Theorem iinssiin

Description: Subset implication for an indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	iinssiin.1	⊢ Ⅎ 𝑥 𝜑
	iinssiin.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ⊆ 𝐶 )
Assertion	iinssiin	⊢ ( 𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinssiin.1	⊢ Ⅎ 𝑥 𝜑
2		iinssiin.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ⊆ 𝐶 )
3		nfii1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
4	3	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
5	1 4	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 )
6	2	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ⊆ 𝐶 )
7		eliinid	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
8	7	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
9	6 8	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ 𝐶 )
10	9	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐶 ) )
11	5 10	ralrimi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐶 )
12		eliin	⊢ ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐶 ) )
13	12	elv	⊢ ( 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐶 )
14	11 13	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 )
15	14	ssd	⊢ ( 𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 )