Theorem fzodif2

Description: Split the last element of a half-open range of sequential integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021)

	Ref	Expression
Assertion	fzodif2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosplitsn	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) )
2	1	difeq1d	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) )
3		difun2	⊢ ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } )
4	2 3	eqtrdi	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) )
5		fzonel	⊢ ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 )
6		disjsn	⊢ ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
7	5 6	mpbir	⊢ ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅
8		disjdif2	⊢ ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ → ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
9	7 8	mp1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
10	4 9	eqtrd	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )