Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
funfn |
⊢ ( Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹 ) |
2 |
|
hashfn |
⊢ ( 𝐹 Fn dom 𝐹 → ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) |
3 |
1 2
|
sylbi |
⊢ ( Fun 𝐹 → ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) |
4 |
|
dmfi |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin ) |
5 |
|
hashcl |
⊢ ( dom 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ∈ ℕ0 ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ∈ ℕ0 ) |
7 |
6
|
nn0red |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹 ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
9 |
|
df-rel |
⊢ ( Rel 𝐹 ↔ 𝐹 ⊆ ( V × V ) ) |
10 |
|
dfss3 |
⊢ ( 𝐹 ⊆ ( V × V ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ ( V × V ) ) |
11 |
9 10
|
bitri |
⊢ ( Rel 𝐹 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ ( V × V ) ) |
12 |
11
|
notbii |
⊢ ( ¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀ 𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ ( V × V ) ) |
13 |
|
rexnal |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ↔ ¬ ∀ 𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ ( V × V ) ) |
14 |
12 13
|
bitr4i |
⊢ ( ¬ Rel 𝐹 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) |
15 |
|
dmun |
⊢ dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) = ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ dom { 𝑥 } ) |
16 |
15
|
fveq2i |
⊢ ( ♯ ‘ dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ♯ ‘ ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ dom { 𝑥 } ) ) |
17 |
|
dmsnn0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( V × V ) ↔ dom { 𝑥 } ≠ ∅ ) |
18 |
17
|
biimpri |
⊢ ( dom { 𝑥 } ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( V × V ) ) |
19 |
18
|
necon1bi |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) → dom { 𝑥 } = ∅ ) |
20 |
19
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → dom { 𝑥 } = ∅ ) |
21 |
20
|
uneq2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ dom { 𝑥 } ) = ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ ∅ ) ) |
22 |
|
un0 |
⊢ ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ ∅ ) = dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) |
23 |
21 22
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ dom { 𝑥 } ) = dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) |
24 |
23
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ dom { 𝑥 } ) ) = ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ) |
25 |
16 24
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ) |
26 |
|
diffi |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin ) |
27 |
|
dmfi |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin ) |
28 |
26 27
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin ) |
29 |
|
hashcl |
⊢ ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
30 |
28 29
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
31 |
30
|
nn0red |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ∈ ℝ ) |
32 |
|
hashcl |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
33 |
26 32
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
34 |
33
|
nn0red |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
|
peano2re |
⊢ ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ∈ ℝ → ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
36 |
34 35
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
37 |
|
fidomdm |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) |
38 |
26 37
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) |
39 |
|
hashdom |
⊢ ( ( dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin ∧ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ↔ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ) |
40 |
28 26 39
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ↔ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ) |
41 |
38 40
|
mpbird |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) ) |
42 |
34
|
ltp1d |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) < ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) ) |
43 |
31 34 36 41 42
|
lelttrd |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) < ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) ) |
44 |
43
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) < ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) ) |
45 |
25 44
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) < ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) ) |
46 |
|
snfi |
⊢ { 𝑥 } ∈ Fin |
47 |
|
incom |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∩ { 𝑥 } ) = ( { 𝑥 } ∩ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) |
48 |
|
disjdif |
⊢ ( { 𝑥 } ∩ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) = ∅ |
49 |
47 48
|
eqtri |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∩ { 𝑥 } ) = ∅ |
50 |
|
hashun |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin ∧ { 𝑥 } ∈ Fin ∧ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∩ { 𝑥 } ) = ∅ ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) ) ) |
51 |
46 49 50
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) ) ) |
52 |
26 51
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) ) ) |
53 |
|
hashsng |
⊢ ( 𝑥 ∈ V → ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) = 1 ) |
54 |
53
|
elv |
⊢ ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) = 1 |
55 |
54
|
oveq2i |
⊢ ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) |
56 |
52 55
|
eqtr2di |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) = ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) ) |
57 |
56
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ) + 1 ) = ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) ) |
58 |
45 57
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) < ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) ) |
59 |
|
difsnid |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐹 → ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) = 𝐹 ) |
60 |
59
|
dmeqd |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐹 → dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) = dom 𝐹 ) |
61 |
60
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐹 → ( ♯ ‘ dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) |
62 |
61
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ dom ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) |
63 |
59
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐹 → ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
64 |
63
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝐹 ∖ { 𝑥 } ) ∪ { 𝑥 } ) ) = ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
65 |
58 62 64
|
3brtr3d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) < ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
66 |
65
|
rexlimdv3a |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ ( V × V ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) < ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
67 |
14 66
|
syl5bi |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ¬ Rel 𝐹 → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) < ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
68 |
67
|
imp |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹 ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) < ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
69 |
8 68
|
gtned |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹 ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ≠ ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) |
70 |
69
|
ex |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ¬ Rel 𝐹 → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ≠ ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) ) |
71 |
70
|
necon4bd |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) → Rel 𝐹 ) ) |
72 |
71
|
imp |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) → Rel 𝐹 ) |
73 |
|
2nalexn |
⊢ ( ¬ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ¬ ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) |
74 |
|
df-ne |
⊢ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧 ) |
75 |
74
|
anbi2i |
⊢ ( ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ↔ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧 ) ) |
76 |
|
annim |
⊢ ( ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧 ) ↔ ¬ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) |
77 |
75 76
|
bitri |
⊢ ( ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ↔ ¬ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) |
78 |
77
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ¬ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) |
79 |
|
exnal |
⊢ ( ∃ 𝑧 ¬ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ↔ ¬ ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) |
80 |
78 79
|
bitr2i |
⊢ ( ¬ ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) |
81 |
80
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ¬ ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) |
82 |
73 81
|
bitri |
⊢ ( ¬ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) |
83 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
84 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
85 |
|
diffi |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin ) |
86 |
|
dmfi |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin ) |
87 |
85 86
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin ) |
88 |
|
hashcl |
⊢ ( dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
89 |
87 88
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
90 |
89
|
nn0red |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ) |
91 |
90
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ) |
92 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ) → ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ∈ ℝ ) |
93 |
84 91 92
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ∈ ℝ ) |
94 |
|
hashcl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℕ0 ) |
95 |
94
|
nn0red |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
96 |
95
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
97 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
98 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ) → ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ∈ ℝ ) |
99 |
97 90 98
|
sylancr |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ∈ ℝ ) |
100 |
99
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ∈ ℝ ) |
101 |
84 90 92
|
sylancr |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ∈ ℝ ) |
102 |
101
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ∈ ℝ ) |
103 |
|
dmun |
⊢ dom ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) = ( dom { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) |
104 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ V |
105 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ V |
106 |
104 105
|
prss |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ↔ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ⊆ 𝐹 ) |
107 |
|
undif |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ⊆ 𝐹 ↔ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) = 𝐹 ) |
108 |
106 107
|
sylbb |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) = 𝐹 ) |
109 |
108
|
dmeqd |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → dom ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) = dom 𝐹 ) |
110 |
103 109
|
syl5reqr |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → dom 𝐹 = ( dom { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) |
111 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
112 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
113 |
111 112
|
dmprop |
⊢ dom { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } = { 𝑥 , 𝑥 } |
114 |
|
dfsn2 |
⊢ { 𝑥 } = { 𝑥 , 𝑥 } |
115 |
113 114
|
eqtr4i |
⊢ dom { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } = { 𝑥 } |
116 |
115
|
uneq1i |
⊢ ( dom { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) = ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) |
117 |
110 116
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → dom 𝐹 = ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) |
118 |
117
|
fveq2d |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) = ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
119 |
118
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) = ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
120 |
|
hashun2 |
⊢ ( ( { 𝑥 } ∈ Fin ∧ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
121 |
46 87 120
|
sylancr |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
122 |
54
|
oveq1i |
⊢ ( ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) |
123 |
121 122
|
breqtrdi |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
124 |
123
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } ∪ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
125 |
119 124
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ≤ ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
126 |
|
1lt2 |
⊢ 1 < 2 |
127 |
|
ltadd1 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ) → ( 1 < 2 ↔ ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) < ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) ) |
