Theorem grpinvsub

Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
	grpsubcl.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
	grpinvsub.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝐺 )
Assertion	grpinvsub	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 − 𝑌 ) ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		grpsubcl.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
3		grpinvsub.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝐺 )
4	1 3	grpinvcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
5	4	3adant2	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
6		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 )
7	1 6 3	grpinvadd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
8	5 7	syld3an3	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
9	1 3	grpinvinv	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = 𝑌 )
10	9	3adant2	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = 𝑌 )
11	10	oveq1d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑌 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
12	8 11	eqtrd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( 𝑌 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
13	1 6 3 2	grpsubval	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝑋 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) )
14	13	3adant1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝑋 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) )
15	14	fveq2d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 − 𝑌 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ) )
16	1 6 3 2	grpsubval	⊢ ( ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 − 𝑋 ) = ( 𝑌 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
17	16	ancoms	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 − 𝑋 ) = ( 𝑌 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
18	17	3adant1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 − 𝑋 ) = ( 𝑌 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
19	12 15 18	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 − 𝑌 ) ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) )