Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gausslemma2d.p |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) |
2 |
|
gausslemma2d.h |
⊢ 𝐻 = ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) |
3 |
|
gausslemma2d.r |
⊢ 𝑅 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↦ if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
4 |
|
gausslemma2d.m |
⊢ 𝑀 = ( ⌊ ‘ ( 𝑃 / 4 ) ) |
5 |
|
gausslemma2d.n |
⊢ 𝑁 = ( 𝐻 − 𝑀 ) |
6 |
1 2 3 4 5
|
gausslemma2dlem7 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = 1 ) |
7 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
8 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ ) |
9 |
8
|
nnred |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ ) |
10 |
|
prmgt1 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃 ) |
11 |
9 10
|
jca |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃 ) ) |
12 |
|
1mod |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃 ) → ( 1 mod 𝑃 ) = 1 ) |
13 |
1 7 11 12
|
4syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 mod 𝑃 ) = 1 ) |
14 |
13
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 1 = ( 1 mod 𝑃 ) ) |
15 |
14
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ) ) |
16 |
|
neg1z |
⊢ - 1 ∈ ℤ |
17 |
1 4 2 5
|
gausslemma2dlem0h |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
18 |
|
zexpcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( - 1 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
19 |
16 17 18
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
20 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
21 |
20
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℕ ) |
22 |
1 2
|
gausslemma2dlem0b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ ) |
23 |
22
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0 ) |
24 |
21 23
|
nnexpcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ 𝐻 ) ∈ ℕ ) |
25 |
24
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ 𝐻 ) ∈ ℤ ) |
26 |
19 25
|
zmulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) ∈ ℤ ) |
27 |
26
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) ∈ ℝ ) |
28 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
29 |
27 28
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ) → ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) ) |
31 |
1
|
gausslemma2dlem0a |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ ) |
32 |
31
|
nnrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+ ) |
33 |
19 32
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) ) |
35 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ) → ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ) |
36 |
|
modmul1 |
⊢ ( ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) ∧ ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ) → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 1 · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) ) |
37 |
30 34 35 36
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ) → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 1 · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) ) |
38 |
37
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 1 · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) ) ) |
39 |
19
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
40 |
24
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ 𝐻 ) ∈ ℂ ) |
41 |
39 40 39
|
mul32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) = ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) ) |
42 |
17
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
43 |
42
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) = ( 𝑁 + 𝑁 ) ) |
44 |
43
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
45 |
44
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 ↑ ( 𝑁 + 𝑁 ) ) = ( - 1 ↑ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
46 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
47 |
46
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → - 1 ∈ ℂ ) |
48 |
47 17 17
|
expaddd |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 ↑ ( 𝑁 + 𝑁 ) ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) ) |
49 |
17
|
nn0zd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
50 |
|
m1expeven |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( - 1 ↑ ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
51 |
49 50
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 ↑ ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
52 |
45 48 51
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) = 1 ) |
53 |
52
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) = ( 1 · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) ) |
54 |
40
|
mullidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) = ( 2 ↑ 𝐻 ) ) |
55 |
41 53 54
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) = ( 2 ↑ 𝐻 ) ) |
56 |
55
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 2 ↑ 𝐻 ) mod 𝑃 ) ) |
57 |
39
|
mullidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) ) |
59 |
56 58
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 1 · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) ↔ ( ( 2 ↑ 𝐻 ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) ) ) |
60 |
2
|
oveq2i |
⊢ ( 2 ↑ 𝐻 ) = ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
61 |
60
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 ↑ 𝐻 ) mod 𝑃 ) = ( ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) |
62 |
61
|
eqeq1i |
⊢ ( ( ( 2 ↑ 𝐻 ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) ↔ ( ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) ) |
63 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
64 |
|
lgsvalmod |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) → ( ( 2 /L 𝑃 ) mod 𝑃 ) = ( ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) ) |
65 |
63 1 64
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 /L 𝑃 ) mod 𝑃 ) = ( ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) ) |
66 |
65
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 2 /L 𝑃 ) mod 𝑃 ) ) |
67 |
66
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) ↔ ( ( 2 /L 𝑃 ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) ) ) |
68 |
1 4 2 5
|
gausslemma2dlem0i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 /L 𝑃 ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) → ( 2 /L 𝑃 ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) ) |
69 |
67 68
|
sylbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) → ( 2 /L 𝑃 ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) ) |
70 |
62 69
|
biimtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 ↑ 𝐻 ) mod 𝑃 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) mod 𝑃 ) → ( 2 /L 𝑃 ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) ) |
71 |
59 70
|
sylbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 1 · ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) mod 𝑃 ) → ( 2 /L 𝑃 ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) ) |
72 |
38 71
|
syld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) → ( 2 /L 𝑃 ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) ) |
73 |
15 72
|
sylbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( - 1 ↑ 𝑁 ) · ( 2 ↑ 𝐻 ) ) mod 𝑃 ) = 1 → ( 2 /L 𝑃 ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) ) |
74 |
6 73
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 /L 𝑃 ) = ( - 1 ↑ 𝑁 ) ) |