Theorem hoaddass

Description: Associativity of sum of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 24-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hoaddass	⊢ ( ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( 𝑅 +op 𝑆 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) )
2	1	oveq1d	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) )
3		oveq1	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) )
4	2 3	eqeq12d	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) ) )
5		oveq2	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) )
6	5	oveq1d	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) )
7		oveq1	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( 𝑆 +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) )
8	7	oveq2d	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) )
9	6 8	eqeq12d	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) ) )
10		oveq2	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
11		oveq2	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
12	11	oveq2d	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) ) )
13	10 12	eqeq12d	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) ) ) )
14		ho0f	⊢ 0hop : ℋ ⟶ ℋ
15	14	elimf	⊢ if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
16	14	elimf	⊢ if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
17	14	elimf	⊢ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
18	15 16 17	hoaddassi	⊢ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
19	4 9 13 18	dedth3h	⊢ ( ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) )