Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gausslemma2d.p |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) |
2 |
|
gausslemma2d.h |
⊢ 𝐻 = ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) |
3 |
|
gausslemma2d.r |
⊢ 𝑅 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↦ if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
4 |
3
|
elrnmpt |
⊢ ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) ) |
5 |
4
|
elv |
⊢ ( 𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
6 |
|
iftrue |
⊢ ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) = ( 𝑥 · 2 ) ) |
7 |
6
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
9 |
|
elfz1b |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ) |
10 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ ) |
11 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
12 |
11
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ ) |
13 |
10 12
|
nnmulcld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ) |
14 |
13
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ) |
15 |
14
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ∧ 𝜑 ∧ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ) |
16 |
2
|
eleq1i |
⊢ ( 𝐻 ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
17 |
16
|
biimpi |
⊢ ( 𝐻 ∈ ℕ → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
18 |
17
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
19 |
18
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ∧ 𝜑 ∧ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
20 |
|
nnoddn2prm |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ) |
21 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ ) |
22 |
21
|
anim1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ) |
23 |
20 22
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ) |
24 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ ) |
25 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
26 |
25
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ ) |
27 |
24 26
|
zmulcld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) |
28 |
27
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) |
29 |
23 28
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) |
30 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) |
31 |
29 30
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) |
32 |
31
|
ex |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) ) |
33 |
1 32
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) ) |
34 |
33
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) |
35 |
|
ltoddhalfle |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ↔ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
36 |
34 35
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ↔ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
37 |
36
|
biimp3a |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ∧ 𝜑 ∧ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) → ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
38 |
15 19 37
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) ∧ 𝜑 ∧ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
39 |
38
|
3exp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
40 |
9 39
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
41 |
40
|
impcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
42 |
41
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
43 |
2
|
oveq2i |
⊢ ( 1 ... 𝐻 ) = ( 1 ... ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
44 |
43
|
eleq2i |
⊢ ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ( 1 ... ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
45 |
|
elfz1b |
⊢ ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ( 1 ... ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ↔ ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
46 |
44 45
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
47 |
42 46
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) |
48 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 · 2 ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
49 |
47 48
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑦 = ( 𝑥 · 2 ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
50 |
8 49
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
51 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) = ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
52 |
51
|
eqeq2d |
⊢ ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
54 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
55 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ ) |
56 |
1 54 55
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ ) |
57 |
56
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℤ ) |
58 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
59 |
25
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 2 ∈ ℤ ) |
60 |
58 59
|
zmulcld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) |
61 |
60
|
ad2antll |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) |
62 |
57 61
|
zsubcld |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℤ ) |
63 |
55
|
zred |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ ) |
64 |
2
|
breq2i |
⊢ ( 𝑥 ≤ 𝐻 ↔ 𝑥 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
65 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ ) |
66 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
67 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
68 |
67
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
69 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
70 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
71 |
69 70
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) |
72 |
71
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
73 |
|
lemuldiv |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ↔ 𝑥 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
74 |
66 68 72 73
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ↔ 𝑥 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
75 |
64 74
|
bitr4id |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ≤ 𝐻 ↔ ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
76 |
13
|
nnred |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) |
77 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) |
78 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
79 |
77 68 78
|
lesub2d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( 𝑃 − ( 𝑃 − 1 ) ) ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
80 |
|
recn |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℂ ) |
81 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ ) |
82 |
80 81
|
nncand |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑃 − ( 𝑃 − 1 ) ) = 1 ) |
83 |
82
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑃 − ( 𝑃 − 1 ) ) = 1 ) |
84 |
83
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 − ( 𝑃 − 1 ) ) ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ↔ 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
85 |
84
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 − ( 𝑃 − 1 ) ) ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
86 |
79 85
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 · 2 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
87 |
75 86
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ≤ 𝐻 → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