128 |
97 84 90 127
|
mp3an12i |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( 1 < 2 ↔ ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) < ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) ) |
129 |
126 128
|
mpbii |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) < ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
130 |
129
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 1 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) < ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
131 |
83 100 102 125 130
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) < ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
132 |
|
fidomdm |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) |
133 |
85 132
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) |
134 |
|
hashdom |
⊢ ( ( dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin ∧ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ↔ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) |
135 |
87 85 134
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ↔ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ≼ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) |
136 |
133 135
|
mpbird |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) |
137 |
|
hashcl |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
138 |
85 137
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℕ0 ) |
139 |
138
|
nn0red |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ) |
140 |
|
leadd2 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ∧ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ) → ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ↔ ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) ) |
141 |
84 140
|
mp3an3 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ∧ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ↔ ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) ) |
142 |
90 139 141
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ≤ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ↔ ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) ) |
143 |
136 142
|
mpbid |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
144 |
143
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
145 |
|
prfi |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∈ Fin |
146 |
|
disjdif |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∩ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) = ∅ |
147 |
|
hashun |
⊢ ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∈ Fin ∧ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin ∧ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∩ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) = ∅ ) → ( ♯ ‘ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
148 |
145 146 147
|
mp3an13 |
⊢ ( ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
149 |
85 148
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
150 |
149
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
151 |
108
|
fveq2d |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → ( ♯ ‘ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
152 |
151
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ∪ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
153 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
154 |
153 111
|
opth |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ↔ ( 𝑥 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑧 ) ) |
155 |
154
|
simprbi |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑥 , 𝑧 〉 → 𝑦 = 𝑧 ) |
156 |
155
|
necon3i |
⊢ ( 𝑦 ≠ 𝑧 → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ≠ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) |
157 |
|
hashprg |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ V ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ V ) → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ≠ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ↔ ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) = 2 ) ) |
158 |
104 105 157
|
mp2an |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ≠ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ↔ ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) = 2 ) |
159 |
156 158
|
sylib |
⊢ ( 𝑦 ≠ 𝑧 → ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) = 2 ) |
160 |
159
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 ≠ 𝑧 → ( ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
161 |
160
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ( ♯ ‘ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ) |
162 |
150 152 161
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 2 + ( ♯ ‘ ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) = ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
163 |
144 162
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 2 + ( ♯ ‘ dom ( 𝐹 ∖ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑥 , 𝑧 〉 } ) ) ) ≤ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
164 |
83 93 96 131 163
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) < ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
165 |
83 164
|
gtned |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ≠ ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) |
166 |
165
|
ex |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ≠ ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) ) |
167 |
166
|
exlimdv |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ∃ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ≠ ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) ) |
168 |
167
|
exlimdvv |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ≠ ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) ) |
169 |
82 168
|
syl5bi |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ¬ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ≠ ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) ) |
170 |
169
|
necon4bd |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) → ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) ) |
171 |
170
|
imp |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) → ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) |
172 |
|
dffun4 |
⊢ ( Fun 𝐹 ↔ ( Rel 𝐹 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 = 𝑧 ) ) ) |
173 |
72 171 172
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Fin ∧ ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) → Fun 𝐹 ) |
174 |
173
|
ex |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) → Fun 𝐹 ) ) |
175 |
3 174
|
impbid2 |
⊢ ( 𝐹 ∈ Fin → ( Fun 𝐹 ↔ ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ♯ ‘ dom 𝐹 ) ) ) |