Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frlmphl.y |
⊢ 𝑌 = ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) |
2 |
|
frlmphl.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
frlmphl.t |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
frlmphl.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑌 ) |
5 |
|
frlmphl.j |
⊢ , = ( ·𝑖 ‘ 𝑌 ) |
6 |
|
frlmphl.o |
⊢ 𝑂 = ( 0g ‘ 𝑌 ) |
7 |
|
frlmphl.0 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
8 |
|
frlmphl.s |
⊢ ∗ = ( *𝑟 ‘ 𝑅 ) |
9 |
|
frlmphl.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Field ) |
10 |
|
frlmphl.m |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂 ) |
11 |
|
frlmphl.u |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ) |
12 |
|
frlmphl.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊 ) |
13 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 = ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
14 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( +g ‘ 𝑌 ) = ( +g ‘ 𝑌 ) ) |
15 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) ) |
16 |
5
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → , = ( ·𝑖 ‘ 𝑌 ) ) |
17 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 = ( 0g ‘ 𝑌 ) ) |
18 |
|
isfld |
⊢ ( 𝑅 ∈ Field ↔ ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ) |
19 |
9 18
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ) |
20 |
19
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing ) |
21 |
1
|
frlmsca |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
22 |
20 12 21
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
23 |
2
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
24 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 ) ) |
25 |
3
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → · = ( .r ‘ 𝑅 ) ) |
26 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ∗ = ( *𝑟 ‘ 𝑅 ) ) |
27 |
7
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
28 |
20
|
drngringd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring ) |
29 |
1
|
frlmlmod |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
30 |
28 12 29
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ LMod ) |
31 |
22 20
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( Scalar ‘ 𝑌 ) ∈ DivRing ) |
32 |
|
eqid |
⊢ ( Scalar ‘ 𝑌 ) = ( Scalar ‘ 𝑌 ) |
33 |
32
|
islvec |
⊢ ( 𝑌 ∈ LVec ↔ ( 𝑌 ∈ LMod ∧ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ∈ DivRing ) ) |
34 |
30 31 33
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ LVec ) |
35 |
9
|
fldcrngd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing ) |
36 |
2 8 35 11
|
idsrngd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring ) |
37 |
12
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝐼 ∈ 𝑊 ) |
38 |
28
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
39 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝑔 ∈ 𝑉 ) |
40 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ℎ ∈ 𝑉 ) |
41 |
1 2 3 4 5
|
frlmipval |
⊢ ( ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑔 , ℎ ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∘f · ℎ ) ) ) |
42 |
37 38 39 40 41
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑔 , ℎ ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∘f · ℎ ) ) ) |
43 |
1 2 4
|
frlmbasmap |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
44 |
37 39 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
45 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
46 |
44 45
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
47 |
46
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝑔 Fn 𝐼 ) |
48 |
1 2 4
|
frlmbasmap |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
49 |
37 40 48
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
50 |
|
elmapi |
⊢ ( ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) → ℎ : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
51 |
49 50
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ℎ : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
52 |
51
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ℎ Fn 𝐼 ) |
53 |
|
inidm |
⊢ ( 𝐼 ∩ 𝐼 ) = 𝐼 |
54 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) |
55 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) |
56 |
47 52 37 37 53 54 55
|
offval |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑔 ∘f · ℎ ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
57 |
56
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∘f · ℎ ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
58 |
42 57
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑔 , ℎ ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
59 |
28
|
ringcmnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd ) |
60 |
59
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝑅 ∈ CMnd ) |
61 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
62 |
46
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
63 |
51
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
64 |
2 3 61 62 63
|
ringcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ) |
65 |
64
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
66 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
frlmphllem |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) finSupp 0 ) |
67 |
2 7 60 37 65 66
|
gsumcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
68 |
58 67
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑔 , ℎ ) ∈ 𝐵 ) |
69 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 ) |
70 |
59
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑅 ∈ CMnd ) |
71 |
12
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑊 ) |
72 |
28
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
73 |
72
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
74 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑘 ∈ 𝐵 ) |
75 |
74
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑘 ∈ 𝐵 ) |
76 |
|
simp31 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑔 ∈ 𝑉 ) |
77 |
71 76 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
78 |
77 45
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
79 |
78
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
80 |
|
simp33 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑖 ∈ 𝑉 ) |
81 |
1 2 4
|
frlmbasmap |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) → 𝑖 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
82 |
71 80 81
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑖 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
83 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) → 𝑖 : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
84 |
82 83
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑖 : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
85 |
84
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
86 |
2 3 73 79 85
|
ringcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ) |
87 |
2 3 73 75 86
|
ringcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
88 |
|
simp32 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ℎ ∈ 𝑉 ) |
89 |
71 88 48
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
90 |
89 50
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ℎ : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
91 |
90
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
92 |
2 3 73 91 85
|
ringcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ) |
