Theorem homulass

Description: Scalar product associative law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	homulass	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
2		homval	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
3	1 2	syl3an1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
4	3	3expia	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
5	4	3impa	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
6	5	imp	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
7		homval	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
8	7	oveq2d	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
9	8	3expa	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
10	9	3adantl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
11		ffvelcdm	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ )
12		ax-hvmulass	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
13	11 12	syl3an3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
14	13	3expa	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
15	14	exp43	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
16	15	3imp1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 ·ℎ ( 𝐵 ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) ) )
17	10 16	eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·ℎ ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) )
18	6 17	eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
19		homulcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
20		homval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
21	19 20	syl3an2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
22	21	3expia	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
23	22	3impb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
24	23	imp	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ·ℎ ( ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) ) )
25	18 24	eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) )
26	25	ralrimiva	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) )
27		homulcl	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
28	1 27	stoic3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
29		homulcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
30	19 29	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
31	30	3impb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
32		hoeq	⊢ ( ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ) )
33	28 31 32	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) ) )
34	26 33	mpbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ·op 𝑇 ) = ( 𝐴 ·op ( 𝐵 ·op 𝑇 ) ) )