Theorem gausslemma2dlem0h

Description: Auxiliary lemma 8 for gausslemma2d . (Contributed by AV, 9-Jul-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	gausslemma2dlem0.p	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
	gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = ( ⌊ ‘ ( 𝑃 / 4 ) )
	gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 )
	gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = ( 𝐻 − 𝑀 )
Assertion	gausslemma2dlem0h	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.p	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
2		gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = ( ⌊ ‘ ( 𝑃 / 4 ) )
3		gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 )
4		gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = ( 𝐻 − 𝑀 )
5	1 3	gausslemma2dlem0b	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ )
6	5	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ )
7	1 2	gausslemma2dlem0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
8	7	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
9	6 8	zsubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 − 𝑀 ) ∈ ℤ )
10	1 2 3	gausslemma2dlem0g	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻 )
11	5	nnred	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ )
12	7	nn0red	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ )
13	11 12	subge0d	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( 𝐻 − 𝑀 ) ↔ 𝑀 ≤ 𝐻 ) )
14	10 13	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 𝐻 − 𝑀 ) )
15		elnn0z	⊢ ( ( 𝐻 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝐻 − 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( 𝐻 − 𝑀 ) ) )
16	9 14 15	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 )
17	4 16	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )