1348	1346 1347	pncan3d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = 𝑥 )
1349	1348	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) mod 𝑇 ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1350	1344 1345 1349	3eqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1351	1350	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) = ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1352	1333	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
1353	1351 1352	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1354	767	a1i	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ℝ )
1355	1000	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ≤ ( 𝑋 mod 𝑇 ) )
1356	1300 1312	elrpd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) ∈ ℝ+ )
1357	1334 1356	ltaddrpd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1358	1357	adantl	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1359	1298 1354 1352 1355 1358	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π < ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1360	1298 1352 1359	ltled	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ≤ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) + ( 𝑥 − 𝑋 ) ) )
1361	1360 1351	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → π ≤ ( 𝑥 mod 𝑇 ) )
1362	1298 1353 1361	lensymd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ¬ ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π )
1363	1362	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → if ( ( 𝑥 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) = - 1 )
1364	1297 1363	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = - 1 )
1365	1364	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) )
1366	1294 1365	eqtr2id	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) )
1367	1366	oveq1d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
1368	210	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
1369	3	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1370	1306	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* )
1371	1304	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1372	962	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 )
1373	122	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1374	1289 1373	posdifd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < 𝑇 ↔ 0 < ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1375	1372 1374	mpbid	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 0 < ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) )
1376	1371 1375	elrpd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ∈ ℝ+ )
1377	1369 1376	ltaddrpd	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → 𝑋 < ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) )
1378	1276	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
1379	376	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → +∞ ∈ ℝ* )
1380		ltpnf	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ )
1381		xrltle	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ ) )
1382	1306 376 1381	mp2an	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) < +∞ → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1383	1305 1380 1382	mp2b	⊢ ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞
1384	1383	a1i	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ≤ +∞ )
1385	1368 1369 1370 1377 1378 1379 1384	limcresioolb	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1386	1367 1385	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( 𝑋 + ( 𝑇 − ( 𝑋 mod 𝑇 ) ) ) ) ↦ - 1 ) limℂ 𝑋 ) )
1387	1281 1292 1386	3eltr4d	⊢ ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( π [,) 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1388	1274 1387	syl	⊢ ( ¬ ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 [,) π ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
1389	1257 1388	pm2.61i	⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 )
1390		id	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0 )
1391	1 2 1390	sqwvfoura	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = 0 )
1392	1391	eqcomd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → 0 = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1393	1392	mpteq2ia	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1394		id	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ )
1395	1 2 1394	sqwvfourb	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1396	1395	eqcomd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) = ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1397	1396	mpteq2ia	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 / π ) )
1398		nnnn0	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0 )
1399		0red	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ )
1400		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 )
1401	1400	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) = 0 )
1402	1398 1399 1401	syl2anc	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) = 0 )
1403	1402	oveq1d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( 0 · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1404	78	coscld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
1405	1404	mul02d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 0 · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1406	1403 1405	eqtrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1407		ovex	⊢ ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ∈ V
1408	93 1407	ifex	⊢ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ∈ V
1409		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1410	1409	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ∈ V ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1411	1408 1410	mpan2	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) )
1412	1411	oveq1d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1413	1406 1412	oveq12d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( 0 + ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1414	64 76	ifcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ∈ ℂ )
1415	1414 79	mulcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℂ )
1416	1415	addid2d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 0 + ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1417		iftrue	⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) = 0 )
1418	1417	oveq1d	⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( 0 · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1419	79	mul02d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 0 · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1420	1418 1419	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = 0 )
1421		iftrue	⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = 0 )
1422	1421	eqcomd	⊢ ( 2 ∥ 𝑛 → 0 = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1423	1422	adantl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛 ) → 0 = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1424	1420 1423	eqtrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1425		iffalse	⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) = ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) )
1426	1425	oveq1d	⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1427	1426	adantl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1428		iffalse	⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) )
1429	1428	eqcomd	⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑛 → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1430	1429	adantl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛 ) → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1431	1427 1430	eqtrd	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛 ) → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1432	1424 1431	pm2.61dan	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1433	1413 1416 1432	3eqtrrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1434	1433	mpteq2ia	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 𝑛 ) · ( cos ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) + ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) ) ) ‘ 𝑛 ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) )
1435	112 1 149 150 331 605 676 755 3 1137 1389 1393 1397 1434	fourierclim	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) )
1436		0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0
1437		eqidd	⊢ ( 𝑛 = 0 → 0 = 0 )
1438	1437 1400 93	fvmpt	⊢ ( 0 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) = 0 )
1439	1436 1438	ax-mp	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) = 0
1440	1439	oveq1i	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
1441	32	recni	⊢ 2 ∈ ℂ
1442	71 131	gtneii	⊢ 2 ≠ 0
1443	1441 1442	div0i	⊢ ( 0 / 2 ) = 0
1444	1440 1443	eqtri	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) = 0
1445	1444	oveq2i	⊢ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) ) = ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − 0 )
1446	204	mptru	⊢ 1 ∈ ℂ
1447	1446 1011	ifcli	⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) ∈ ℂ
1448	1151	recni	⊢ if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) < π , 1 , - 1 ) ∈ ℂ
1449	1286 1448	eqeltri	⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ
1450	1447 1449	addcli	⊢ ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ
1451	1450 1441 1442	divcli	⊢ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) ∈ ℂ
1452	1451	subid1i	⊢ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − 0 ) = ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1453	1445 1452	eqtri	⊢ ( ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) − ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0 ) ‘ 0 ) / 2 ) ) = ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1454	1435 1453	breqtri	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1455	1454	a1i	⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) )
1456	83 107 1455	sumnnodd	⊢ ( ⊤ → ( seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) ∧ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1457	1456	mptru	⊢ ( seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) ∧ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1458	1457	simpli	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1459		breq2	⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1460		oveq1	⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 𝑛 · π ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) )
1461	1460	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) = ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) )
1462		oveq1	⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( 𝑛 · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) )
1463	1462	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) )
1464	1461 1463	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) )
1465	1459 1464	ifbieq2d	⊢ ( 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) )
1466	1465	adantl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) → if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) = if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) )
1467		elnnz	⊢ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1468	25 52 1467	sylanbrc	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℕ )
1469		ovex	⊢ ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ∈ V
1470	93 1469	ifex	⊢ if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V
1471	1470	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) ∈ V )
1472	84 1466 1468 1471	fvmptd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) )
1473		dvdsmul1	⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 2 ∥ ( 2 · 𝑘 ) )
1474	20 22 1473	sylancr	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ ( 2 · 𝑘 ) )
1475	23	zcnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℂ )
1476		1cnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ )
1477	1475 1476	npcand	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) = ( 2 · 𝑘 ) )
1478	1477	eqcomd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑘 ) = ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) )
1479	1474 1478	breqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) )
1480		oddp1even	⊢ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℤ → ( ¬ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ↔ 2 ∥ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) ) )
1481	25 1480	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ¬ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ↔ 2 ∥ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) + 1 ) ) )
1482	1479 1481	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
1483	1482	iffalsed	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → if ( 2 ∥ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) , 0 , ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) )
1484	56	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
1485	26 1484	mulcomd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) = ( π · ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1486	1485	oveq2d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) = ( 4 / ( π · ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1487	58	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ )
1488	73	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
1489	1487 1484 26 1488 53	divdiv1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( 4 / ( π · ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1490	1486 1489	eqtr4d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) = ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1491	1490	oveq1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) )
1492	1487 1484 1488	divcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 4 / π ) ∈ ℂ )
1493	1492 26 30 53	div32d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 4 / π ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1494	1491 1493	eqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · π ) ) · ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1495	1472 1483 1494	3eqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1496	1495	mpteq2ia	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1497		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑛 ) )
1498	1497	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) )
1499	1498	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) )
1500	1499	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) = ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) )
1501	1500 1498	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) )
1502	1501	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1503	1502	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1504	1496 1503	eqtri	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1505		seqeq3	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) → seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ) )
1506	1504 1505	ax-mp	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 2 ∥ 𝑛 , 0 , ( ( 4 / ( 𝑛 · π ) ) · ( sin ‘ ( 𝑛 · 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) )
1507	1 2 3 5	fourierswlem	⊢ 𝑌 = ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 )
1508	1507	eqcomi	⊢ ( ( if ( ( 𝑋 mod 𝑇 ) ∈ ( 0 (,] π ) , 1 , - 1 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) / 2 ) = 𝑌
1509	1458 1506 1508	3brtr3i	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ) ⇝ 𝑌
1510	1509	a1i	⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ) ⇝ 𝑌 )
1511		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1512	65 69 74	divcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 4 / π ) ∈ ℂ )
1513	1441	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ )
1514	1513 66	mulcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ )
1515		id	⊢ ( ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ )
1516		1cnd	⊢ ( ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ )
1517	1515 1516	subcld	⊢ ( ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ∈ ℂ )
1518	1514 1517	syl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ∈ ℂ )
1519	1518 77	mulcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ )
1520	1519	sincld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
1521	32	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ )
1522		nnre	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
1523	1521 1522	remulcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℝ )
1524	1523	recnd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ∈ ℂ )
1525		1cnd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ )
1526	1524 1525	subcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ∈ ℂ )
1527		1red	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ )
1528	39 1521	eqeltrid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ∈ ℝ )
1529		1lt2	⊢ 1 < 2
1530	1529	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 < 2 )
1531	1530 39	breqtrrdi	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 < ( 2 · 1 ) )
1532	47	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2 )
1533		nnge1	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛 )
1534	1527 1522 1521 1532 1533	lemul2ad	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 1 ) ≤ ( 2 · 𝑛 ) )
1535	1527 1528 1523 1531 1534	ltletrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 1 < ( 2 · 𝑛 ) )
1536	1527 1535	gtned	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑛 ) ≠ 1 )
1537	1524 1525 1536	subne0d	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ≠ 0 )
1538	1520 1526 1537	divcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
1539	1512 1538	mulcld	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
1540	1511 1539	fmpti	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ
1541	1540	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) : ℕ ⟶ ℂ )
1542	1541	ffvelrnda	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
1543		divcan6	⊢ ( ( ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) ∧ ( 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ) ) → ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) = 1 )
1544	56 73 58 60 1543	mp4an	⊢ ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) = 1
1545	1544	eqcomi	⊢ 1 = ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) )
1546	1545	oveq1i	⊢ ( 1 · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1547	54	mulid2d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 1 · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1548	60	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠ 0 )
1549	1484 1487 1548	divcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( π / 4 ) ∈ ℂ )
1550	1549 1492 54	mulassd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( π / 4 ) · ( 4 / π ) ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) )
1551	1546 1547 1550	3eqtr3a	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) )
1552		eqidd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) )
1553	13	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1554	1553	adantl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1555	1494 1469	eqeltrrdi	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ∈ V )
1556	1552 1554 15 1555	fvmptd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
1557	1556	oveq2d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) )
1558	1557	eqcomd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( π / 4 ) · ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
1559	18 1551 1558	3eqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
1560	1559	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( π / 4 ) · ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 4 / π ) · ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
1561	6 7 62 1510 1542 1560	isermulc2	⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1562		climrel	⊢ Rel ⇝
1563	1562	releldmi	⊢ ( seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ )
1564	1561 1563	syl	⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ )
1565	6 7 19 55 1564	isumclim2	⊢ ( ⊤ → seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) )
1566	1565	mptru	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) )
1567	1561	mptru	⊢ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 )
1568		climuni	⊢ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ∧ seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1569	1566 1567 1568	mp2an	⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( π / 4 ) · 𝑌 )
1570	1569	oveq2i	⊢ ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( 4 / π ) · ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1571	58 56 73	divcli	⊢ ( 4 / π ) ∈ ℂ
1572	56 58 60	divcli	⊢ ( π / 4 ) ∈ ℂ
1573	1286 1151	eqeltri	⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ
1574	71 1573	ifcli	⊢ if ( ( 𝑋 mod π ) = 0 , 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ
1575	5 1574	eqeltri	⊢ 𝑌 ∈ ℝ
1576	1575	recni	⊢ 𝑌 ∈ ℂ
1577	1571 1572 1576	mulassi	⊢ ( ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) · 𝑌 ) = ( ( 4 / π ) · ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )
1578	1572 1571 1544	mulcomli	⊢ ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) = 1
1579	1578	oveq1i	⊢ ( ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) · 𝑌 ) = ( 1 · 𝑌 )
1580	1576	mulid2i	⊢ ( 1 · 𝑌 ) = 𝑌
1581	1579 1580	eqtri	⊢ ( ( ( 4 / π ) · ( π / 4 ) ) · 𝑌 ) = 𝑌
1582	1570 1577 1581	3eqtr2i	⊢ ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = 𝑌
1583		seqeq3	⊢ ( 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) → seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) ) )
1584	4 1583	ax-mp	⊢ seq 1 ( + , 𝑆 ) = seq 1 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑛 ) − 1 ) ) ) )
1585	1584 1567	eqbrtri	⊢ seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 )
1586	1582 1585	pm3.2i	⊢ ( ( ( 4 / π ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( sin ‘ ( ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) · 𝑋 ) ) / ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) = 𝑌 ∧ seq 1 ( + , 𝑆 ) ⇝ ( ( π / 4 ) · 𝑌 ) )