Theorem hosubsub4

Description: Law for double subtraction of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 25-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hosubsub4	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) −op 𝑈 ) = ( 𝑆 −op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn	⊢ - 1 ∈ ℂ
2		homulcl	⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( - 1 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
3	1 2	mpan	⊢ ( 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ → ( - 1 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ )
4		hosubsub	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( - 1 ·op 𝑈 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 −op ( 𝑇 −op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) ) = ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) +op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) )
5	3 4	syl3an3	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 −op ( 𝑇 −op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) ) = ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) +op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) )
6		hosubneg	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 −op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) = ( 𝑇 +op 𝑈 ) )
7	6	3adant1	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 −op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) = ( 𝑇 +op 𝑈 ) )
8	7	oveq2d	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 −op ( 𝑇 −op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) ) = ( 𝑆 −op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) )
9		hosubcl	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 −op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )
10		honegsub	⊢ ( ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) +op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) = ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) −op 𝑈 ) )
11	9 10	stoic3	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) +op ( - 1 ·op 𝑈 ) ) = ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) −op 𝑈 ) )
12	5 8 11	3eqtr3rd	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑈 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) −op 𝑈 ) = ( 𝑆 −op ( 𝑇 +op 𝑈 ) ) )