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Theorem glbconN

Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012) New df-riota . (Revised by SN, 3-Jan-2025) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses glbcon.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
glbcon.u 𝑈 = ( lub ‘ 𝐾 )
glbcon.g 𝐺 = ( glb ‘ 𝐾 )
glbcon.o = ( oc ‘ 𝐾 )
Assertion glbconN ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵 ) → ( 𝐺𝑆 ) = ( ‘ ( 𝑈 ‘ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 glbcon.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 glbcon.u 𝑈 = ( lub ‘ 𝐾 )
3 glbcon.g 𝐺 = ( glb ‘ 𝐾 )
4 glbcon.o = ( oc ‘ 𝐾 )
5 sseqin2 ( 𝑆𝐵 ↔ ( 𝐵𝑆 ) = 𝑆 )
6 5 biimpi ( 𝑆𝐵 → ( 𝐵𝑆 ) = 𝑆 )
7 dfin5 ( 𝐵𝑆 ) = { 𝑥𝐵𝑥𝑆 }
8 6 7 eqtr3di ( 𝑆𝐵𝑆 = { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } )
9 8 fveq2d ( 𝑆𝐵 → ( 𝐺𝑆 ) = ( 𝐺 ‘ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ) )
10 eqid ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
11 biid ( ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) )
12 id ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ HL )
13 ssrab2 { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ⊆ 𝐵
14 13 a1i ( 𝐾 ∈ HL → { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ⊆ 𝐵 )
15 1 10 3 11 12 14 glbval ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝐺 ‘ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ) = ( 𝑦𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) ) )
16 hlop ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP )
17 hlclat ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat )
18 1 3 clatglbcl2 ( ( 𝐾 ∈ CLat ∧ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ⊆ 𝐵 ) → { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ∈ dom 𝐺 )
19 17 14 18 syl2anc ( 𝐾 ∈ HL → { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ∈ dom 𝐺 )
20 1 10 3 11 12 19 glbeu ( 𝐾 ∈ HL → ∃! 𝑦𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) )
21 breq1 ( 𝑦 = ( 𝑣 ) → ( 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) )
22 21 ralbidv ( 𝑦 = ( 𝑣 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) )
23 breq2 ( 𝑦 = ( 𝑣 ) → ( 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) )
24 23 imbi2d ( 𝑦 = ( 𝑣 ) → ( ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) )
25 24 ralbidv ( 𝑦 = ( 𝑣 ) → ( ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) )
26 22 25 anbi12d ( 𝑦 = ( 𝑣 ) → ( ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) ) )
27 1 4 26 riotaocN ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ ∃! 𝑦𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) ) → ( 𝑦𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) ) = ( ‘ ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) ) ) )
28 16 20 27 syl2anc ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑦𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) ) ) = ( ‘ ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) ) ) )
29 16 ad2antrr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
30 1 4 opoccl ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵 ) → ( 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
31 29 30 sylancom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → ( 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
32 16 ad2antrr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
33 1 4 opoccl ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵 ) → ( 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
34 32 33 sylancom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → ( 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
35 1 4 opococ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵 ) → ( ‘ ( 𝑧 ) ) = 𝑧 )
36 32 35 sylancom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → ( ‘ ( 𝑧 ) ) = 𝑧 )
37 36 eqcomd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → 𝑧 = ( ‘ ( 𝑧 ) ) )
38 fveq2 ( 𝑢 = ( 𝑧 ) → ( 𝑢 ) = ( ‘ ( 𝑧 ) ) )
39 38 rspceeqv ( ( ( 𝑧 ) ∈ 𝐵𝑧 = ( ‘ ( 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢 ) )
40 34 37 39 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → ∃ 𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢 ) )
41 eleq1 ( 𝑧 = ( 𝑢 ) → ( 𝑧𝑆 ↔ ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 ) )
42 breq2 ( 𝑧 = ( 𝑢 ) → ( ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) )
43 41 42 imbi12d ( 𝑧 = ( 𝑢 ) → ( ( 𝑧𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
44 43 adantl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑧 = ( 𝑢 ) ) → ( ( 𝑧𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
45 31 40 44 ralxfrd ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ∀ 𝑧𝐵 ( 𝑧𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
46 simpr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → 𝑢𝐵 )
47 simplr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → 𝑣𝐵 )
48 1 10 4 oplecon3b ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑣𝐵 ) → ( 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ↔ ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) )
49 29 46 47 48 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → ( 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ↔ ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) )
50 49 imbi2d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → ( ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
51 50 ralbidva ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
52 45 51 bitr4d ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ∀ 𝑧𝐵 ( 𝑧𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ) ) )
53 eleq1 ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥𝑆𝑧𝑆 ) )
54 53 ralrab ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ∀ 𝑧𝐵 ( 𝑧𝑆 → ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) )
55 fveq2 ( 𝑥 = 𝑢 → ( 𝑥 ) = ( 𝑢 ) )
56 55 eleq1d ( 𝑥 = 𝑢 → ( ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 ) )
57 56 ralrab ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ↔ ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ) )
58 52 54 57 3bitr4g ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ) )
59 16 ad2antrr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
60 1 4 opoccl ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑡𝐵 ) → ( 𝑡 ) ∈ 𝐵 )
61 59 60 sylancom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → ( 𝑡 ) ∈ 𝐵 )
62 16 ad2antrr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑤𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
63 1 4 opoccl ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵 ) → ( 𝑤 ) ∈ 𝐵 )
64 62 63 sylancom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑤𝐵 ) → ( 𝑤 ) ∈ 𝐵 )
65 1 4 opococ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵 ) → ( ‘ ( 𝑤 ) ) = 𝑤 )
66 62 65 sylancom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑤𝐵 ) → ( ‘ ( 𝑤 ) ) = 𝑤 )
67 66 eqcomd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑤𝐵 ) → 𝑤 = ( ‘ ( 𝑤 ) ) )
68 fveq2 ( 𝑡 = ( 𝑤 ) → ( 𝑡 ) = ( ‘ ( 𝑤 ) ) )
69 68 rspceeqv ( ( ( 𝑤 ) ∈ 𝐵𝑤 = ( ‘ ( 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡 ) )
70 64 67 69 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑤𝐵 ) → ∃ 𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡 ) )
71 breq1 ( 𝑤 = ( 𝑡 ) → ( 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) )
72 71 ralbidv ( 𝑤 = ( 𝑡 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) )
73 breq1 ( 𝑤 = ( 𝑡 ) → ( 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ↔ ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) )
74 72 73 imbi12d ( 𝑤 = ( 𝑡 ) → ( ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) )
75 74 adantl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( 𝑡 ) ) → ( ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) )
76 61 70 75 ralxfrd ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ↔ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) )
77 16 ad3antrrr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
78 simpr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → 𝑢𝐵 )
79 simplr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → 𝑡𝐵 )
80 1 10 4 oplecon3b ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑡𝐵 ) → ( 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ↔ ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) )
81 77 78 79 80 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → ( 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ↔ ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) )
82 81 imbi2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → ( ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ↔ ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
83 82 ralbidva ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → ( ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ↔ ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
84 77 30 sylancom ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑢𝐵 ) → ( 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
85 16 ad3antrrr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
86 85 33 sylancom ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → ( 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
87 85 35 sylancom ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → ( ‘ ( 𝑧 ) ) = 𝑧 )
88 87 eqcomd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → 𝑧 = ( ‘ ( 𝑧 ) ) )
89 86 88 39 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑧𝐵 ) → ∃ 𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢 ) )
90 breq2 ( 𝑧 = ( 𝑢 ) → ( ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) )
91 41 90 imbi12d ( 𝑧 = ( 𝑢 ) → ( ( 𝑧𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
92 91 adantl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) ∧ 𝑧 = ( 𝑢 ) ) → ( ( 𝑧𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
93 84 89 92 ralxfrd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → ( ∀ 𝑧𝐵 ( 𝑧𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ) ) ) )
94 83 93 bitr4d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → ( ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ↔ ∀ 𝑧𝐵 ( 𝑧𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) ) )
95 56 ralrab ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ↔ ∀ 𝑢𝐵 ( ( 𝑢 ) ∈ 𝑆𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) )
96 53 ralrab ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ↔ ∀ 𝑧𝐵 ( 𝑧𝑆 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) )
97 94 95 96 3bitr4g ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ↔ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ) )
98 simplr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → 𝑣𝐵 )
99 simpr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → 𝑡𝐵 )
100 1 10 4 oplecon3b ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑣𝐵𝑡𝐵 ) → ( 𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ↔ ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) )
101 59 98 99 100 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → ( 𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ↔ ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) )
102 97 101 imbi12d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ 𝑡𝐵 ) → ( ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) )
103 102 ralbidva ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ↔ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 → ( 𝑡 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) )
104 76 103 bitr4d ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ↔ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ) )
105 58 104 anbi12d ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ∧ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ) ) )
106 105 riotabidva ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) ) = ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ∧ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ) ) )
107 ssrab2 { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ⊆ 𝐵
108 biid ( ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ∧ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ) ↔ ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ∧ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ) )
109 simpl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ⊆ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ HL )
110 simpr ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ⊆ 𝐵 ) → { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ⊆ 𝐵 )
111 1 10 2 108 109 110 lubval ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ⊆ 𝐵 ) → ( 𝑈 ‘ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ) = ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ∧ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ) ) )
112 107 111 mpan2 ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑈 ‘ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ) = ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑣 ∧ ∀ 𝑡𝐵 ( ∀ 𝑢 ∈ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } 𝑢 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡𝑣 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑡 ) ) ) )
113 106 112 eqtr4d ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) ) = ( 𝑈 ‘ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ) )
114 113 fveq2d ( 𝐾 ∈ HL → ( ‘ ( 𝑣𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ( 𝑣 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧 ∧ ∀ 𝑤𝐵 ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } 𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑧𝑤 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑣 ) ) ) ) ) = ( ‘ ( 𝑈 ‘ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ) ) )
115 15 28 114 3eqtrd ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝐺 ‘ { 𝑥𝐵𝑥𝑆 } ) = ( ‘ ( 𝑈 ‘ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ) ) )
116 9 115 sylan9eqr ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵 ) → ( 𝐺𝑆 ) = ( ‘ ( 𝑈 ‘ { 𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥 ) ∈ 𝑆 } ) ) )