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Theorem iscmet3

Description: The property " D is a complete metric" expressed in terms of functions on NN (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on NN , and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014)

Ref Expression
Hypotheses iscmet3.1 ⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 )
iscmet3.2 ⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
iscmet3.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
iscmet3.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
Assertion iscmet3 ( 𝜑 → ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iscmet3.1 ⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 )
2 iscmet3.2 ⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
3 iscmet3.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
4 iscmet3.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
5 2 cmetcau ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ) → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) )
6 5 a1d ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) )
7 6 ralrimiva ⊢ ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) → ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) )
8 4 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
9 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) )
10 1rp ⊢ 1 ∈ ℝ+
11 rphalfcl ⊢ ( 1 ∈ ℝ+ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+ )
12 10 11 ax-mp ⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+
13 rpexpcl ⊢ ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ )
14 12 13 mpan ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ )
15 cfili ⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
16 9 14 15 syl2an ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
17 16 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
18 vex ⊢ 𝑔 ∈ V
19 znnen ⊢ ℤ ≈ ℕ
20 nnenom ⊢ ℕ ≈ ω
21 19 20 entri ⊢ ℤ ≈ ω
22 raleq ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
23 22 raleqbi1dv ⊢ ( 𝑡 = ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
24 18 21 23 axcc4 ⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) → ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
25 17 24 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
26 3 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
27 1 uzenom ⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω )
28 endom ⊢ ( 𝑍 ≈ ω → 𝑍 ≼ ω )
29 26 27 28 3syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → 𝑍 ≼ ω )
30 dfin5 ⊢ ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) = { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) }
31 fzn0 ⊢ ( ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ↔ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
32 31 biimpri ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ )
33 32 1 eleq2s ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ )
34 metxmet ⊢ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
35 4 34 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
36 35 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
37 simpl ⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) )
38 cfilfil ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
39 36 37 38 syl2an ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
40 simprr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 )
41 elfzelz ⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℤ )
42 ffvelrn ⊢ ( ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 )
43 40 41 42 syl2an ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 )
44 filelss ⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
45 39 43 44 syl2an2r ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
46 45 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
47 r19.2z ⊢ ( ( ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
48 33 46 47 syl2anr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
49 iinss ⊢ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
50 48 49 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
51 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
52 elfvdm ⊢ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ dom Met )
53 fvi ⊢ ( 𝑋 ∈ dom Met → ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 )
54 51 52 53 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 )
55 50 54 sseqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ ( I ‘ 𝑋 ) )
56 sseqin2 ⊢ ( ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) = ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
57 55 56 sylib ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) = ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
58 30 57 eqtr3id ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) } = ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
59 39 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
60 43 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 )
61 60 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 )
62 33 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ )
63 fzfid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ∈ Fin )
64 iinfi ⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ∧ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ∈ Fin ) ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ ( fi ‘ 𝑔 ) )
65 59 61 62 63 64 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ ( fi ‘ 𝑔 ) )
66 filfi ⊢ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) → ( fi ‘ 𝑔 ) = 𝑔 )
67 59 66 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( fi ‘ 𝑔 ) = 𝑔 )
68 65 67 eleqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 )
69 fileln0 ⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ≠ ∅ )
70 39 68 69 syl2an2r ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ≠ ∅ )
71 58 70 eqnetrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) } ≠ ∅ )
72 rabn0 ⊢ ( { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
73 71 72 sylib ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
74 73 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
75 74 adantrrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
76 fvex ⊢ ( I ‘ 𝑋 ) ∈ V
77 eleq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) → ( 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) )
78 fvex ⊢ ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ V
79 eliin ⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ V → ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) )
80 78 79 ax-mp ⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
81 77 80 bitrdi ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) → ( 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) )
82 76 81 axcc4dom ⊢ ( ( 𝑍 ≼ ω ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) )
83 29 75 82 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) )
84 df-ral ⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ↔ ∀ 𝑓 ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) )
85 19.29 ⊢ ( ( ∀ 𝑓 ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) )
86 84 85 sylanb ⊢ ( ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) )
87 3 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
88 4 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
89 simprrl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) )
90 feq3 ⊢ ( ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 ) )
91 88 52 53 90 4syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 ) )
92 89 91 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 )
93 simplrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
94 93 simprd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
95 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) )
96 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) = ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) )
97 96 breq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) )
98 95 97 raleqbidv ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) )
99 95 98 raleqbidv ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) )
100 99 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) )
101 94 100 sylib ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) )
102 simprrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) )
103 fveq2 ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) )
104 103 eleq2d ⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) )
105 104 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) )
106 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑀 ... 𝑘 ) = ( 𝑀 ... 𝑖 ) )
107 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) )
108 107 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) )
109 106 108 raleqbidv ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) )
110 105 109 syl5bb ⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) )
111 110 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑍 ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) )
112 102 111 sylib ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ 𝑍 ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) )
113 88 34 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
114 simplrl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) )
115 113 114 38 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
116 93 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 )
117 1 2 87 88 92 101 112 iscmet3lem1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) )
118 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) )
119 117 92 118 mp2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) )
120 1 2 87 88 92 101 112 115 116 119 iscmet3lem2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
121 120 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
122 121 exlimdv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
123 86 122 syl5 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
124 123 expdimp ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
125 124 an32s ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
126 83 125 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
127 126 expr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
128 127 exlimdv ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
129 25 128 mpd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
130 129 ralrimiva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
131 2 iscmet ⊢ ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
132 8 130 131 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) )
133 132 ex ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) → 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ) )
134 7 133 impbid2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) )