88 |
87
|
impancom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( 𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
89 |
88
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻 ) → ( 𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
90 |
9 89
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( 𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
91 |
90
|
com12 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
92 |
1 54 63 91
|
4syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
93 |
92
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
94 |
93
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
95 |
|
elnnz1 |
⊢ ( ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
96 |
62 94 95
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℕ ) |
97 |
9
|
simp2bi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 𝐻 ∈ ℕ ) |
98 |
97
|
ad2antll |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → 𝐻 ∈ ℕ ) |
99 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ ) |
100 |
99
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ) |
101 |
100
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ) |
102 |
60
|
zred |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) |
103 |
|
lenlt |
⊢ ( ( ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ↔ ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
104 |
101 102 103
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ↔ ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
105 |
22 60
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) |
106 |
105 30
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) ) |
107 |
|
halfleoddlt |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ↔ ( 𝑃 / 2 ) < ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
108 |
106 107
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ↔ ( 𝑃 / 2 ) < ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
109 |
108
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( 𝑃 / 2 ) < ( 𝑥 · 2 ) ) |
110 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ ) |
111 |
|
subhalfhalf |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( 𝑃 / 2 ) ) |
112 |
110 111
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( 𝑃 / 2 ) ) |
113 |
112
|
breq1d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) < ( 𝑥 · 2 ) ↔ ( 𝑃 / 2 ) < ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
114 |
113
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) < ( 𝑥 · 2 ) ↔ ( 𝑃 / 2 ) < ( 𝑥 · 2 ) ) ) |
115 |
109 114
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) < ( 𝑥 · 2 ) ) |
116 |
99
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
117 |
100
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ) |
118 |
102
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) |
119 |
116 117 118
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) ) |
120 |
119
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) ) |
121 |
|
ltsub23 |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) < ( 𝑥 · 2 ) ↔ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
122 |
120 121
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) < ( 𝑥 · 2 ) ↔ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
123 |
115 122
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) < ( 𝑃 / 2 ) ) |
124 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑃 ∈ ℤ ) |
125 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ¬ 2 ∥ 𝑃 ) |
126 |
60
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑥 · 2 ) ∈ ℤ ) |
127 |
124 126
|
zsubcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℤ ) |
128 |
124 125 127
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℤ ) ) |
129 |
128
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℤ ) ) |
130 |
|
ltoddhalfle |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) < ( 𝑃 / 2 ) ↔ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
131 |
129 130
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) < ( 𝑃 / 2 ) ↔ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
132 |
123 131
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
133 |
132
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
134 |
2
|
breq2i |
⊢ ( ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ↔ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
135 |
133 134
|
imbitrrdi |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑥 · 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ) ) |
136 |
104 135
|
sylbird |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ) ) |
137 |
136
|
ex |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) → ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ) ) ) |
138 |
1 20 137
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ) ) ) |
139 |
138
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ) ) |
140 |
139
|
impcom |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ) |
141 |
|
elfz1b |
⊢ ( ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ≤ 𝐻 ) ) |
142 |
96 98 140 141
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) |
143 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
144 |
142 143
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑦 = ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
145 |
53 144
|
sylbid |
⊢ ( ( ¬ ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
146 |
50 145
|
pm2.61ian |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
147 |
146
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
148 |
|
elfz1b |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) |
149 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℕ ) |
150 |
|
simpl |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → 2 ∥ 𝑦 ) |
151 |
|
nnehalf |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑦 ) → ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℕ ) |
152 |
149 150 151
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℕ ) |
153 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 𝐻 ∈ ℕ ) |
154 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ ) |
155 |
154
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
156 |
|
nnrp |
⊢ ( 𝐻 ∈ ℕ → 𝐻 ∈ ℝ+ ) |
157 |
156
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → 𝐻 ∈ ℝ+ ) |
158 |
157
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → 𝐻 ∈ ℝ+ ) |
159 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
160 |
|
1le2 |
⊢ 1 ≤ 2 |
161 |
159 160
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2 ) |
162 |
161
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ( 2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2 ) ) |
163 |
|
ledivge1le |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐻 ∈ ℝ+ ∧ ( 2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2 ) ) → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
164 |
155 158 162 163
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
165 |
164
|
ex |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) ) |
166 |
165
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) ) |
167 |
166
|
3impia |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
168 |
167
|
impcom |
⊢ ( ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) |
169 |
152 153 168
|
3jca |
⊢ ( ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
170 |
169
|
