Theorem hi2eq

Description: Lemma used to prove equality of vectors. (Contributed by NM, 16-Nov-1999) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hi2eq	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↔ 𝐴 = 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ∈ ℋ )
2		his2sub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) − ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ) )
3	1 2	mpd3an3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) − ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ) )
4	3	eqeq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = 0 ↔ ( ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) − ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ) = 0 ) )
5		his6	⊢ ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ∈ ℋ → ( ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = 0 ↔ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) = 0ℎ ) )
6	1 5	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = 0 ↔ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) = 0ℎ ) )
7	4 6	bitr3d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) − ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ) = 0 ↔ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) = 0ℎ ) )
8		hicl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
9	1 8	syldan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
10		simpr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → 𝐵 ∈ ℋ )
11		hicl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ∈ ℋ ) → ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
12	10 1 11	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
13	9 12	subeq0ad	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) − ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ) = 0 ↔ ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ) )
14		hvsubeq0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵 ) )
15	7 13 14	3bitr3d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( 𝐵 ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↔ 𝐴 = 𝐵 ) )