Theorem ipval2lem2

Description: Lemma for ipval3 . (Contributed by NM, 1-Feb-2007) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	dipfval.1	⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 )
	dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘ 𝑈 )
	dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 )
	dipfval.6	⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 )
	dipfval.7	⊢ 𝑃 = ( ·𝑖OLD ‘ 𝑈 )
Assertion	ipval2lem2	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipfval.1	⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 )
2		dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘ 𝑈 )
3		dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 )
4		dipfval.6	⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 )
5		dipfval.7	⊢ 𝑃 = ( ·𝑖OLD ‘ 𝑈 )
6		simpl1	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝑈 ∈ NrmCVec )
7		simpl2	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ 𝑋 )
8	1 3	nvscl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
9	8	3com23	⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
10	9	3expa	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
11	10	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
12	1 2	nvgcl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ∈ 𝑋 )
13	6 7 11 12	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ∈ 𝑋 )
14	1 4	nvcl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ )
15	6 13 14	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ )
16	15	resqcld	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )