Theorem inlinecirc02plem

Description: Lemma for inlinecirc02p . (Contributed by AV, 7-May-2023) (Revised by AV, 15-May-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = { 1 , 2 }
	inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = ( ℝ^ ‘ 𝐼 )
	inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = ( ℝ ↑m 𝐼 )
	inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = ( Sphere ‘ 𝐸 )
	inlinecirc02p.0	⊢ 0 = ( 𝐼 × { 0 } )
	inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = ( LineM ‘ 𝐸 )
	inlinecirc02plem.q	⊢ 𝑄 = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) )
	inlinecirc02plem.d	⊢ 𝐷 = ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) )
	inlinecirc02plem.a	⊢ 𝐴 = ( ( 𝑋 ‘ 2 ) − ( 𝑌 ‘ 2 ) )
	inlinecirc02plem.b	⊢ 𝐵 = ( ( 𝑌 ‘ 1 ) − ( 𝑋 ‘ 1 ) )
	inlinecirc02plem.c	⊢ 𝐶 = ( ( ( 𝑋 ‘ 2 ) · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝑋 ‘ 1 ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) )
Assertion	inlinecirc02plem	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝑃 ∃ 𝑏 ∈ 𝑃 ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { 𝑎 , 𝑏 } ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = { 1 , 2 }
2		inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = ( ℝ^ ‘ 𝐼 )
3		inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = ( ℝ ↑m 𝐼 )
4		inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = ( Sphere ‘ 𝐸 )
5		inlinecirc02p.0	⊢ 0 = ( 𝐼 × { 0 } )
6		inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = ( LineM ‘ 𝐸 )
7		inlinecirc02plem.q	⊢ 𝑄 = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) )
8		inlinecirc02plem.d	⊢ 𝐷 = ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) )
9		inlinecirc02plem.a	⊢ 𝐴 = ( ( 𝑋 ‘ 2 ) − ( 𝑌 ‘ 2 ) )
10		inlinecirc02plem.b	⊢ 𝐵 = ( ( 𝑌 ‘ 1 ) − ( 𝑋 ‘ 1 ) )
11		inlinecirc02plem.c	⊢ 𝐶 = ( ( ( 𝑋 ‘ 2 ) · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝑋 ‘ 1 ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) )
12		simprr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 0 < 𝐷 )
13	12	gt0ne0d	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐷 ≠ 0 )
14	1 3	rrx2pyel	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
15	14	adantr	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
16	1 3	rrx2pyel	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑃 → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
17	16	adantl	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
18	15 17	resubcld	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ‘ 2 ) − ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ )
19	9 18	eqeltrid	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐴 ∈ ℝ )
20	19	3adant3	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐴 ∈ ℝ )
21	20	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
22	1 3	rrx2pxel	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑃 → ( 𝑌 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
23	22	adantl	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
24	1 3	rrx2pxel	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
25	24	adantr	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
26	23 25	resubcld	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 1 ) − ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ )
27	10 26	eqeltrid	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
28	27	3adant3	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
29	28	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
30	15 23	remulcld	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ‘ 2 ) · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ )
31	25 17	remulcld	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ‘ 1 ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ )
32	30 31	resubcld	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑋 ‘ 2 ) · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝑋 ‘ 1 ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ )
33	11 32	eqeltrid	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
34	33	3adant3	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
35	34	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
36	19 27 33	3jca	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) )
37	36	3adant3	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) )
38		rpre	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ )
39	38	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) → 𝑅 ∈ ℝ )
40	7 8	itsclc0lem3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐷 ∈ ℝ )
41	37 39 40	syl2an	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ ℝ )
42	41 12	elrpd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ ℝ+ )
43	42	rprege0d	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) )
44	7	resum2sqcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝑄 ∈ ℝ )
45	19 27 44	syl2anc	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝑄 ∈ ℝ )
46	45	3adant3	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝑄 ∈ ℝ )
47	1 3 10 9	rrx2pnedifcoorneorr	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0 ) )
48	47	orcomd	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) )
49	7	resum2sqorgt0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ) → 0 < 𝑄 )
50	20 28 48 49	syl3anc	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 0 < 𝑄 )
51	50	gt0ne0d	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝑄 ≠ 0 )
52	46 51	jca	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) )
53	52	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) )
54		itsclc0lem1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
55	21 29 35 43 53 54	syl311anc	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
56		itsclc0lem2	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
57	29 21 35 43 53 56	syl311anc	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
58	55 57	jca	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ) )
59	58	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ) )
60	1 3	prelrrx2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ) → { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 )
61	59 60	syl	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 )
62		itsclc0lem2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
63	21 29 35 43 53 62	syl311anc	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
64		itsclc0lem1	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
65	29 21 35 43 53 64	syl311anc	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ )
66	63 65	jca	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ) )
67	66	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ) )
68	1 3	prelrrx2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ ℝ ) → { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 )
69	67 68	syl	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 )
70		simpl	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) )
71		simprl	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ+ )
72		0red	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 0 ∈ ℝ )
73	72 41 12	ltled	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 0 ≤ 𝐷 )
74	70 71 73	jca32	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) )
75	74	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) )
76	1 2 3 4 5 7 8 6 9 10 11	itsclinecirc0in	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } )
77	75 76	syl	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } )
78		opex	⊢ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V
79		opex	⊢ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V
80		opex	⊢ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V
81		opex	⊢ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V
82	80 81	pm3.2i	⊢ ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V )
83	48	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) )
84	83	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) )
85		orcom	⊢ ( ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ↔ ( 𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0 ) )
86	21	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
87	86	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
88	35	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
89	88	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
90	87 89	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
91	29	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
92	91	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
93	41	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ ℂ )
94	93	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ ℂ )
95	94	sqrtcld	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( √ ‘ 𝐷 ) ∈ ℂ )
96	92 95	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℂ )
97	90 96	addcld	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ )
98	90 96	subcld	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ )
99	46	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝑄 ∈ ℝ )
100	99	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝑄 ∈ ℂ )
101	51	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → 𝑄 ≠ 0 )
102	100 101	jca	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) )
103	102	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) )
104		div11	⊢ ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ↔ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ) )
105	97 98 103 104	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ↔ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ) )
106		addsubeq0	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ↔ ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ) )
107	90 96 106	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ↔ ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ) )
108	41 73	resqrtcld	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( √ ‘ 𝐷 ) ∈ ℝ )
109	108	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( √ ‘ 𝐷 ) ∈ ℂ )
110	91 109	mul0ord	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ↔ ( 𝐵 = 0 ∨ ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ) ) )
111	110	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ↔ ( 𝐵 = 0 ∨ ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ) ) )
112		eqneqall	⊢ ( 𝐵 = 0 → ( 𝐵 ≠ 0 → 𝐷 = 0 ) )
113	112	com12	⊢ ( 𝐵 ≠ 0 → ( 𝐵 = 0 → 𝐷 = 0 ) )
114	113	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐵 = 0 → 𝐷 = 0 ) )
115		sqrt00	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ↔ 𝐷 = 0 ) )
116	41 73 115	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ↔ 𝐷 = 0 ) )
117	116	biimpd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 → 𝐷 = 0 ) )
118	117	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 → 𝐷 = 0 ) )
119	114 118	jaod	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 = 0 ∨ ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ) → 𝐷 = 0 ) )
120	111 119	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 → 𝐷 = 0 ) )
121	107 120	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) → 𝐷 = 0 ) )
122	105 121	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) → 𝐷 = 0 ) )
123	122	necon3d	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐷 ≠ 0 → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
124	123	impancom	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( 𝐵 ≠ 0 → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
125	124	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) )
126	125	olcd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
127		1ex	⊢ 1 ∈ V
128		ovex	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ V
129	127 128	opthne	⊢ ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
130	126 129	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ )
131		1ne2	⊢ 1 ≠ 2
132	131	orci	⊢ ( 1 ≠ 2 ∨ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) )
133	127 128	opthne	⊢ ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ↔ ( 1 ≠ 2 ∨ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
134	132 133	mpbir	⊢ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩
135	130 134	jctir	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) )
136	135	ex	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( 𝐵 ≠ 0 → ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ) )
137	27 33	remulcld	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
138	137	3adant3	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
139	138	adantr	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
140	21 108	remulcld	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℝ )
141	139 140	resubcld	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℝ )
142	141	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ )
143	142	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ )
144	29 35	remulcld	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
145	144 140	readdcld	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℝ )
146	145	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℝ )
147	146	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ )
148	102	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) )
149		div11	⊢ ( ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ↔ ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ) )
