Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fprodshft.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ ) |
2 |
|
fprodshft.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
3 |
|
fprodshft.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
4 |
|
fprodshft.4 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
5 |
|
fprodrev.5 |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) → 𝐴 = 𝐵 ) |
6 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∈ Fin ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) |
8 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
9 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
11 |
8 10
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ℤ ) |
12 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
13 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
14 |
13
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
15 |
12 14
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
16 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) |
17 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) |
18 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
19 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
20 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
21 |
9
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
22 |
|
fzrev |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
23 |
18 19 20 21 22
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
24 |
17 23
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
25 |
16 24
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
26 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) |
27 |
26
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) |
28 |
1
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
30 |
9
|
zcnd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
31 |
30
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
32 |
29 31
|
nncand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = 𝑗 ) |
33 |
27 32
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) |
34 |
25 33
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) |
35 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) |
36 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
37 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
38 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
39 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
40 |
13
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
41 |
|
fzrev2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) ) |
42 |
37 38 39 40 41
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) ) |
43 |
36 42
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) |
44 |
35 43
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) |
45 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) |
46 |
45
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) |
47 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
48 |
13
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
49 |
48
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
50 |
47 49
|
nncand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) = 𝑘 ) |
51 |
46 50
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) |
52 |
44 51
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) |
53 |
34 52
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) ) |
54 |
7 11 15 53
|
f1od |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) : ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
55 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) |
56 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ V |
57 |
55 7 56
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) |
58 |
57
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) |
59 |
5 6 54 58 4
|
fprodf1o |
⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ∏ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) 𝐵 ) |