ex |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → ( ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) ) |
171 |
148 170
|
biimtrid |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) ) |
172 |
171
|
3impia |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
173 |
|
elfz1b |
⊢ ( ( 𝑦 / 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( 𝑦 / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
174 |
172 173
|
sylibr |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑦 / 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) |
175 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 / 2 ) → ( 𝑥 · 2 ) = ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) |
176 |
175
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 / 2 ) → ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ↔ ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
177 |
175
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 / 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) = ( 𝑃 − ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) ) |
178 |
176 175 177
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 / 2 ) → if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) = if ( ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) ) ) |
179 |
178
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 / 2 ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = if ( ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) ) ) ) |
180 |
179
|
adantl |
⊢ ( ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = if ( ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) ) ) ) |
181 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
182 |
181
|
zcnd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
183 |
182
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
184 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
185 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
186 |
185
|
a1i |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
187 |
183 184 186
|
divcan1d |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) = 𝑦 ) |
188 |
2
|
breq2i |
⊢ ( 𝑦 ≤ 𝐻 ↔ 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
189 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ ) |
190 |
1 20 22
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ) |
191 |
190
|
adantl |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ) |
192 |
189 191
|
anim12ci |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) |
193 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) |
194 |
192 193
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) |
195 |
|
ltoddhalfle |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → ( 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ↔ 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
196 |
194 195
|
syl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ( 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ↔ 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
197 |
196
|
exbiri |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
198 |
197
|
com23 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
199 |
188 198
|
biimtrid |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
200 |
199
|
a1d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝐻 ∈ ℕ → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) ) |
201 |
200
|
3imp |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
202 |
148 201
|
sylbi |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
203 |
202
|
com12 |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
204 |
203
|
3impia |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑦 < ( 𝑃 / 2 ) ) |
205 |
187 204
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) |
206 |
205
|
iftrued |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → if ( ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) ) = ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) |
207 |
206 187
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑦 = if ( ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( 𝑦 / 2 ) · 2 ) ) ) ) |
208 |
174 180 207
|
rspcedvd |
⊢ ( ( 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
209 |
208
|
3exp |
⊢ ( 2 ∥ 𝑦 → ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) ) ) |
210 |
54 55
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → 𝑃 ∈ ℤ ) |
211 |
210
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 𝑃 ∈ ℤ ) |
212 |
189
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
213 |
212
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
214 |
211 213
|
zsubcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
215 |
154
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
216 |
67
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
217 |
216
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
218 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
219 |
215 217 218
|
3jca |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) ) |
220 |
219
|
ex |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) ) ) |
221 |
54 63 220
|
3syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) ) ) |
222 |
221
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) ) ) |
223 |
222
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) ) |
224 |
|
lesub2 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↔ ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
225 |
223 224
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↔ ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
226 |
55
|
zcnd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ ) |
227 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ ) |
228 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
229 |
228
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
230 |
|
divsubdir |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) = ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ) |
231 |
227 229 230
|
mpd3an23 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) = ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ) |
232 |
231
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) = ( 𝑃 − ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
233 |
|
id |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → 𝑃 ∈ ℂ ) |
234 |
|
halfcl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℂ ) |
235 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
236 |
235
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
237 |
233 234 236
|
subsubd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 𝑃 − ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
238 |
111
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
239 |
232 237 238
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
240 |
54 226 239
|
3syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
241 |
240
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
242 |
241
|
breq1d |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
243 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ ) |
244 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
245 |
244
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
246 |
|
nngt0 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 0 < 𝑃 ) |
247 |
71
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
248 |
|
divgt0 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃 ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 < ( 𝑃 / 2 ) ) |
249 |
99 246 247 248
|
syl21anc |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 0 < ( 𝑃 / 2 ) ) |
250 |
|
halfgt0 |
⊢ 0 < ( 1 / 2 ) |
251 |
250
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 0 < ( 1 / 2 ) ) |
252 |
100 245 249 251
|
addgt0d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 0 < ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
253 |
54 243 252
|
3syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → 0 < ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
254 |
253
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → 0 < ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
255 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → 0 ∈ ℝ ) |
256 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
257 |
256
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ) |
258 |
244
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
259 |
257 258
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
260 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
261 |
260
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
262 |
255 259 261
|
3jca |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) |
263 |
262
|
ex |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) ) |
264 |
154 263
|
syl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) ) |
265 |
264
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) ) |
266 |
265
|
com12 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) ) |
267 |
54 63 266
|
3syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) ) |
268 |
267
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) ) |
269 |
268
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) ) |
270 |
|
ltletr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 < ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
271 |
269 270
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( ( 0 < ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
272 |
254 271
|
mpand |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( ( ( 𝑃 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
273 |
242 272
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( ( 𝑃 − ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
274 |
225 273
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
275 |
274
|
ex |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) ) |
276 |
275
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) ) |
277 |
188 276
|
biimtrid |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ) → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) ) |
278 |
277
|
3impia |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
279 |
278
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) |
280 |
|
elnnz |
⊢ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
281 |
214 279 280
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℕ ) |
282 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ) |
283 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → ¬ 2 ∥ 𝑦 ) |
284 |
283 212
|
anim12ci |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) |
285 |
|
omoe |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ) → 2 ∥ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) |
286 |
282 284 285
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 2 ∥ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) |
287 |
|
nnehalf |
⊢ ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ ( 𝑃 − 𝑦 ) ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
288 |
281 286 287
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
289 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 𝐻 ∈ ℕ ) |
290 |
|
1red |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
291 |
154
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
292 |
291
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
293 |
54 63
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
294 |
293
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
295 |
|
nnge1 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦 ) |
296 |
295
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → 1 ≤ 𝑦 ) |
297 |
296
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → 1 ≤ 𝑦 ) |
298 |
290 292 294 297
|
lesub2dd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) |
299 |
294 292
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
300 |
54 63 67
|
3syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
301 |
300
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
302 |
71
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
303 |
|
lediv1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
304 |
299 301 302 303
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) |
305 |
298 304
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
306 |
2
|
breq2i |
⊢ ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ 𝐻 ↔ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) |
307 |
305 306
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ 𝐻 ) |
308 |
288 289 307
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) ) → ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
309 |
308
|
ex |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) ) |
310 |
|
elfz1b |
⊢ ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ↔ ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ≤ 𝐻 ) ) |
311 |
309 148 310
|
3imtr4g |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦 ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
312 |
311
|
ex |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( ¬ 2 ∥ 𝑦 → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) ) |
313 |
1 312
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 2 ∥ 𝑦 → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) ) |
314 |
313
|
3imp21 |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) |
315 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) → ( 𝑥 · 2 ) = ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) |
316 |
315
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) → ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ↔ ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
317 |
315
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) → ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) = ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) ) |
318 |
316 315 317
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) → if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) = if ( ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) ) ) |
319 |
318
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = if ( ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) ) ) ) |
320 |
319
|
adantl |
⊢ ( ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) ) → ( 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 = if ( ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) ) ) ) |
321 |
1 54 226
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ ) |
322 |
321
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑃 ∈ ℂ ) |
323 |
182
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
324 |
322 323
|
subcld |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
325 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
326 |
185
|
a1i |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
327 |
324 325 326
|
divcan1d |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) = ( 𝑃 − 𝑦 ) ) |
328 |
|
zre |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ ) |
329 |
|
halfge0 |
⊢ 0 ≤ ( 1 / 2 ) |
330 |
|
rehalfcl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ) |
331 |
330
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ) |
332 |
331 258
|
subge02d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 / 2 ) ↔ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
333 |
329 332
|
mpbii |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) |
334 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
335 |
244
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
336 |
330 335
|
resubcld |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
337 |
336
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
338 |
|
letr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) → 𝑦 ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
339 |
334 337 331 338
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ∧ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) → 𝑦 ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
340 |
333 339
|
mpan2d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) → 𝑦 ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
341 |
80
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → 𝑃 ∈ ℂ ) |
342 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℂ ) |
343 |
228
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
344 |
341 342 343 230
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) = ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ) |
345 |
344
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↔ 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
346 |
|
lesub |
⊢ ( ( ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ↔ 𝑦 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
347 |
331 256 334 346
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ↔ 𝑦 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
348 |
257 261
|
lenltd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 / 2 ) ≤ ( 𝑃 − 𝑦 ) ↔ ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
349 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ ) |
350 |
185
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → 2 ≠ 0 ) |
351 |
80 349 350
|
divcan1d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 𝑃 / 2 ) · 2 ) = 𝑃 ) |
352 |
351
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 = ( ( 𝑃 / 2 ) · 2 ) ) |
353 |
352
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( ( ( 𝑃 / 2 ) · 2 ) − ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
354 |
330
|
recnd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑃 / 2 ) ∈ ℂ ) |
355 |
354 349
|
mulcomd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 𝑃 / 2 ) · 2 ) = ( 2 · ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
356 |
355
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑃 / 2 ) · 2 ) − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑃 / 2 ) ) − ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
357 |
349 354
|
mulsubfacd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 2 · ( 𝑃 / 2 ) ) − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( ( 2 − 1 ) · ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
358 |
|
2m1e1 |
⊢ ( 2 − 1 ) = 1 |
359 |
358
|
a1i |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 2 − 1 ) = 1 ) |
360 |
359
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 2 − 1 ) · ( 𝑃 / 2 ) ) = ( 1 · ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
361 |
354
|
mullidd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 1 · ( 𝑃 / 2 ) ) = ( 𝑃 / 2 ) ) |
362 |
357 360 361
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( ( 2 · ( 𝑃 / 2 ) ) − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( 𝑃 / 2 ) ) |
363 |
353 356 362
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( 𝑃 / 2 ) ) |
364 |
363
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) = ( 𝑃 / 2 ) ) |
365 |
364
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 ≤ ( 𝑃 − ( 𝑃 / 2 ) ) ↔ 𝑦 ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
366 |
347 348 365
|
3bitr3d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ↔ 𝑦 ≤ ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
367 |
340 345 366
|
3imtr4d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
368 |
367
|
ex |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
369 |
154 368
|
syl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
370 |
369
|
com3l |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
371 |
328 370
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℤ → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
372 |
1 54 55 371
|
4syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
373 |
372
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
374 |
373
|
com13 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑦 ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) → ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
375 |
188 374
|
biimtrid |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) |
376 |
375
|
a1d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝐻 ∈ ℕ → ( 𝑦 ≤ 𝐻 → ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) ) ) |
377 |
376
|
3imp |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
378 |
377
|
com12 |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
379 |
148 378
|
biimtrid |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) ) |
380 |
379
|
3impia |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑃 − 𝑦 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) |
381 |
327 380
|
eqnbrtrd |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ¬ ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) ) |
382 |
381
|
iffalsed |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → if ( ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) ) = ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) ) |
383 |
327
|
oveq2d |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) = ( 𝑃 − ( 𝑃 − 𝑦 ) ) ) |
384 |
321 182
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) |
385 |
384
|
3adant1 |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) |
386 |
|
nncan |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) → ( 𝑃 − ( 𝑃 − 𝑦 ) ) = 𝑦 ) |
387 |
385 386
|
syl |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑃 − ( 𝑃 − 𝑦 ) ) = 𝑦 ) |
388 |
382 383 387
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → 𝑦 = if ( ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) , ( 𝑃 − ( ( ( 𝑃 − 𝑦 ) / 2 ) · 2 ) ) ) ) |
389 |
314 320 388
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) |
390 |
389
|
3exp |
⊢ ( ¬ 2 ∥ 𝑦 → ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) ) ) |
391 |
209 390
|
pm2.61i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ) ) |
392 |
147 391
|
impbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) 𝑦 = if ( ( 𝑥 · 2 ) < ( 𝑃 / 2 ) , ( 𝑥 · 2 ) , ( 𝑃 − ( 𝑥 · 2 ) ) ) ↔ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
393 |
5 392
|
bitrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐻 ) ) ) |
394 |
393
|
eqrdv |
⊢ ( 𝜑 → ran 𝑅 = ( 1 ... 𝐻 ) ) |