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Theorem frlmphl

Description: Conditions for a free module to be a pre-Hilbert space. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses frlmphl.y 𝑌 = ( 𝑅 freeLMod 𝐼 )
frlmphl.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
frlmphl.t · = ( .r𝑅 )
frlmphl.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑌 )
frlmphl.j , = ( ·𝑖𝑌 )
frlmphl.o 𝑂 = ( 0g𝑌 )
frlmphl.0 0 = ( 0g𝑅 )
frlmphl.s = ( *𝑟𝑅 )
frlmphl.f ( 𝜑𝑅 ∈ Field )
frlmphl.m ( ( 𝜑𝑔𝑉 ∧ ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂 )
frlmphl.u ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ) = 𝑥 )
frlmphl.i ( 𝜑𝐼𝑊 )
Assertion frlmphl ( 𝜑𝑌 ∈ PreHil )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 frlmphl.y 𝑌 = ( 𝑅 freeLMod 𝐼 )
2 frlmphl.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
3 frlmphl.t · = ( .r𝑅 )
4 frlmphl.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑌 )
5 frlmphl.j , = ( ·𝑖𝑌 )
6 frlmphl.o 𝑂 = ( 0g𝑌 )
7 frlmphl.0 0 = ( 0g𝑅 )
8 frlmphl.s = ( *𝑟𝑅 )
9 frlmphl.f ( 𝜑𝑅 ∈ Field )
10 frlmphl.m ( ( 𝜑𝑔𝑉 ∧ ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂 )
11 frlmphl.u ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ) = 𝑥 )
12 frlmphl.i ( 𝜑𝐼𝑊 )
13 4 a1i ( 𝜑𝑉 = ( Base ‘ 𝑌 ) )
14 eqidd ( 𝜑 → ( +g𝑌 ) = ( +g𝑌 ) )
15 eqidd ( 𝜑 → ( ·𝑠𝑌 ) = ( ·𝑠𝑌 ) )
16 5 a1i ( 𝜑, = ( ·𝑖𝑌 ) )
17 6 a1i ( 𝜑𝑂 = ( 0g𝑌 ) )
18 isfld ( 𝑅 ∈ Field ↔ ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing ) )
19 9 18 sylib ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing ) )
20 19 simpld ( 𝜑𝑅 ∈ DivRing )
21 1 frlmsca ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑊 ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) )
22 20 12 21 syl2anc ( 𝜑𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) )
23 2 a1i ( 𝜑𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) )
24 eqidd ( 𝜑 → ( +g𝑅 ) = ( +g𝑅 ) )
25 3 a1i ( 𝜑· = ( .r𝑅 ) )
26 8 a1i ( 𝜑 = ( *𝑟𝑅 ) )
27 7 a1i ( 𝜑0 = ( 0g𝑅 ) )
28 20 drngringd ( 𝜑𝑅 ∈ Ring )
29 1 frlmlmod ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊 ) → 𝑌 ∈ LMod )
30 28 12 29 syl2anc ( 𝜑𝑌 ∈ LMod )
31 22 20 eqeltrrd ( 𝜑 → ( Scalar ‘ 𝑌 ) ∈ DivRing )
32 eqid ( Scalar ‘ 𝑌 ) = ( Scalar ‘ 𝑌 )
33 32 islvec ( 𝑌 ∈ LVec ↔ ( 𝑌 ∈ LMod ∧ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ∈ DivRing ) )
34 30 31 33 sylanbrc ( 𝜑𝑌 ∈ LVec )
35 9 fldcrngd ( 𝜑𝑅 ∈ CRing )
36 2 8 35 11 idsrngd ( 𝜑𝑅 ∈ *-Ring )
37 12 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝐼𝑊 )
38 28 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑅 ∈ Ring )
39 simp2 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑔𝑉 )
40 simp3 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑉 )
41 1 2 3 4 5 frlmipval ( ( ( 𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑔𝑉𝑉 ) ) → ( 𝑔 , ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔f · ) ) )
42 37 38 39 40 41 syl22anc ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑔 , ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔f · ) ) )
43 1 2 4 frlmbasmap ( ( 𝐼𝑊𝑔𝑉 ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
44 37 39 43 syl2anc ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
45 elmapi ( 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) → 𝑔 : 𝐼𝐵 )
46 44 45 syl ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑔 : 𝐼𝐵 )
47 46 ffnd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑔 Fn 𝐼 )
48 1 2 4 frlmbasmap ( ( 𝐼𝑊𝑉 ) → ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
49 37 40 48 syl2anc ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
50 elmapi ( ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) → : 𝐼𝐵 )
51 49 50 syl ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → : 𝐼𝐵 )
52 51 ffnd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → Fn 𝐼 )
53 inidm ( 𝐼𝐼 ) = 𝐼
54 eqidd ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑔𝑥 ) = ( 𝑔𝑥 ) )
55 eqidd ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑥 ) = ( 𝑥 ) )
56 47 52 37 37 53 54 55 offval ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑔f · ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) )
57 56 oveq2d ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑔f · ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) )
58 42 57 eqtrd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑔 , ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) )
59 28 ringcmnd ( 𝜑𝑅 ∈ CMnd )
60 59 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
61 38 adantr ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
62 46 ffvelcdmda ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑔𝑥 ) ∈ 𝐵 )
63 51 ffvelcdmda ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
64 2 3 61 62 63 ringcld ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 )
65 64 fmpttd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) : 𝐼𝐵 )
66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 frlmphllem ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) finSupp 0 )
67 2 7 60 37 65 66 gsumcl ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
68 58 67 eqeltrd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑔 , ) ∈ 𝐵 )
69 eqid ( +g𝑅 ) = ( +g𝑅 )
70 59 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑅 ∈ CMnd )
71 12 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝐼𝑊 )
72 28 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
73 72 adantr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
74 simp2 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑘𝐵 )
75 74 adantr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → 𝑘𝐵 )
