Theorem fzctr

Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014)

	Ref	Expression
Assertion	fzctr	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁 )
2		nn0re	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ )
3		nn0addge1	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑁 + 𝑁 ) )
4	2 3	mpancom	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ ( 𝑁 + 𝑁 ) )
5		nn0cn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ )
6	5	2timesd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 2 · 𝑁 ) = ( 𝑁 + 𝑁 ) )
7	4 6	breqtrrd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ ( 2 · 𝑁 ) )
8		nn0z	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ )
9		0zd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ )
10		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
11		zmulcl	⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ )
12	10 8 11	sylancr	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ )
13		elfz	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) ↔ ( 0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) )
14	8 9 12 13	syl3anc	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) ↔ ( 0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) )
15	1 7 14	mpbir2and	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) )