Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frgpup.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐻 ) |
2 |
|
frgpup.n |
⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝐻 ) |
3 |
|
frgpup.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ if ( 𝑧 = ∅ , ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) , ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) |
4 |
|
frgpup.h |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Grp ) |
5 |
|
frgpup.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉 ) |
6 |
|
frgpup.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
7 |
|
frgpup.w |
⊢ 𝑊 = ( I ‘ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
8 |
|
frgpup.r |
⊢ ∼ = ( ~FG ‘ 𝐼 ) |
9 |
7 8
|
efgval |
⊢ ∼ = ∩ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) } |
10 |
|
coeq2 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) = ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑣 → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) |
12 |
|
eqid |
⊢ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } |
13 |
11 12
|
eqer |
⊢ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } Er V |
14 |
13
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } Er V ) |
15 |
|
ssv |
⊢ 𝑊 ⊆ V |
16 |
15
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ⊆ V ) |
17 |
14 16
|
erinxp |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ∩ ( 𝑊 × 𝑊 ) ) Er 𝑊 ) |
18 |
|
df-xp |
⊢ ( 𝑊 × 𝑊 ) = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) } |
19 |
18
|
ineq1i |
⊢ ( ( 𝑊 × 𝑊 ) ∩ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ) = ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) } ∩ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ) |
20 |
|
incom |
⊢ ( ( 𝑊 × 𝑊 ) ∩ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ) = ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ∩ ( 𝑊 × 𝑊 ) ) |
21 |
|
inopab |
⊢ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) } ∩ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ) = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } |
22 |
19 20 21
|
3eqtr3i |
⊢ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ∩ ( 𝑊 × 𝑊 ) ) = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } |
23 |
|
vex |
⊢ 𝑢 ∈ V |
24 |
|
vex |
⊢ 𝑣 ∈ V |
25 |
23 24
|
prss |
⊢ ( ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) ↔ { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ) |
26 |
25
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) ) |
27 |
26
|
opabbii |
⊢ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } |
28 |
22 27
|
eqtri |
⊢ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ∩ ( 𝑊 × 𝑊 ) ) = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } |
29 |
|
ereq1 |
⊢ ( ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ∩ ( 𝑊 × 𝑊 ) ) = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } → ( ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ∩ ( 𝑊 × 𝑊 ) ) Er 𝑊 ↔ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 ) ) |
30 |
28 29
|
ax-mp |
⊢ ( ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) } ∩ ( 𝑊 × 𝑊 ) ) Er 𝑊 ↔ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 ) |
31 |
17 30
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 ) |
32 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑥 ∈ 𝑊 ) |
33 |
|
fviss |
⊢ ( I ‘ Word ( 𝐼 × 2o ) ) ⊆ Word ( 𝐼 × 2o ) |
34 |
7 33
|
eqsstri |
⊢ 𝑊 ⊆ Word ( 𝐼 × 2o ) |
35 |
34 32
|
sseldi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑥 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
36 |
|
opelxpi |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) → 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝐼 × 2o ) ) |
37 |
36
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝐼 × 2o ) ) |
38 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑎 ∈ 𝐼 ) |
39 |
|
2oconcl |
⊢ ( 𝑏 ∈ 2o → ( 1o ∖ 𝑏 ) ∈ 2o ) |
40 |
39
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 1o ∖ 𝑏 ) ∈ 2o ) |
41 |
38 40
|
opelxpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ∈ ( 𝐼 × 2o ) ) |
42 |
37 41
|
s2cld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
43 |
|
splcl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) → ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
44 |
35 42 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
45 |
7
|
efgrcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑊 → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word ( 𝐼 × 2o ) ) ) |
46 |
32 45
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word ( 𝐼 × 2o ) ) ) |
47 |
46
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑊 = Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
48 |
44 47
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ 𝑊 ) |
49 |
|
pfxcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) → ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
50 |
35 49
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
51 |
1 2 3 4 5 6
|
frgpuptf |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) |
52 |
51
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) |
53 |
|
ccatco |
⊢ ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) = ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) |
54 |
50 42 52 53
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) = ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) |
55 |
54
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) = ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) ) |
56 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝐻 ∈ Grp ) |
57 |
|
grpmnd |
⊢ ( 𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd ) |
58 |
56 57
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝐻 ∈ Mnd ) |
59 |
|
wrdco |
⊢ ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ∈ Word 𝐵 ) |
60 |
50 52 59
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ∈ Word 𝐵 ) |
61 |
|
wrdco |
⊢ ( ( 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ∈ Word 𝐵 ) |
62 |
42 52 61
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ∈ Word 𝐵 ) |
63 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐻 ) = ( +g ‘ 𝐻 ) |
64 |
1 63
|
gsumccat |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Mnd ∧ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ∈ Word 𝐵 ∧ ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) ) |
65 |
58 60 62 64
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) ) |
66 |
52 37 41
|
s2co |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) = 〈“ ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) ”〉 ) |
67 |
|
df-ov |
⊢ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) = ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) |
68 |
67
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) = ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) |
69 |
67
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) |
70 |
|
df-ov |
⊢ ( 𝑎 ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) 𝑏 ) = ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) |
71 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) = ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) |
72 |
71
|
efgmval |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) → ( 𝑎 ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) 𝑏 ) = 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) |
73 |
70 72
|
eqtr3id |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) = 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) |
74 |
73
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) = 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) |
75 |
74
