Theorem iscnp3

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K at point P ". (Contributed by NM, 15-May-2007)

	Ref	Expression
Assertion	iscnp3	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑃 ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑃 ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ) ) ) ) )
2		ffun	⊢ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 → Fun 𝐹 )
3	2	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → Fun 𝐹 )
4		toponss	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → 𝑥 ⊆ 𝑋 )
5	4	adantlr	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → 𝑥 ⊆ 𝑋 )
6		fdm	⊢ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋 )
7	6	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → dom 𝐹 = 𝑋 )
8	5 7	sseqtrrd	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹 )
9		funimass3	⊢ ( ( Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹 ) → ( ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ↔ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) )
10	3 8 9	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ↔ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) )
11	10	anbi2d	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ) ↔ ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
12	11	rexbidva	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) )
13	12	imbi2d	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) ) )
14	13	ralbidv	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) ) )
15	14	pm5.32da	⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) ) ) )
16	15	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐹 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) ) ) )
17	1 16	bitrd	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝑃 ) ↔ ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝑦 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( ◡ 𝐹 “ 𝑦 ) ) ) ) ) )