Theorem hocsubdir

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 23-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hocsubdir	⊢ ( ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑅 −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) = ( ( 𝑅 ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( 𝑅 −op 𝑆 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op 𝑆 ) )
2	1	coeq1d	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( ( 𝑅 −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) )
3		coeq1	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( 𝑅 ∘ 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) )
4	3	oveq1d	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( ( 𝑅 ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) )
5	2 4	eqeq12d	⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( ( ( 𝑅 −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) = ( ( 𝑅 ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) ) )
6		oveq2	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op 𝑆 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) )
7	6	coeq1d	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) ∘ 𝑇 ) )
8		coeq1	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) )
9	8	oveq2d	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) ) )
10	7 9	eqeq12d	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) ∘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) ) ) )
11		coeq2	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) ∘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
12		coeq2	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
13		coeq2	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
14	12 13	oveq12d	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) −op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) ) )
15	11 14	eqeq12d	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) ∘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) −op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) −op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) ) ) )
16		ho0f	⊢ 0hop : ℋ ⟶ ℋ
17	16	elimf	⊢ if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
18	16	elimf	⊢ if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
19	16	elimf	⊢ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
20	17 18 19	hocsubdiri	⊢ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) −op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) −op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ∘ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
21	5 10 15 20	dedth3h	⊢ ( ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑅 −op 𝑆 ) ∘ 𝑇 ) = ( ( 𝑅 ∘ 𝑇 ) −op ( 𝑆 ∘ 𝑇 ) ) )