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) = ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) ) |
76 |
1 2 3 4 5 6 71
|
frgpuptinv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝐼 × 2o ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) ) |
77 |
36 76
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) ) |
78 |
77
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑧 ∈ 2o ↦ 〈 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) 〉 ) ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) ) |
79 |
75 78
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) ) |
80 |
69 79
|
eqtr4id |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) = ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) ) |
81 |
68 80
|
s2eqd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 〈“ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ”〉 = 〈“ ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ( 𝑇 ‘ 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ) ”〉 ) |
82 |
66 81
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) = 〈“ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ”〉 ) |
83 |
82
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) = ( 𝐻 Σg 〈“ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ”〉 ) ) |
84 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑏 ∈ 2o ) |
85 |
52 38 84
|
fovrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ∈ 𝐵 ) |
86 |
1 2
|
grpinvcl |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Grp ∧ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ∈ 𝐵 ) |
87 |
56 85 86
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ∈ 𝐵 ) |
88 |
1 63
|
gsumws2 |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Mnd ∧ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝐻 Σg 〈“ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ”〉 ) = ( ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ) ) |
89 |
58 85 87 88
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg 〈“ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ”〉 ) = ( ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ) ) |
90 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐻 ) = ( 0g ‘ 𝐻 ) |
91 |
1 63 90 2
|
grprinv |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Grp ∧ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝐻 ) ) |
92 |
56 85 91
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝑁 ‘ ( 𝑎 𝑇 𝑏 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝐻 ) ) |
93 |
83 89 92
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) = ( 0g ‘ 𝐻 ) ) |
94 |
93
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 0g ‘ 𝐻 ) ) ) |
95 |
1
|
gsumwcl |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Mnd ∧ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
96 |
58 60 95
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
97 |
1 63 90
|
grprid |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Grp ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 0g ‘ 𝐻 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ) |
98 |
56 96 97
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 0g ‘ 𝐻 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ) |
99 |
94 98
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ) |
100 |
55 65 99
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) ) |
101 |
100
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
102 |
|
swrdcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) → ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
103 |
35 102
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
104 |
|
wrdco |
⊢ ( ( ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ∈ Word 𝐵 ) |
105 |
103 52 104
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ∈ Word 𝐵 ) |
106 |
1 63
|
gsumccat |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Mnd ∧ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ∈ Word 𝐵 ∧ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
107 |
58 60 105 106
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
108 |
|
ccatcl |
⊢ ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) → ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
109 |
50 42 108
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) |
110 |
|
wrdco |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ∈ Word 𝐵 ) |
111 |
109 52 110
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ∈ Word 𝐵 ) |
112 |
1 63
|
gsumccat |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Mnd ∧ ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ∈ Word 𝐵 ∧ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
113 |
58 111 105 112
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) = ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ) ( +g ‘ 𝐻 ) ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
114 |
101 107 113
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) = ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
115 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) |
116 |
|
lencl |
⊢ ( 𝑥 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) → ( ♯ ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ0 ) |
117 |
35 116
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ♯ ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ0 ) |
118 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
119 |
117 118
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ♯ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
120 |
|
eluzfz2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( ♯ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) |
121 |
119 120
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ♯ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) |
122 |
|
ccatpfx |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) = ( 𝑥 prefix ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) |
123 |
35 115 121 122
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) = ( 𝑥 prefix ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) |
124 |
|
pfxid |
⊢ ( 𝑥 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) → ( 𝑥 prefix ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) = 𝑥 ) |
125 |
35 124
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑥 prefix ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) = 𝑥 ) |
126 |
123 125
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) = 𝑥 ) |
127 |
126
|
coeq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) = ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) |
128 |
|
ccatco |
⊢ ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) = ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) |
129 |
50 103 52 128
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) = ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) |
130 |
127 129
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) = ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) |
131 |
130
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
132 |
|
splval |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∧ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ) ) → ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) = ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) |
133 |
32 115 115 42 132
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) = ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) |
134 |
133
|
coeq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) = ( 𝑇 ∘ ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) |
135 |
|
ccatco |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ∈ Word ( 𝐼 × 2o ) ∧ 𝑇 : ( 𝐼 × 2o ) ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑇 ∘ ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) = ( ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) |
136 |
109 103 52 135
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ++ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) = ( ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) |
137 |
134 136
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) = ( ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) |
138 |
137
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) = ( 𝐻 Σg ( ( 𝑇 ∘ ( ( 𝑥 prefix 𝑛 ) ++ 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 ) ) ++ ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 substr 〈 𝑛 , ( ♯ ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) ) ) ) |
139 |
114 131 138
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) |
140 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
141 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ V |
142 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑥 → ( 𝑢 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ 𝑊 ) ) |
143 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑊 ↔ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ 𝑊 ) ) |
144 |
142 143
|
bi2anan9 |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) → ( ( 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ 𝑊 ) ) ) |
145 |
25 144
|
bitr3id |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) → ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ 𝑊 ) ) ) |
146 |
|
coeq2 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑥 → ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) = ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) |
147 |
146
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑥 → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) ) |
148 |
|
coeq2 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) → ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) = ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) |
149 |
148
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) |
150 |
147 149
|
eqeqan12d |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) → ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) ) |
151 |
145 150
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) → ( ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) ) ) |
152 |
|
eqid |
⊢ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } |
153 |
140 141 151 152
|
braba |
⊢ ( 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) ) |
154 |
32 48 139 153
|
syl21anbrc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 2o ) ) → 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) |
155 |
154
|
ralrimivva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) |
156 |
155
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) |
157 |
7
|
fvexi |
⊢ 𝑊 ∈ V |
158 |
|
erex |
⊢ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 → ( 𝑊 ∈ V → { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ∈ V ) ) |
159 |
31 157 158
|
mpisyl |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ∈ V ) |
160 |
|
ereq1 |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } → ( 𝑟 Er 𝑊 ↔ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 ) ) |
161 |
|
breq |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } → ( 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ↔ 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) |
162 |
161
|
2ralbidv |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } → ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) |
163 |
162
|
2ralbidv |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) |
164 |
160 163
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } → ( ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ↔ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) |
165 |
164
|
elabg |
⊢ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ∈ V → ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) } ↔ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) |
166 |
159 165
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) } ↔ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) ) ) |
167 |
31 156 166
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) } ) |
168 |
|
intss1 |
⊢ ( { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) } → ∩ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) } ⊆ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ) |
169 |
167 168
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ∩ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑎 ∈ 𝐼 ∀ 𝑏 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice 〈 𝑛 , 𝑛 , 〈“ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 〈 𝑎 , ( 1o ∖ 𝑏 ) 〉 ”〉 〉 ) ) } ⊆ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ) |
170 |
9 169
|
eqsstrid |
⊢ ( 𝜑 → ∼ ⊆ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } ) |
171 |
170
|
ssbrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∼ 𝐶 → 𝐴 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } 𝐶 ) ) |
172 |
171
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∼ 𝐶 ) → 𝐴 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } 𝐶 ) |
173 |
7 8
|
efger |
⊢ ∼ Er 𝑊 |
174 |
|
errel |
⊢ ( ∼ Er 𝑊 → Rel ∼ ) |
175 |
173 174
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → Rel ∼ ) |
176 |
|
brrelex12 |
⊢ ( ( Rel ∼ ∧ 𝐴 ∼ 𝐶 ) → ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) |
177 |
175 176
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∼ 𝐶 ) → ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) |
178 |
|
preq12 |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝐴 ∧ 𝑣 = 𝐶 ) → { 𝑢 , 𝑣 } = { 𝐴 , 𝐶 } ) |
179 |
178
|
sseq1d |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝐴 ∧ 𝑣 = 𝐶 ) → ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ↔ { 𝐴 , 𝐶 } ⊆ 𝑊 ) ) |
180 |
|
coeq2 |
⊢ ( 𝑢 = 𝐴 → ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) = ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) |
181 |
180
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑢 = 𝐴 → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) ) |
182 |
|
coeq2 |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) = ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) |
183 |
182
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) ) |
184 |
181 183
|
eqeqan12d |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝐴 ∧ 𝑣 = 𝐶 ) → ( ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) ) ) |
185 |
179 184
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑢 = 𝐴 ∧ 𝑣 = 𝐶 ) → ( ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ( { 𝐴 , 𝐶 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) ) ) ) |
186 |
185 152
|
brabga |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) → ( 𝐴 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } 𝐶 ↔ ( { 𝐴 , 𝐶 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) ) ) ) |
187 |
177 186
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∼ 𝐶 ) → ( 𝐴 { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ( { 𝑢 , 𝑣 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑢 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝑣 ) ) ) } 𝐶 ↔ ( { 𝐴 , 𝐶 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) ) ) ) |
188 |
172 187
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∼ 𝐶 ) → ( { 𝐴 , 𝐶 } ⊆ 𝑊 ∧ ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) ) ) |
189 |
188
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∼ 𝐶 ) → ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐴 ) ) = ( 𝐻 Σg ( 𝑇 ∘ 𝐶 ) ) ) |