93 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
94 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
95 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) |
96 |
95
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) |
97 |
96
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) |
98 |
97
|
oveq1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) |
99 |
2 3 73 75 79
|
ringcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ) |
100 |
99
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
101 |
100
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) Fn 𝐼 ) |
102 |
97
|
fneq1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) Fn 𝐼 ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) Fn 𝐼 ) |
103 |
101 102
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) Fn 𝐼 ) |
104 |
84
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑖 Fn 𝐼 ) |
105 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) ) |
106 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 = 𝑥 ) |
107 |
106
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) |
108 |
107
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) |
109 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ 𝐼 ) |
110 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ∈ V ) |
111 |
105 108 109 110
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) |
112 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) |
113 |
103 104 71 71 53 111 112
|
offval |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
114 |
2 3
|
ringass |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
115 |
73 75 79 85 114
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
116 |
115
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
117 |
113 116
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
118 |
98 117
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
119 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) ∈ V ) |
120 |
101 104 71 71
|
offun |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → Fun ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) ) |
121 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) → 𝑖 ∈ 𝑉 ) |
122 |
12 121
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) |
123 |
122
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) |
124 |
1 7 4
|
frlmbasfsupp |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) → 𝑖 finSupp 0 ) |
125 |
123 124
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑖 finSupp 0 ) |
126 |
2 7
|
ring0cl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵 ) |
127 |
72 126
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 0 ∈ 𝐵 ) |
128 |
2 3 7
|
ringrz |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 · 0 ) = 0 ) |
129 |
72 128
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 · 0 ) = 0 ) |
130 |
71 127 100 84 129
|
suppofss2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑖 supp 0 ) ) |
131 |
|
fsuppsssupp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) ∈ V ∧ Fun ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) ) ∧ ( 𝑖 finSupp 0 ∧ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑖 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) finSupp 0 ) |
132 |
119 120 125 130 131
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f · 𝑖 ) finSupp 0 ) |
133 |
118 132
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) finSupp 0 ) |
134 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝜑 ) |
135 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝑔 ∈ 𝑉 ↔ ℎ ∈ 𝑉 ) ) |
136 |
|
id |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → 𝑔 = ℎ ) |
137 |
136 136
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝑔 , 𝑔 ) = ( ℎ , ℎ ) ) |
138 |
137
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ↔ ( ℎ , ℎ ) = 0 ) ) |
139 |
135 138
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ ( ℎ , ℎ ) = 0 ) ) ) |
140 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝑔 = 𝑂 ↔ ℎ = 𝑂 ) ) |
141 |
139 140
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑔 , 𝑔 ) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ ( ℎ , ℎ ) = 0 ) → ℎ = 𝑂 ) ) ) |
142 |
141 10
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ ( ℎ , ℎ ) = 0 ) → ℎ = 𝑂 ) |
143 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 142 11 12
|
frlmphllem |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) finSupp 0 ) |
144 |
134 88 80 143
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) finSupp 0 ) |
145 |
2 7 69 70 71 87 92 93 94 133 144
|
gsummptfsadd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
146 |
1 2 3
|
frlmip |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ DivRing ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ·𝑖 ‘ 𝑌 ) ) |
147 |
12 20 146
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ·𝑖 ‘ 𝑌 ) ) |
148 |
5 147
|
eqtr4id |
⊢ ( 𝜑 → , = ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
149 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑒 = 𝑔 → ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) |
150 |
149
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑒 = 𝑔 → ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) |
151 |
150
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑒 = 𝑔 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
152 |
151
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑒 = 𝑔 → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
153 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) |
154 |
153
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) |
155 |
154
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
156 |
155
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
157 |
152 156
|
cbvmpov |
⊢ ( 𝑒 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , ℎ ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
158 |
148 157
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝜑 → , = ( 𝑒 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
159 |
158
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → , = ( 𝑒 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
160 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ) |
161 |
160
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) ) |
162 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑓 = 𝑖 ) |
163 |
162
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) |
164 |
161 163
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) |
165 |
164
|
mpteq2dv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
166 |
165
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
167 |
30
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
168 |
22
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
169 |
168
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
170 |
2 169
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐵 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
171 |
74 170
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
172 |
|
eqid |
⊢ ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) |
173 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
174 |
4 32 172 173
|
lmodvscl |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉 ) |
175 |
167 171 76 174
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉 ) |
176 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝑌 ) = ( +g ‘ 𝑌 ) |
177 |
4 176
|
lmodvacl |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ LMod ∧ ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∈ 𝑉 ) |
