| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
gass.1 |
⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
| 2 |
|
ovres |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ) |
| 3 |
2
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ) |
| 4 |
1
|
gaf |
⊢ ( ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) → ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) : ( 𝑋 × 𝑍 ) ⟶ 𝑍 ) |
| 5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ) → ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) : ( 𝑋 × 𝑍 ) ⟶ 𝑍 ) |
| 6 |
5
|
fovcdmda |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) |
| 7 |
3 6
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) |
| 8 |
7
|
ralrimivva |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) |
| 9 |
|
gagrp |
⊢ ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
| 10 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
| 11 |
|
gaset |
⊢ ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) → 𝑌 ∈ V ) |
| 12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) → 𝑌 ∈ V ) |
| 13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) → 𝑍 ⊆ 𝑌 ) |
| 14 |
12 13
|
ssexd |
⊢ ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) → 𝑍 ∈ V ) |
| 15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → 𝑍 ∈ V ) |
| 16 |
10 15
|
jca |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ V ) ) |
| 17 |
1
|
gaf |
⊢ ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) → ⊕ : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑌 ) |
| 18 |
17
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ⊕ : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑌 ) |
| 19 |
18
|
ffnd |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ⊕ Fn ( 𝑋 × 𝑌 ) ) |
| 20 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → 𝑍 ⊆ 𝑌 ) |
| 21 |
|
xpss2 |
⊢ ( 𝑍 ⊆ 𝑌 → ( 𝑋 × 𝑍 ) ⊆ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) |
| 22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝑋 × 𝑍 ) ⊆ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) |
| 23 |
|
fnssres |
⊢ ( ( ⊕ Fn ( 𝑋 × 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑍 ) ⊆ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) → ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) Fn ( 𝑋 × 𝑍 ) ) |
| 24 |
19 22 23
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) Fn ( 𝑋 × 𝑍 ) ) |
| 25 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) |
| 26 |
2
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) ∈ 𝑍 ↔ ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ) |
| 27 |
26
|
ralbidva |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) ∈ 𝑍 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ) |
| 28 |
27
|
ralbiia |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) ∈ 𝑍 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) |
| 29 |
25 28
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) |
| 30 |
|
ffnov |
⊢ ( ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) : ( 𝑋 × 𝑍 ) ⟶ 𝑍 ↔ ( ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) Fn ( 𝑋 × 𝑍 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ) |
| 31 |
24 29 30
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) : ( 𝑋 × 𝑍 ) ⟶ 𝑍 ) |
| 32 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
| 33 |
1 32
|
grpidcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑋 ) |
| 34 |
10 33
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑋 ) |
| 35 |
|
ovres |
⊢ ( ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ⊕ 𝑧 ) ) |
| 36 |
34 35
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ⊕ 𝑧 ) ) |
| 37 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ) |
| 38 |
20
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝑧 ∈ 𝑌 ) |
| 39 |
32
|
gagrpid |
⊢ ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑌 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ⊕ 𝑧 ) = 𝑧 ) |
| 40 |
37 38 39
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ⊕ 𝑧 ) = 𝑧 ) |
| 41 |
36 40
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = 𝑧 ) |
| 42 |
37
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ) |
| 43 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑋 ) |
| 44 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑋 ) |
| 45 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑌 ) |
| 46 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
| 47 |
1 46
|
gaass |
⊢ ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ⊕ 𝑧 ) = ( 𝑢 ⊕ ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) ) |
| 48 |
42 43 44 45 47
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ⊕ 𝑧 ) = ( 𝑢 ⊕ ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) ) |
| 49 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑍 ) |
| 50 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) |
| 51 |
|
ovrspc2v |
⊢ ( ( ( 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ∈ 𝑍 ) |
| 52 |
44 49 50 51
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ∈ 𝑍 ) |
| 53 |
|
ovres |
⊢ ( ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) = ( 𝑢 ⊕ ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) ) |
| 54 |
43 52 53
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) = ( 𝑢 ⊕ ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) ) |
| 55 |
48 54
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ⊕ 𝑧 ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) ) |
| 56 |
10
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
| 57 |
1 46
|
grpcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ∈ 𝑋 ) |
| 58 |
56 43 44 57
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ∈ 𝑋 ) |
| 59 |
|
ovres |
⊢ ( ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ⊕ 𝑧 ) ) |
| 60 |
58 49 59
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ⊕ 𝑧 ) ) |
| 61 |
|
ovres |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) |
| 62 |
44 49 61
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) |
| 63 |
62
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ⊕ 𝑧 ) ) ) |
| 64 |
55 60 63
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) ) ) |
| 65 |
64
|
ralrimivva |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) ) ) |
| 66 |
41 65
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = 𝑧 ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) ) ) ) |
| 67 |
66
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝑍 ( ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = 𝑧 ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) ) ) ) |
| 68 |
31 67
|
jca |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) : ( 𝑋 × 𝑍 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝑍 ( ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = 𝑧 ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) ) ) ) ) |
| 69 |
1 46 32
|
isga |
⊢ ( ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ↔ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ V ) ∧ ( ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) : ( 𝑋 × 𝑍 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝑍 ( ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = 𝑧 ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑣 ) ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑢 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ( 𝑣 ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
| 70 |
16 68 69
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) → ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ) |
| 71 |
8 70
|
impbida |
⊢ ( ( ⊕ ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑌 ) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑌 ) → ( ( ⊕ ↾ ( 𝑋 × 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpAct 𝑍 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑍 ( 𝑥 ⊕ 𝑦 ) ∈ 𝑍 ) ) |