150	143 147 148 149	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ↔ ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ) )
151	139	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
152	140	recnd	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℂ )
153	151 152	jca	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) )
154	153	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) )
155		eqcom	⊢ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ↔ ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) )
156		addsubeq0	⊢ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ↔ ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ) )
157	155 156	bitrid	⊢ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ↔ ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ) )
158	154 157	syl	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) ↔ ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ) )
159	86 109	mul0ord	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ↔ ( 𝐴 = 0 ∨ ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ) ) )
160	159	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 ↔ ( 𝐴 = 0 ∨ ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ) ) )
161		eqneqall	⊢ ( 𝐴 = 0 → ( 𝐴 ≠ 0 → 𝐷 = 0 ) )
162	161	com12	⊢ ( 𝐴 ≠ 0 → ( 𝐴 = 0 → 𝐷 = 0 ) )
163	162	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐴 = 0 → 𝐷 = 0 ) )
164	117	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 → 𝐷 = 0 ) )
165	163 164	jaod	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 = 0 ∨ ( √ ‘ 𝐷 ) = 0 ) → 𝐷 = 0 ) )
166	160 165	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) = 0 → 𝐷 = 0 ) )
167	158 166	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) → 𝐷 = 0 ) )
168	150 167	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) → 𝐷 = 0 ) )
169	168	necon3d	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐷 ≠ 0 → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
170	169	impancom	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ≠ 0 → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
171	170	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) )
172	171	olcd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 2 ≠ 2 ∨ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
173		2ex	⊢ 2 ∈ V
174		ovex	⊢ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∈ V
175	173 174	opthne	⊢ ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ↔ ( 2 ≠ 2 ∨ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
176	172 175	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ )
177	131	necomi	⊢ 2 ≠ 1
178	177	orci	⊢ ( 2 ≠ 1 ∨ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) )
179	173 174	opthne	⊢ ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ↔ ( 2 ≠ 1 ∨ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ≠ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) )
180	178 179	mpbir	⊢ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩
181	176 180	jctil	⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) )
182	181	ex	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ≠ 0 → ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ) )
183	136 182	orim12d	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( 𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ) ) )
184	85 183	biimtrid	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ) ) )
185	84 184	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ) )
186		prneimg	⊢ ( ( ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ) ) → ( ( ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ) → { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ) )
187	186	imp	⊢ ( ( ( ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∈ V ) ) ∧ ( ( ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ∧ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ≠ ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ ) ) ) → { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } )
188	78 79 82 185 187	mpsyl4anc	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } )
189	77 188	jca	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ) )
190	61 69 189	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 ∧ ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ) ) )
191	13 190	mpdan	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ( { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 ∧ ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ) ) )
192		preq1	⊢ ( 𝑎 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → { 𝑎 , 𝑏 } = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , 𝑏 } )
193	192	eqeq2d	⊢ ( 𝑎 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , 𝑏 } ) )
194		neeq1	⊢ ( 𝑎 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → ( 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ 𝑏 ) )
195	193 194	anbi12d	⊢ ( 𝑎 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → ( ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { 𝑎 , 𝑏 } ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ↔ ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , 𝑏 } ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ 𝑏 ) ) )
196		preq2	⊢ ( 𝑏 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , 𝑏 } = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } )
197	196	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , 𝑏 } ↔ ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } ) )
198		neeq2	⊢ ( 𝑏 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → ( { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ 𝑏 ↔ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ) )
199	197 198	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } → ( ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , 𝑏 } ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ 𝑏 ) ↔ ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ) ) )
200	195 199	rspc2ev	⊢ ( ( { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ∈ 𝑃 ∧ ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } , { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } } ∧ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ , ⟨ 2 , ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ⟩ } ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝑃 ∃ 𝑏 ∈ 𝑃 ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { 𝑎 , 𝑏 } ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )
201	191 200	syl	⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝑃 ∃ 𝑏 ∈ 𝑃 ( ( ( 0 𝑆 𝑅 ) ∩ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) = { 𝑎 , 𝑏 } ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )