Theorem hausflf

Description: If a function has its values in a Hausdorff space, then it has at most one limit value. (Contributed by FL, 14-Nov-2010) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	hausflf.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
Assertion	hausflf	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( ( 𝐽 fLimf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hausflf.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		hausflimi	⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) )
3	2	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) )
4		haustop	⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top )
5	1	toptopon	⊢ ( 𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
6	4 5	sylib	⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
7		flfval	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ( ( 𝐽 fLimf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) = ( 𝐽 fLim ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) )
8	6 7	syl3an1	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ( ( 𝐽 fLimf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) = ( 𝐽 fLim ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) )
9	8	eleq2d	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐽 fLimf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) ) )
10	9	mobidv	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ( ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( ( 𝐽 fLimf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) ↔ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( ( 𝑋 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) ) )
11	3 10	mpbird	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐹 : 𝑌 ⟶ 𝑋 ) → ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( ( 𝐽 fLimf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) )