Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isclmp.t |
โข ยท = ( ยท๐ โ ๐ ) |
2 |
|
isclmp.a |
โข + = ( +g โ ๐ ) |
3 |
|
isclmp.v |
โข ๐ = ( Base โ ๐ ) |
4 |
|
isclmp.s |
โข ๐ = ( Scalar โ ๐ ) |
5 |
|
isclmp.k |
โข ๐พ = ( Base โ ๐ ) |
6 |
|
isclmi0.1 |
โข ๐ = ( โfld โพs ๐พ ) |
7 |
|
isclmi0.2 |
โข ๐ โ Grp |
8 |
|
isclmi0.3 |
โข ๐พ โ ( SubRing โ โfld ) |
9 |
|
isclmi0.4 |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ ( 1 ยท ๐ฅ ) = ๐ฅ ) |
10 |
|
isclmi0.5 |
โข ( ( ๐ฆ โ ๐พ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) โ ๐ ) |
11 |
|
isclmi0.6 |
โข ( ( ๐ฆ โ ๐พ โง ๐ฅ โ ๐ โง ๐ง โ ๐ ) โ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) ) |
12 |
|
isclmi0.7 |
โข ( ( ๐ฆ โ ๐พ โง ๐ง โ ๐พ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) |
13 |
|
isclmi0.8 |
โข ( ( ๐ฆ โ ๐พ โง ๐ง โ ๐พ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) |
14 |
7 6 8
|
3pm3.2i |
โข ( ๐ โ Grp โง ๐ = ( โfld โพs ๐พ ) โง ๐พ โ ( SubRing โ โfld ) ) |
15 |
10
|
ancoms |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ ) โ ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) โ ๐ ) |
16 |
11
|
3com12 |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ โง ๐ง โ ๐ ) โ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) ) |
17 |
16
|
3expa |
โข ( ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ ) โง ๐ง โ ๐ ) โ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) ) |
18 |
17
|
ralrimiva |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ ) โ โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) ) |
19 |
12 13
|
jca |
โข ( ( ๐ฆ โ ๐พ โง ๐ง โ ๐พ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) |
20 |
19
|
3comr |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ โง ๐ง โ ๐พ ) โ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) |
21 |
20
|
3expa |
โข ( ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ ) โง ๐ง โ ๐พ ) โ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) |
22 |
21
|
ralrimiva |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ ) โ โ ๐ง โ ๐พ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) |
23 |
15 18 22
|
3jca |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐พ ) โ ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) โ ๐ โง โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ ๐พ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) ) |
24 |
23
|
ralrimiva |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ โ ๐ฆ โ ๐พ ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) โ ๐ โง โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ ๐พ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) ) |
25 |
9 24
|
jca |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ ( ( 1 ยท ๐ฅ ) = ๐ฅ โง โ ๐ฆ โ ๐พ ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) โ ๐ โง โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ ๐พ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) ) ) |
26 |
25
|
rgen |
โข โ ๐ฅ โ ๐ ( ( 1 ยท ๐ฅ ) = ๐ฅ โง โ ๐ฆ โ ๐พ ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) โ ๐ โง โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ ๐พ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) ) |
27 |
1 2 3 4 5
|
isclmp |
โข ( ๐ โ โMod โ ( ( ๐ โ Grp โง ๐ = ( โfld โพs ๐พ ) โง ๐พ โ ( SubRing โ โfld ) ) โง โ ๐ฅ โ ๐ ( ( 1 ยท ๐ฅ ) = ๐ฅ โง โ ๐ฆ โ ๐พ ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) โ ๐ โง โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ยท ( ๐ฅ + ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ ๐พ ( ( ( ๐ง + ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ( ๐ง ยท ๐ฅ ) + ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ง ยท ๐ฆ ) ยท ๐ฅ ) = ( ๐ง ยท ( ๐ฆ ยท ๐ฅ ) ) ) ) ) ) ) |
28 |
14 26 27
|
mpbir2an |
โข ๐ โ โMod |