Theorem fzrev2i

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005)

	Ref	Expression
Assertion	fzrev2i	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
2		elfzel1	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
3	2	adantl	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
4		elfzel2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
5	4	adantl	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
6		simpl	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐽 ∈ ℤ )
7		elfzelz	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
8	7	adantl	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
9		fzrev2	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) ) )
10	3 5 6 8 9	syl22anc	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) ) )
11	1 10	mpbid	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) )