Theorem fprlem1

Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Two acceptable functions are compatible. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	fprlem.1	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ∃ 𝑥 ( 𝑓 Fn 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ⊆ 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐺 ( 𝑓 ↾ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ) ) ) }
	fprlem.2	⊢ 𝐹 = frecs ( 𝑅 , 𝐴 , 𝐺 )
Assertion	fprlem1	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprlem.1	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ∃ 𝑥 ( 𝑓 Fn 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ⊆ 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐺 ( 𝑓 ↾ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑦 ) ) ) ) }
2		fprlem.2	⊢ 𝐹 = frecs ( 𝑅 , 𝐴 , 𝐺 )
3		vex	⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex	⊢ 𝑢 ∈ V
5	3 4	breldm	⊢ ( 𝑥 𝑔 𝑢 → 𝑥 ∈ dom 𝑔 )
6		vex	⊢ 𝑣 ∈ V
7	3 6	breldm	⊢ ( 𝑥 ℎ 𝑣 → 𝑥 ∈ dom ℎ )
8		elin	⊢ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ↔ ( 𝑥 ∈ dom 𝑔 ∧ 𝑥 ∈ dom ℎ ) )
9	8	biimpri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom 𝑔 ∧ 𝑥 ∈ dom ℎ ) → 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
10	5 7 9	syl2an	⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
11		id	⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) )
12	4	brresi	⊢ ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ↔ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 𝑔 𝑢 ) )
13	6	brresi	⊢ ( 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ↔ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) )
14	12 13	anbi12i	⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 𝑔 𝑢 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) )
15		an4	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 𝑔 𝑢 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) )
16	14 15	bitri	⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) ) )
17	10 10 11 16	syl21anbrc	⊢ ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) )
18		inss2	⊢ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ dom ℎ
19	1	frrlem3	⊢ ( ℎ ∈ 𝐵 → dom ℎ ⊆ 𝐴 )
20	18 19	sstrid	⊢ ( ℎ ∈ 𝐵 → ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 )
21	20	adantl	⊢ ( ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) → ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 )
22	21	adantl	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 )
23		simpl1	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Fr 𝐴 )
24		frss	⊢ ( ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Fr 𝐴 → 𝑅 Fr ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
25	22 23 24	sylc	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Fr ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
26		simpl2	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 )
27		poss	⊢ ( ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Po 𝐴 → 𝑅 Po ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
28	22 26 27	sylc	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Po ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
29		simpl3	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Se 𝐴 )
30		sess2	⊢ ( ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
31	22 29 30	sylc	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Se ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) )
32	1	frrlem4	⊢ ( ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
33	32	adantl	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
34	1	frrlem4	⊢ ( ( ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) ) )
35		incom	⊢ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) = ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 )
36	35	reseq2i	⊢ ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) )
37		fneq12	⊢ ( ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ∧ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) = ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ↔ ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) )
38	36 35 37	mp2an	⊢ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ↔ ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) )
39	36	fveq1i	⊢ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 )
40		predeq2	⊢ ( ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) = ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) → Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) = Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) )
41	35 40	ax-mp	⊢ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) = Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 )
42	36 41	reseq12i	⊢ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) = ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) )
43	42	oveq2i	⊢ ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) )
44	39 43	eqeq12i	⊢ ( ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ↔ ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) )
45	35 44	raleqbii	⊢ ( ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) )
46	38 45	anbi12i	⊢ ( ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) ↔ ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) Fn ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom ℎ ∩ dom 𝑔 ) , 𝑎 ) ) ) ) )
47	34 46	sylibr	⊢ ( ( ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
48	47	ancoms	⊢ ( ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
49	48	adantl	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) )
50		fpr3g	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑅 Po ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ 𝑅 Se ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) Fn ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑎 𝐺 ( ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↾ Pred ( 𝑅 , ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) , 𝑎 ) ) ) ) ) → ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
51	25 28 31 33 49 50	syl311anc	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) = ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
52	51	breqd	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ↔ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) )
53	52	biimprd	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 → 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) )
54	1	frrlem2	⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐵 → Fun 𝑔 )
55	54	ad2antrl	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → Fun 𝑔 )
56		funres	⊢ ( Fun 𝑔 → Fun ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) )
57		dffun2	⊢ ( Fun ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ↔ ( Rel ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑢 ∀ 𝑣 ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) ) )
58		2sp	⊢ ( ∀ 𝑢 ∀ 𝑣 ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
59	58	sps	⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑢 ∀ 𝑣 ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
60	57 59	simplbiim	⊢ ( Fun ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
61	55 56 60	3syl	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
62	53 61	sylan2d	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑔 ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑢 ∧ 𝑥 ( ℎ ↾ ( dom 𝑔 ∩ dom ℎ ) ) 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )
63	17 62	syl5	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 𝑔 𝑢 ∧ 𝑥 ℎ 𝑣 ) → 𝑢 = 𝑣 ) )