76 simp31 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑔𝑉 )
77 71 76 43 syl2anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
78 77 45 syl ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑔 : 𝐼𝐵 )
79 78 ffvelcdmda ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑔𝑥 ) ∈ 𝐵 )
80 simp33 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑖𝑉 )
81 1 2 4 frlmbasmap ( ( 𝐼𝑊𝑖𝑉 ) → 𝑖 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
82 71 80 81 syl2anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑖 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
83 elmapi ( 𝑖 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) → 𝑖 : 𝐼𝐵 )
84 82 83 syl ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑖 : 𝐼𝐵 )
85 84 ffvelcdmda ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑖𝑥 ) ∈ 𝐵 )
86 2 3 73 79 85 ringcld ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ∈ 𝐵 )
87 2 3 73 75 86 ringcld ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ∈ 𝐵 )
88 simp32 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑉 )
89 71 88 48 syl2anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
90 89 50 syl ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → : 𝐼𝐵 )
91 90 ffvelcdmda ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
92 2 3 73 91 85 ringcld ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ∈ 𝐵 )
93 eqidd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
94 eqidd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
95 fveq2 ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑔𝑥 ) = ( 𝑔𝑦 ) )
96 95 oveq2d ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) )
97 96 cbvmptv ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) = ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) )
98 97 oveq1i ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) ∘f · 𝑖 )
99 2 3 73 75 79 ringcld ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ∈ 𝐵 )
100 99 fmpttd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) : 𝐼𝐵 )
101 100 ffnd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) Fn 𝐼 )
102 97 fneq1i ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) Fn 𝐼 ↔ ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) Fn 𝐼 )
103 101 102 sylib ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) Fn 𝐼 )
104 84 ffnd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑖 Fn 𝐼 )
105 eqidd ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) = ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) )
106 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 = 𝑥 )
107 106 fveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑔𝑦 ) = ( 𝑔𝑥 ) )
108 107 oveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) )
109 simpr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → 𝑥𝐼 )
110 ovexd ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ∈ V )
111 105 108 109 110 fvmptd ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) )
112 eqidd ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑖𝑥 ) = ( 𝑖𝑥 ) )
113 103 104 71 71 53 111 112 offval ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
114 2 3 ringass ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑖𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) = ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
115 73 75 79 85 114 syl13anc ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) = ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
116 115 mpteq2dva ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
117 113 116 eqtrd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑦𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑦 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
118 98 117 eqtrid ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
119 ovexd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) ∈ V )
120 101 104 71 71 offun ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → Fun ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) )
121 simp3 ( ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) → 𝑖𝑉 )
122 12 121 anim12i ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝐼𝑊𝑖𝑉 ) )
123 122 3adant2 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝐼𝑊𝑖𝑉 ) )
124 1 7 4 frlmbasfsupp ( ( 𝐼𝑊𝑖𝑉 ) → 𝑖 finSupp 0 )
125 123 124 syl ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑖 finSupp 0 )
126 2 7 ring0cl ( 𝑅 ∈ Ring → 0𝐵 )
127 72 126 syl ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 0𝐵 )
128 2 3 7 ringrz ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵 ) → ( 𝑦 · 0 ) = 0 )
129 72 128 sylan ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑦𝐵 ) → ( 𝑦 · 0 ) = 0 )
130 71 127 100 84 129 suppofss2d ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑖 supp 0 ) )
131 fsuppsssupp ( ( ( ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) ∈ V ∧ Fun ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) ) ∧ ( 𝑖 finSupp 0 ∧ ( ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑖 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) finSupp 0 )
132 119 120 125 130 131 syl22anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) finSupp 0 )
133 118 132 eqbrtrrd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) finSupp 0 )
134 simp1 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝜑 )
135 eleq1w ( 𝑔 = → ( 𝑔𝑉𝑉 ) )
136 id ( 𝑔 = 𝑔 = )
137 136 136 oveq12d ( 𝑔 = → ( 𝑔 , 𝑔 ) = ( , ) )
138 137 eqeq1d ( 𝑔 = → ( ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ↔ ( , ) = 0 ) )
139 135 138 3anbi23d ( 𝑔 = → ( ( 𝜑𝑔𝑉 ∧ ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ) ↔ ( 𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) ) )
140 eqeq1 ( 𝑔 = → ( 𝑔 = 𝑂 = 𝑂 ) )
141 139 140 imbi12d ( 𝑔 = → ( ( ( 𝜑𝑔𝑉 ∧ ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂 ) ↔ ( ( 𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂 ) ) )
142 141 10 chvarvv ( ( 𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂 )
143 1 2 3 4 5 6 7 8 9 142 11 12 frlmphllem ( ( 𝜑𝑉𝑖𝑉 ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) finSupp 0 )
144 134 88 80 143 syl3anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) finSupp 0 )
145 2 7 69 70 71 87 92 93 94 133 144 gsummptfsadd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) )
146 1 2 3 frlmip ( ( 𝐼𝑊𝑅 ∈ DivRing ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ·𝑖𝑌 ) )
147 12 20 146 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ·𝑖𝑌 ) )
148 5 147 eqtr4id ( 𝜑, = ( 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) ) )
149 fveq1 ( 𝑒 = 𝑔 → ( 𝑒𝑥 ) = ( 𝑔𝑥 ) )
150 149 oveq1d ( 𝑒 = 𝑔 → ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) = ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) )
151 150 mpteq2dv ( 𝑒 = 𝑔 → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) )
152 151 oveq2d ( 𝑒 = 𝑔 → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) )
153 fveq1 ( 𝑓 = → ( 𝑓𝑥 ) = ( 𝑥 ) )
154 153 oveq2d ( 𝑓 = → ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) = ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) )
155 154 mpteq2dv ( 𝑓 = → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) )
156 155 oveq2d ( 𝑓 = → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) )
157 152 156 cbvmpov ( 𝑒 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) )
158 148 157 eqtr4di ( 𝜑, = ( 𝑒 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) ) )
159 158 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → , = ( 𝑒 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) ) )
160 simprl ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) )
161 160 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑒𝑥 ) = ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) )
162 simprr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑓 = 𝑖 )
163 162 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑓𝑥 ) = ( 𝑖𝑥 ) )
164 161 163 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) )
165 164 mpteq2dv ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
166 165 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
167 30 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑌 ∈ LMod )
168 22 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) )
169 168 fveq2d ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) )
170 2 169 eqtrid ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝐵 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) )
171 74 170 eleqtrd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) )
172 eqid ( ·𝑠𝑌 ) = ( ·𝑠𝑌 )
173 eqid ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) )
174 4 32 172 173 lmodvscl ( ( 𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑔𝑉 ) → ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉 )
175 167 171 76 174 syl3anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉 )
176 eqid ( +g𝑌 ) = ( +g𝑌 )
177 4 176 lmodvacl ( ( 𝑌 ∈ LMod ∧ ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉𝑉 ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∈ 𝑉 )
178 167 175 88 177 syl3anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∈ 𝑉 )
179 1 2 4 frlmbasmap ( ( 𝐼𝑊 ∧ ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
180 71 178 179 syl2anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
181 ovexd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ∈ V )
182 159 166 180 82 181 ovmpod ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
183 1 4 72 71 175 88 69 176 frlmplusgval ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) = ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∘f ( +g𝑅 ) ) )
184 1 2 4 frlmbasmap ( ( 𝐼𝑊 ∧ ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
185 71 175 184 syl2anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) )
186 elmapi ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) → ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) : 𝐼𝐵 )
187 ffn ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) : 𝐼𝐵 → ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) Fn 𝐼 )
188 185 186 187 3syl ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) Fn 𝐼 )
189 90 ffnd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → Fn 𝐼 )
190 71 adantr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → 𝐼𝑊 )
191 76 adantr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → 𝑔𝑉 )
192 1 4 2 190 75 191 109 172 3 frlmvscaval ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) )
193 eqidd ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( 𝑥 ) = ( 𝑥 ) )
194 188 189 71 71 53 192 193 offval ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ∘f ( +g𝑅 ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑥 ) ) ) )
195 183 194 eqtrd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑥 ) ) ) )
196 ovexd ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑥 ) ) ∈ V )
197 195 196 fvmpt2d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑥 ) ) )
198 197 oveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) )
199 2 69 3 ringdir ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑖𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
200 73 99 91 85 199 syl13anc ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
