Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
znegcl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → - 𝐾 ∈ ℤ ) |
2 |
|
fzaddel |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ - 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐽 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 + - 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + - 𝐾 ) ... ( 𝑁 + - 𝐾 ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
sylanr2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐽 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 + - 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + - 𝐾 ) ... ( 𝑁 + - 𝐾 ) ) ) ) |
4 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
5 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
6 |
4 5
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ) |
7 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ ) |
8 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
9 |
7 8
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) |
10 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 𝐽 + - 𝐾 ) = ( 𝐽 − 𝐾 ) ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) → ( 𝐽 + - 𝐾 ) = ( 𝐽 − 𝐾 ) ) |
12 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 𝑀 + - 𝐾 ) = ( 𝑀 − 𝐾 ) ) |
13 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 + - 𝐾 ) = ( 𝑁 − 𝐾 ) ) |
14 |
12 13
|
oveqan12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑀 + - 𝐾 ) ... ( 𝑁 + - 𝐾 ) ) = ( ( 𝑀 − 𝐾 ) ... ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |
15 |
14
|
anandirs |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + - 𝐾 ) ... ( 𝑁 + - 𝐾 ) ) = ( ( 𝑀 − 𝐾 ) ... ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |
16 |
15
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑀 + - 𝐾 ) ... ( 𝑁 + - 𝐾 ) ) = ( ( 𝑀 − 𝐾 ) ... ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |
17 |
11 16
|
eleq12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐽 + - 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + - 𝐾 ) ... ( 𝑁 + - 𝐾 ) ) ↔ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 − 𝐾 ) ... ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) |
18 |
6 9 17
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐽 + - 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + - 𝐾 ) ... ( 𝑁 + - 𝐾 ) ) ↔ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 − 𝐾 ) ... ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) |
19 |
3 18
|
bitrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐽 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 − 𝐾 ) ... ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) |