178 |
167 175 88 177
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∈ 𝑉 ) |
179 |
1 2 4
|
frlmbasmap |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
180 |
71 178 179
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
181 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ V ) |
182 |
159 166 180 82 181
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
183 |
1 4 72 71 175 88 69 176
|
frlmplusgval |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) = ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∘f ( +g ‘ 𝑅 ) ℎ ) ) |
184 |
1 2 4
|
frlmbasmap |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
185 |
71 175 184
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
186 |
|
elmapi |
⊢ ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) → ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
187 |
|
ffn |
⊢ ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) : 𝐼 ⟶ 𝐵 → ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) Fn 𝐼 ) |
188 |
185 186 187
|
3syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) Fn 𝐼 ) |
189 |
90
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ℎ Fn 𝐼 ) |
190 |
71
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝐼 ∈ 𝑊 ) |
191 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑔 ∈ 𝑉 ) |
192 |
1 4 2 190 75 191 109 172 3
|
frlmvscaval |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) |
193 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) |
194 |
188 189 71 71 53 192 193
|
offval |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ∘f ( +g ‘ 𝑅 ) ℎ ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
195 |
183 194
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
196 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ V ) |
197 |
195 196
|
fvmpt2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) |
198 |
197
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) |
199 |
2 69 3
|
ringdir |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
200 |
73 99 91 85 199
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
201 |
115
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑘 · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
202 |
198 200 201
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
203 |
202
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
204 |
203
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
205 |
182 204
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
206 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑒 = 𝑔 ) |
207 |
206
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) |
208 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑓 = 𝑖 ) |
209 |
208
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) |
210 |
207 209
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) |
211 |
210
|
mpteq2dv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
212 |
211
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
213 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ V ) |
214 |
159 212 77 82 213
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑔 , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
215 |
214
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
216 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
frlmphllem |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) finSupp 0 ) |
217 |
134 76 80 216
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) finSupp 0 ) |
218 |
2 7 3 72 71 74 86 217
|
gsummulc2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
219 |
215 218
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
220 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑒 = ℎ ) |
221 |
220
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) |
222 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → 𝑓 = 𝑖 ) |
223 |
222
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) |
224 |
221 223
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) |
225 |
224
|
mpteq2dv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
226 |
225
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑖 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
227 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ V ) |
228 |
159 226 89 82 227
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ℎ , 𝑖 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
229 |
219 228
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ , 𝑖 ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 · ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑖 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
230 |
145 205 229
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑘 ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) 𝑔 ) ( +g ‘ 𝑌 ) ℎ ) , 𝑖 ) = ( ( 𝑘 · ( 𝑔 , 𝑖 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ℎ , 𝑖 ) ) ) |
231 |
35
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → 𝑅 ∈ CRing ) |
232 |
231
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ CRing ) |
233 |
2 3
|
crngcom |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) |
234 |
232 63 62 233
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) |
235 |
234
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
236 |
235
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
237 |
158
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → , = ( 𝑒 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) , 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
238 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑔 ) ) → 𝑒 = ℎ ) |
239 |
238
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) |
240 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑔 ) ) → 𝑓 = 𝑔 ) |
241 |
240
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) |
242 |
239 241
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) |
243 |
242
|
mpteq2dv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
244 |
243
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑒 = ℎ ∧ 𝑓 = 𝑔 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑥 ) · ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
245 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ V ) |
246 |
237 244 49 44 245
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( ℎ , 𝑔 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) · ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
247 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑔 , ℎ ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ ( 𝑔 , ℎ ) ) ) |
248 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑔 , ℎ ) → 𝑥 = ( 𝑔 , ℎ ) ) |
249 |
247 248
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑔 , ℎ ) → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘ ( 𝑔 , ℎ ) ) = ( 𝑔 , ℎ ) ) ) |
250 |
11
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ) |
251 |
250
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ) |
252 |
249 251 68
|
rspcdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( ∗ ‘ ( 𝑔 , ℎ ) ) = ( 𝑔 , ℎ ) ) |
253 |
252 58
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( ∗ ‘ ( 𝑔 , ℎ ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) · ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
254 |
236 246 253
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉 ) → ( ∗ ‘ ( 𝑔 , ℎ ) ) = ( ℎ , 𝑔 ) ) |
255 |
13 14 15 16 17 22 23 24 25 26 27 34 36 68 230 10 254
|
isphld |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ PreHil ) |