201 115 oveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔𝑥 ) ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
202 198 200 201 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) = ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
203 202 mpteq2dva ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
204 203 oveq2d ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) )
205 182 204 eqtrd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ( +g𝑅 ) ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) )
206 simprl ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑒 = 𝑔 )
207 206 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑒𝑥 ) = ( 𝑔𝑥 ) )
208 simprr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑓 = 𝑖 )
209 208 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑓𝑥 ) = ( 𝑖𝑥 ) )
210 207 209 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖 ) ) → ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) = ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) )
211 210 mpteq2dv ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
212 211 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
213 ovexd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ∈ V )
214 159 212 77 82 213 ovmpod ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑔 , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
215 214 oveq2d ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) )
216 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 frlmphllem ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑖𝑉 ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) finSupp 0 )
217 134 76 80 216 syl3anc ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) finSupp 0 )
218 2 7 3 72 71 74 86 217 gsummulc2 ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) )
219 215 218 eqtr4d ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) )
220 simprl ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑒 = )
221 220 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑒𝑥 ) = ( 𝑥 ) )
222 simprr ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑓 = 𝑖 )
223 222 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑓𝑥 ) = ( 𝑖𝑥 ) )
224 221 223 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) = ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) )
225 224 mpteq2dv ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) )
226 225 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
227 ovexd ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ∈ V )
228 159 226 89 82 227 ovmpod ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) )
229 219 228 oveq12d ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) ( +g𝑅 ) ( , 𝑖 ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) ( +g𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑖𝑥 ) ) ) ) ) )
230 145 205 229 3eqtr4d ( ( 𝜑𝑘𝐵 ∧ ( 𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠𝑌 ) 𝑔 ) ( +g𝑌 ) ) , 𝑖 ) = ( ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) ( +g𝑅 ) ( , 𝑖 ) ) )
231 35 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → 𝑅 ∈ CRing )
232 231 adantr ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → 𝑅 ∈ CRing )
233 2 3 crngcom ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ ( 𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔𝑥 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) = ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) )
234 232 63 62 233 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ 𝑥𝐼 ) → ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) = ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) )
235 234 mpteq2dva ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) )
236 235 oveq2d ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) )
237 158 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → , = ( 𝑒 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) ) )
238 simprl ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑔 ) ) → 𝑒 = )
239 238 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑒𝑥 ) = ( 𝑥 ) )
240 simprr ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑔 ) ) → 𝑓 = 𝑔 )
241 240 fveq1d ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑓𝑥 ) = ( 𝑔𝑥 ) )
242 239 241 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) = ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) )
243 242 mpteq2dv ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) ) )
244 243 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑒𝑥 ) · ( 𝑓𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ) )
245 ovexd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ) ∈ V )
246 237 244 49 44 245 ovmpod ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( , 𝑔 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑥 ) · ( 𝑔𝑥 ) ) ) ) )
247 fveq2 ( 𝑥 = ( 𝑔 , ) → ( 𝑥 ) = ( ‘ ( 𝑔 , ) ) )
248 id ( 𝑥 = ( 𝑔 , ) → 𝑥 = ( 𝑔 , ) )
249 247 248 eqeq12d ( 𝑥 = ( 𝑔 , ) → ( ( 𝑥 ) = 𝑥 ↔ ( ‘ ( 𝑔 , ) ) = ( 𝑔 , ) ) )
250 11 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ) = 𝑥 )
251 250 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ) = 𝑥 )
252 249 251 68 rspcdva ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( ‘ ( 𝑔 , ) ) = ( 𝑔 , ) )
253 252 58 eqtrd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( ‘ ( 𝑔 , ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥𝐼 ↦ ( ( 𝑔𝑥 ) · ( 𝑥 ) ) ) ) )
254 236 246 253 3eqtr4rd ( ( 𝜑𝑔𝑉𝑉 ) → ( ‘ ( 𝑔 , ) ) = ( , 𝑔 ) )
255 13 14 15 16 17 22 23 24 25 26 27 34 36 68 230 10 254 isphld ( 𝜑𝑌 ∈ PreHil )