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Theorem iscmet3

Description: The property " D is a complete metric" expressed in terms of functions on NN (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on NN , and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014)

Ref Expression
Hypotheses iscmet3.1 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
iscmet3.2 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
iscmet3.3 ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
iscmet3.4 ( 𝜑𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
Assertion iscmet3 ( 𝜑 → ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iscmet3.1 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
2 iscmet3.2 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
3 iscmet3.3 ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
4 iscmet3.4 ( 𝜑𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
5 2 cmetcau ( ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ) → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) )
6 5 a1d ( ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) )
7 6 ralrimiva ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) → ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) )
8 4 adantr ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
9 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) )
10 1rp 1 ∈ ℝ+
11 rphalfcl ( 1 ∈ ℝ+ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+ )
12 10 11 ax-mp ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+
13 rpexpcl ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ )
14 12 13 mpan ( 𝑘 ∈ ℤ → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ )
15 cfili ( ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
16 9 14 15 syl2an ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ∃ 𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
17 16 ralrimiva ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
18 vex 𝑔 ∈ V
19 znnen ℤ ≈ ℕ
20 nnenom ℕ ≈ ω
21 19 20 entri ℤ ≈ ω
22 raleq ( 𝑡 = ( 𝑠𝑘 ) → ( ∀ 𝑣𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
23 22 raleqbi1dv ( 𝑡 = ( 𝑠𝑘 ) → ( ∀ 𝑢𝑡𝑣𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
24 18 21 23 axcc4 ( ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) → ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
25 17 24 syl ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
26 3 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
27 1 uzenom ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω )
28 endom ( 𝑍 ≈ ω → 𝑍 ≼ ω )
29 26 27 28 3syl ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → 𝑍 ≼ ω )
30 dfin5 ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ) = { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) }
31 fzn0 ( ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ↔ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑀 ) )
32 31 biimpri ( 𝑘 ∈ ( ℤ𝑀 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ )
33 32 1 eleq2s ( 𝑘𝑍 → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ )
34 metxmet ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
35 4 34 syl ( 𝜑𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
36 35 adantr ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
37 simpl ( ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) )
38 cfilfil ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
39 36 37 38 syl2an ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
40 simprr ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 )
41 elfzelz ( 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℤ )
42 ffvelrn ( ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 )
43 40 41 42 syl2an ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ) → ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 )
44 filelss ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 ) → ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
45 39 43 44 syl2an2r ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ) → ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
46 45 ralrimiva ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
47 r19.2z ( ( ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
48 33 46 47 syl2anr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
49 iinss ( ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
50 48 49 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ 𝑋 )
51 8 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
52 elfvdm ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ dom Met )
53 fvi ( 𝑋 ∈ dom Met → ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 )
54 51 52 53 3syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 )
55 50 54 sseqtrrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ ( I ‘ 𝑋 ) )
56 sseqin2 ( 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ⊆ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ) = 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) )
57 55 56 sylib ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ) = 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) )
58 30 57 eqtr3id ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) } = 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) )
59 39 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
60 43 ralrimiva ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 )
61 60 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 )
62 33 adantl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ )
63 fzfid ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ∈ Fin )
64 iinfi ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 ∧ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ∈ Fin ) ) → 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ∈ ( fi ‘ 𝑔 ) )
65 59 61 62 63 64 syl13anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ∈ ( fi ‘ 𝑔 ) )
66 filfi ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) → ( fi ‘ 𝑔 ) = 𝑔 )
67 59 66 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( fi ‘ 𝑔 ) = 𝑔 )
68 65 67 eleqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 )
69 fileln0 ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ∈ 𝑔 ) → 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ≠ ∅ )
70 39 68 69 syl2an2r ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ≠ ∅ )
71 58 70 eqnetrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) } ≠ ∅ )
72 rabn0 ( { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) )
73 71 72 sylib ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) )
74 73 ralrimiva ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) )
75 74 adantrrr ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ∀ 𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) )
76 fvex ( I ‘ 𝑋 ) ∈ V
77 eleq1 ( 𝑥 = ( 𝑓𝑘 ) → ( 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ↔ ( 𝑓𝑘 ) ∈ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ) )
78 fvex ( 𝑓𝑘 ) ∈ V
79 eliin ( ( 𝑓𝑘 ) ∈ V → ( ( 𝑓𝑘 ) ∈ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) )
80 78 79 ax-mp ( ( 𝑓𝑘 ) ∈ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) )
81 77 80 bitrdi ( 𝑥 = ( 𝑓𝑘 ) → ( 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) )
82 76 81 axcc4dom ( ( 𝑍 ≼ ω ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠𝑛 ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) )
83 29 75 82 syl2anc ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) )
84 df-ral ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ↔ ∀ 𝑓 ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) )
85 19.29 ( ( ∀ 𝑓 ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) )
86 84 85 sylanb ( ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) )
87 3 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
88 4 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
89 simprrl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) )
90 feq3 ( ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑓 : 𝑍𝑋 ) )
91 88 52 53 90 4syl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑓 : 𝑍𝑋 ) )
92 89 91 mpbid ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 : 𝑍𝑋 )
93 simplrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) )
94 93 simprd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) )
95 fveq2 ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑠𝑘 ) = ( 𝑠𝑖 ) )
96 oveq2 ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) = ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) )
97 96 breq2d ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) )
98 95 97 raleqbidv ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) )
99 95 98 raleqbidv ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) )
100 99 cbvralvw ( ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) )
101 94 100 sylib ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) )
102 simprrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) )
103 fveq2 ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝑠𝑛 ) = ( 𝑠𝑗 ) )
104 103 eleq2d ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ↔ ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) ) )
105 104 cbvralvw ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) )
106 oveq2 ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑀 ... 𝑘 ) = ( 𝑀 ... 𝑖 ) )
107 fveq2 ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑓𝑘 ) = ( 𝑓𝑖 ) )
108 107 eleq1d ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) ↔ ( 𝑓𝑖 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) ) )
109 106 108 raleqbidv ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓𝑖 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) ) )
110 105 109 syl5bb ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓𝑖 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) ) )
111 110 cbvralvw ( ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ↔ ∀ 𝑖𝑍𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓𝑖 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) )
112 102 111 sylib ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑖𝑍𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓𝑖 ) ∈ ( 𝑠𝑗 ) )
113 88 34 syl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
114 simplrl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) )
115 113 114 38 syl2anc ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) )
116 93 simpld ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 )
117 1 2 87 88 92 101 112 iscmet3lem1 ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) )
118 simprl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) )
119 117 92 118 mp2d ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) )
120 1 2 87 88 92 101 112 115 116 119 iscmet3lem2 ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
121 120 ex ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
122 121 exlimdv ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
123 86 122 syl5 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
124 123 expdimp ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
125 124 an32s ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘𝑍𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓𝑘 ) ∈ ( 𝑠𝑛 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
126 83 125 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
127 126 expr ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
128 127 exlimdv ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
129 25 128 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
130 129 ralrimiva ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ )
131 2 iscmet ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) )
132 8 130 131 sylanbrc ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) )
133 132 ex ( 𝜑 → ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) → 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ) )
134 7 133 impbid2 ( 𝜑 → ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍𝑋𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡𝐽 ) ) ) )