Theorem hoscl

Description: Closure of the sum of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hoscl	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosval	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) +ℎ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) )
2	1	3expa	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) +ℎ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) )
3		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
4		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
5	3 4	anim12i	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ∧ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ) )
6	5	anandirs	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ∧ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ) )
7		hvaddcl	⊢ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ∧ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) +ℎ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℋ )
8	6 7	syl	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) +ℎ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℋ )
9	2 8	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 +op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )