Theorem fsumsplitsnun

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018) (Revised by AV, 17-Dec-2021)

	Ref	Expression
Assertion	fsumsplitsnun	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel	⊢ ( 𝑍 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴 )
2		disjsn	⊢ ( ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴 )
3	1 2	sylbb2	⊢ ( 𝑍 ∉ 𝐴 → ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ )
4	3	adantl	⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) → ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ )
5	4	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ )
6		eqidd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) = ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) )
7		snfi	⊢ { 𝑍 } ∈ Fin
8		unfi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ { 𝑍 } ∈ Fin ) → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
9	7 8	mpan2	⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
10	9	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
11		rspcsbela	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
12	11	expcom	⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ ) )
13	12	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ ) )
14	13	imp	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
15	14	zcnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ )
16	5 6 10 15	fsumsplit	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 = ( Σ 𝑥 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 + Σ 𝑥 ∈ { 𝑍 } ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )
17		csbeq1a	⊢ ( 𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
18		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐵
19		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
20	17 18 19	cbvsum	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = Σ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
21	17 18 19	cbvsum	⊢ Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ 𝑥 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
22	17 18 19	cbvsum	⊢ Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 = Σ 𝑥 ∈ { 𝑍 } ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
23	21 22	oveq12i	⊢ ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 ) = ( Σ 𝑥 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 + Σ 𝑥 ∈ { 𝑍 } ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
24	16 20 23	3eqtr4g	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 ) )
25		simp2l	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → 𝑍 ∈ 𝑉 )
26		snidg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
27	26	adantr	⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
28	27	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
29		elun2	⊢ ( 𝑍 ∈ { 𝑍 } → 𝑍 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) )
30	28 29	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → 𝑍 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) )
31		simp3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ )
32		rspcsbela	⊢ ( ( 𝑍 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
33	30 31 32	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
34	33	zcnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ )
35		sumsns	⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 = ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
36	25 34 35	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 = ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
37	36	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 ) = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )
38	24 37	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )