Theorem gausslemma2dlem1

Description: Lemma 1 for gausslemma2d . (Contributed by AV, 5-Jul-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	gausslemma2d.p	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
	gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 )
	gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↦ if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) )
Assertion	gausslemma2dlem1	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐻 ) = ∏ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ( 𝑅 ‘ 𝑘 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↦ if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) )
4	1 2	gausslemma2dlem0b	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ )
5	4	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0 )
6		fprodfac	⊢ ( 𝐻 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ 𝐻 ) = ∏ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑙 )
7	5 6	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐻 ) = ∏ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑙 )
8		id	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑅 ‘ 𝑘 ) → 𝑙 = ( 𝑅 ‘ 𝑘 ) )
9		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝐻 ) ∈ Fin )
10		fzfi	⊢ ( 1 ... 𝐻 ) ∈ Fin
11		ovex	⊢ ( 𝑥 · 2 ) ∈ V
12		ovex	⊢ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ V
13	11 12	ifex	⊢ if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ∈ V
14	13 3	fnmpti	⊢ 𝑅 Fn ( 1 ... 𝐻 )
15	1 2 3	gausslemma2dlem1a	⊢ ( 𝜑 → ran 𝑅 = ( 1 ... 𝐻 ) )
16		rneqdmfinf1o	⊢ ( ( ( 1 ... 𝐻 ) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn ( 1 ... 𝐻 ) ∧ ran 𝑅 = ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑅 : ( 1 ... 𝐻 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝐻 ) )
17	10 14 15 16	mp3an12i	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 : ( 1 ... 𝐻 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝐻 ) )
18		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑘 ) )
19		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
20	19	zcnd	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 𝑙 ∈ ℂ )
21	20	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑙 ∈ ℂ )
22	8 9 17 18 21	fprodf1o	⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑙 = ∏ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ( 𝑅 ‘ 𝑘 ) )
23	7 22	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐻 ) = ∏ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ( 𝑅 ‘ 𝑘 ) )