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Theorem fsuppunbi

Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019)

Ref Expression
Hypothesis fsuppunbi.u ⊢ ( 𝜑 → Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) )
Assertion fsuppunbi ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 ↔ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fsuppunbi.u ⊢ ( 𝜑 → Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) )
2 relfsupp ⊢ Rel finSupp
3 2 brrelex12i ⊢ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V ) )
4 unexb ⊢ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ↔ ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∈ V )
5 simpr ⊢ ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
6 5 adantr ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
7 simprlr ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → 𝐺 ∈ V )
8 7 suppun ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝐹 supp 𝑍 ) ⊆ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) )
9 6 8 ssfid ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∈ Fin )
10 fununfun ⊢ ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) → ( Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺 ) )
11 10 simpld ⊢ ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) → Fun 𝐹 )
12 11 adantr ⊢ ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) → Fun 𝐹 )
13 12 adantr ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → Fun 𝐹 )
14 simprll ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → 𝐹 ∈ V )
15 simpr ⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) → 𝑍 ∈ V )
16 15 adantl ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → 𝑍 ∈ V )
17 funisfsupp ⊢ ( ( Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V ) → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ↔ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∈ Fin ) )
18 13 14 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ↔ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∈ Fin ) )
19 9 18 mpbird ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → 𝐹 finSupp 𝑍 )
20 uncom ⊢ ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∪ 𝐹 )
21 20 oveq1i ⊢ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) = ( ( 𝐺 ∪ 𝐹 ) supp 𝑍 )
22 21 eleq1i ⊢ ( ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ↔ ( ( 𝐺 ∪ 𝐹 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
23 22 biimpi ⊢ ( ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin → ( ( 𝐺 ∪ 𝐹 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
24 23 adantl ⊢ ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝐺 ∪ 𝐹 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
25 24 adantr ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( ( 𝐺 ∪ 𝐹 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
26 14 suppun ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝐺 supp 𝑍 ) ⊆ ( ( 𝐺 ∪ 𝐹 ) supp 𝑍 ) )
27 25 26 ssfid ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝐺 supp 𝑍 ) ∈ Fin )
28 10 simprd ⊢ ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) → Fun 𝐺 )
29 28 adantr ⊢ ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) → Fun 𝐺 )
30 29 adantr ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → Fun 𝐺 )
31 funisfsupp ⊢ ( ( Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V ) → ( 𝐺 finSupp 𝑍 ↔ ( 𝐺 supp 𝑍 ) ∈ Fin ) )
32 30 7 16 31 syl3anc ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝐺 finSupp 𝑍 ↔ ( 𝐺 supp 𝑍 ) ∈ Fin ) )
33 27 32 mpbird ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → 𝐺 finSupp 𝑍 )
34 19 33 jca ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) )
35 34 a1d ⊢ ( ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) ) → ( 𝜑 → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) )
36 35 ex ⊢ ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) → ( ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) → ( 𝜑 → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) ) )
37 fsuppimp ⊢ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 → ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) )
38 36 37 syl11 ⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) ∧ 𝑍 ∈ V ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 → ( 𝜑 → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) ) )
39 4 38 sylanbr ⊢ ( ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 → ( 𝜑 → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) ) )
40 3 39 mpcom ⊢ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 → ( 𝜑 → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) )
41 40 com12 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 → ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) )
42 simpl ⊢ ( ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) → 𝐹 finSupp 𝑍 )
43 simpr ⊢ ( ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) → 𝐺 finSupp 𝑍 )
44 42 43 fsuppun ⊢ ( ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
45 44 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin )
46 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) → Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) )
47 2 brrelex1i ⊢ ( 𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V )
48 2 brrelex1i ⊢ ( 𝐺 finSupp 𝑍 → 𝐺 ∈ V )
49 unexg ⊢ ( ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ) → ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∈ V )
50 47 48 49 syl2an ⊢ ( ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) → ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∈ V )
51 50 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) → ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∈ V )
52 2 brrelex2i ⊢ ( 𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V )
53 52 adantr ⊢ ( ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) → 𝑍 ∈ V )
54 53 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) → 𝑍 ∈ V )
55 funisfsupp ⊢ ( ( Fun ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∧ ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 ↔ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) )
56 46 51 54 55 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 ↔ ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) supp 𝑍 ) ∈ Fin ) )
57 45 56 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) → ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 )
58 57 ex ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) → ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 ) )
59 41 58 impbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ∪ 𝐺 ) finSupp 𝑍 ↔ ( 𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍 ) ) )