Theorem hoaddsubass

Description: Associative-type law for addition and subtraction of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 25-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hoaddsubass	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) −op 𝑈 ) = ( 𝑆 +op ( 𝑇 −op 𝑈 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0f	⊢ 0hop : ℋ ⟶ ℋ
2		hosubcl	⊢ ( ( 0hop : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 0hop −op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
3	1 2	mpan	⊢ ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ → ( 0hop −op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
4		hoaddass	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 0hop −op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) = ( 𝑆 +op ( 𝑇 +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) ) )
5	3 4	syl3an3	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) = ( 𝑆 +op ( 𝑇 +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) ) )
6		hoaddcl	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 +op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
7		ho0sub	⊢ ( ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) −op 𝑈 ) = ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) )
8	6 7	stoic3	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) −op 𝑈 ) = ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) )
9		ho0sub	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 −op 𝑈 ) = ( 𝑇 +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) )
10	9	3adant1	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 −op 𝑈 ) = ( 𝑇 +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) )
11	10	oveq2d	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 +op ( 𝑇 −op 𝑈 ) ) = ( 𝑆 +op ( 𝑇 +op ( 0hop −op 𝑈 ) ) ) )
12	5 8 11	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) −op 𝑈 ) = ( 𝑆 +op ( 𝑇 −op 𝑈 ) ) )